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畢業(yè)：復(fù)變函數(shù)的孤立奇點及其應(yīng)用（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）論文題目：復(fù)變函數(shù)的孤立奇點及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)生學(xué)號：專業(yè)班級：學(xué)院名稱：2011年4月7日復(fù)變函數(shù)的孤立奇點及其應(yīng)用摘要孤立奇點的應(yīng)用在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)以及學(xué)習(xí)中有著重要的作用。而留數(shù)的計算是復(fù)變函數(shù)中經(jīng)常碰到的問題，本文主要探討了孤立奇點在留數(shù)計算中的應(yīng)用。函數(shù)在不同的孤立奇點的不同類型處，其計算的方法也不同，所以首先我們要對其做出判斷。再根據(jù)孤立奇點類型的不同對應(yīng)不同的留數(shù)求法，分別從可去奇點，本質(zhì)奇點處留數(shù)的求法，極點處留數(shù)的求法，無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)的求法，其中在本文中因為考慮極點處的留數(shù)求法又根據(jù)：單極點、二階極點、階極點的求法不同，結(jié)合例子給出極點階數(shù)的判斷方法。另外，還采用了變量替換的方法，增加了一個計算留數(shù)的公式。關(guān)鍵字：孤立奇點；可去奇點；極點；本質(zhì)奇點；留數(shù)；IsolatedsingularitiesanditsapplicationAbstractIsolatedsingularpointintheapplicationofcomplexfunctionofteachingandlearningplaysanimportantrole.Theresidueofthecalculationiscomplexfunctionoftenencounterproblems,thepaperfocusedonasingularpointinisolationremaininthecalculationofthenumberofapplications.Differentfunctionsintheisolationofthedifferenttypesofsingularpoint,thecalculationmethodsarealsodifferent,sofirstofallwehavetomaketheirjudgement.Accordingtoisolatedifferenttypesofsingularpointtodifferentstayforafew,weretogofromthesingularpointis,inessence,tostayafewcriticalpointsforthelaw,thenumberofPolesseekingtostaythelaw,infinitenumberofpointstostayforthelaw,whichinthispaperInviewofthePolestostayforafewinaccordancewithlaw:aunipolarpoint,second-orderpole,thepole-ordersolutiondifferent,withexamplesgivenpoleorderofthejudgementmeans.Inaddition,thevariablesusedtoreplacethemethod,anincreaseofaformulaforcalculatingthenumberofstay.Keywords:isolatedsingularpoint;singularpointtogo;pole;natureofsingularityandreservations目錄摘要…………………ⅡAbstract…………Ⅱ孤立奇點的定義3孤立奇點的判別方法4孤立奇點的應(yīng)用6參考文獻(xiàn)10第一章孤立奇點的定義假設(shè)X是一個代數(shù)簇，P∈X是X上的一個奇點，如果存在一個包含P的開鄰域（又稱開集)U，使得U中不在包含其他的奇點，那么就稱P是孤立奇點。f（z）在0＜｜z－a｜≤R上解析，即a是f（z）的孤立奇點留數(shù)定理及其應(yīng)用，則稱積分值（1／2πi）∫｜z－a｜＝Rf（z）dz為f（z）關(guān)于a點的留數(shù)，記作Res[f（z），a]。如果f（z）是平面流速場的復(fù)速度，而a是它的旋源點（即旋渦中心或源匯中心），則積分∫｜z－a｜＝Rf（z）dz表示旋源的強(qiáng)度——環(huán)流量，所以留數(shù)是環(huán)流量除以2πi的值。由于解析函數(shù)在孤立奇點附近可以展成羅朗級數(shù)：f（z）＝∑ak（z－a）k，將它沿｜z－a｜＝R逐項積分，立即可見Res[f(z)，a]＝a-1，這表明留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點的羅朗展式中負(fù)一次冪項的系數(shù)。函數(shù)不解析的點為奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點.如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z-z0的負(fù)冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級零點.留數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中重要的概念之一，它與解析函數(shù)在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復(fù)合閉路定理等都有密切的聯(lián)系.設(shè)是解析函數(shù)的孤立奇點，我們把在處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項的系數(shù)稱為在處的留數(shù).記作，即=.顯然，留數(shù)就是積分的值，其中C為解析函數(shù)的的去心鄰域內(nèi)繞的閉曲線.第二章孤立奇點的判別方法設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個孤立奇點外處處解析，C是D內(nèi)包圍各奇點的一條正向簡單閉曲線，那么.一般來說，求函數(shù)在其孤立奇點處的留數(shù)只須求出它在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中項系數(shù)就可以了.但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利.例如，如果是的可去奇點，那么.如果是本性奇點，那就往往只能用把在展開成洛朗級數(shù)的方法來求.若是極點的情形，則可用較方便的求導(dǎo)數(shù)與求極限的方法得到留數(shù).函數(shù)在極點的留數(shù)法則1：如果為的簡單極點，則（5.4）法則2：設(shè)，其中在處解析，如果，為的一階零點，則為的一階極點，且.（5.5）法則3：如果為的m階極點，則.（5.6）無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義5.5設(shè)為的一個孤立奇點，即在圓環(huán)域內(nèi)解析，則稱（）為在點的留數(shù)，記為，這里是指順時針方向（這個方向很自然地可以看作是繞無窮遠(yuǎn)點的正向）.如果在的洛朗展開式為，則有.這里，我們要注意，即使是的可去奇點，在的留數(shù)也未必是0，這是同有限點的留數(shù)不一致的地方.定理5.8如果在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個孤立奇點（包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)），設(shè)為，則在各點的留數(shù)總和為零.關(guān)于在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)計算，我們有以下的規(guī)則.法則4：.孤立奇點的應(yīng)用例1指出下列函數(shù)在零點z=0的級：（1）（2）.解（1）用求導(dǎo)數(shù)驗證：記，不難計算即故為函數(shù)的四階零點.由泰勒展式：由展開式可知其中內(nèi)解析，.故為函數(shù)的四階零點.（2）由展開式可知其中在內(nèi)解析，.故是函數(shù)的15階零點.例2證明不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.即若不恒為零的函數(shù)在內(nèi)解析，，則必有a的一個領(lǐng)域，使得在其中無異于a的零點（解析函數(shù)零點的孤立性）.分析由于解析函數(shù)不恒為零且，所以利用在點a的泰勒展開式可知，總存在自然數(shù)，使，（否則獨所有m，，由泰勒定理矛盾）.于是可設(shè)a為的m階零點，然后由零點的特征來討論.證（不妨設(shè)）a為的m階零點，其中內(nèi)解析，.因在a處解析，則有，可取，存在著，當(dāng)時，，由三角不等式便知當(dāng)時即有，故在a的鄰域內(nèi)使.例3確定函數(shù)的孤立奇點的類型.解因為，所以是分母的六階零點，從而是函數(shù)的六階極點.例4判別函數(shù)的有限奇點的類型.解因為在沒有定義，更不解析，所以是的奇點，在內(nèi)，展開為洛朗級數(shù)：

，有無窮多負(fù)冪項，故是的本性奇點.例5考察函數(shù)在點的特性.解因為是分母的零點，所以這些點是的極點..從而知是這些極點的極限點，不是孤立奇點.例6求出函數(shù)的全部奇點，并確定其類型.解分母有四個一階零點，它們不是分子的零點，因此是函數(shù)的一階極點.又，所以是的可去奇點.例7求出函數(shù)的全部奇點，并確定其類型.解容易求得是的一階極點，這是因為.當(dāng)，而 ，所以，是函數(shù)的可去奇點，是的一階極點.又是極點當(dāng)時的極限點，不是孤立奇點.例8求所有孤立奇點處的留數(shù)：解：函數(shù)有孤立奇點0和，而且易知在內(nèi)有洛朗展開式這既可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式，也可以看成是函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式.所以.參考文獻(xiàn)：[1]高等教育出版社《高等代數(shù)》[2]對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)出版社《考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練經(jīng)典題集》[3]實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第3版）程其襄[4]復(fù)變函數(shù)論(第三版)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解王玉玉目錄摘要……………1引言……………2一凸函數(shù)概念及其定義………3（一）凸函數(shù)的幾種不同定義………………3（二）幾種不同定義之間的相互聯(lián)系………5二凸函數(shù)的有關(guān)結(jié)論…………6（一）凸函數(shù)的運算性質(zhì)……………………6（二）凸函數(shù)的其它性質(zhì)……………………7（三）凸函數(shù)的充要條件……………………9三對數(shù)性凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)……………11（一）對數(shù)性凸函數(shù)的定義…………………12（二）對數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)……………13（三）與對數(shù)性凸函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)的定理…………………14（四）對數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用……………15結(jié)束語…………17參考文獻(xiàn)………………………17淺談凸函數(shù)及其應(yīng)用摘要：凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于jensen著作中它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃，對策論數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，變分學(xué)和最優(yōu)控制學(xué)科的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)他們在實踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定及其應(yīng)用，總結(jié)了凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)，列舉了凸函數(shù)的幾個著名的不等式引入對數(shù)性凸函數(shù)的概念,獲得了對數(shù)性凸函數(shù)的若干基本性質(zhì),并討論了對數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)的一些應(yīng)用,受文[1]的啟發(fā),在文[1]的基礎(chǔ)上,在本文中,我們獲得了對數(shù)性凸函數(shù)的七個基本性質(zhì)，并討論了對數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。其中包括應(yīng)用比較廣泛的詹森（Jensen）不等式、赫爾德（H?lder）不等式、閔可夫斯基（Minkowski）不等式及一些初等不等式.關(guān)鍵詞：凸函數(shù);對數(shù)性凸函數(shù)；不等式;證明;應(yīng)用ConvexFunctionanditsApplicationAbstract:convexfunctionisakindofimportantfunction,itsconceptformmostearlyinJenseninthewriting.IthasnumerousapplicationinbroadfieldsofpureMathematicsandappliedMathematics.Convexfunctionisnowplaysimportanttheoreticalbasicandusefultoolstomangsubjectssuchasmathematicalplanningtheory,responsetheory,numericaleconomics,changehotheoryandsub-optimalcontrolandsoon.Fortheoreticalbreakthrough,reinforcetheirapplicationinpractice,producedgeneralizedconvexfunction.Enumeratedconvexfunctionisintroducedseveralfamousinequalitylogarithmicratioconvexfunctionconcept,wonthelogarithmicratiosomebasicpropertiesofconvexfunction,anddiscussedthelogarithmicratioofbasicpropertiesofconvexfunctionbysomeoftheapplication,theinspirationof[1],[1]inthebasis,inthispaper,weobtainthelogarithmicsexconvexfunctionissevenbasicproperties,anddiscussesthepropertiesoflogarithmicratioconvexfunctionapplications.Thispaperinvestigatesthecriterionsofconvexfunctionanditsapplicationsbasedonthedefinitionofconvexfunction,summarizesmanyimportantpropertiesofconvexfunctions,andlistsseveralwell-knowninequalitiesofconvexfunction,includingJenseninequality,H?lder'sinequality,Minkowskiinequalityandsomeelementaryinequalities,whicharewidelyapplied.Keywords:convexfunction;Logarithmicallyconvexfunctionsex；inequality;proof;application引言一、凸函數(shù)的概念及其定義（一）凸函數(shù)的幾種不同定義定義1如果函數(shù)在上連續(xù)，對上任意不同的兩點，有,則稱是上的下凸函數(shù).定義2設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點和任意實數(shù)有，則稱是區(qū)間上的下凸函數(shù).定義3設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，對于上任意三點，下列不等式中任何兩個組成的不等式成立，，稱是區(qū)間上的下凸函數(shù).注：（1）若將定義1，2，3中的“”改為“”，則稱為上的嚴(yán)格下凸函數(shù).（2）若定義1，2，3中的“”改為“”，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù).定義4利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向:例設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)⑴在內(nèi)嚴(yán)格上凸;⑵在內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一(用Taylor公式)對設(shè),把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式，有其中和在與之間.注意到,就有于是,若有上式中,即嚴(yán)格上凸若有上式中,即嚴(yán)格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若則有嚴(yán)格單調(diào)增.不妨設(shè),并設(shè)分別在區(qū)間和上應(yīng)用Lagrange中值定理,有有，又由，，即，嚴(yán)格下凸.可類證情況.（二）幾種不同定義之間的相互聯(lián)系（1）在定義2中區(qū)間，為連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時，定義2即為定義1.（2）令，那么，令，代入定義3中任意一式，變形后即得定義2中的形式.二凸函數(shù)的有關(guān)結(jié)論（一）凸函數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1若為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，為非負(fù)實數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)2若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).推論若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，為非負(fù)實數(shù)，則也為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)3若為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù),為上的下（上）凸增函數(shù)，且，則為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).性質(zhì)4若均為區(qū)間上的下（上）凸函數(shù)，則也是區(qū)間上的下（上）凸函數(shù).（二）凸函數(shù)的其他性質(zhì)定理1設(shè)為區(qū)間上的嚴(yán)格下凸函數(shù),若有是的極小值點，則是在上唯一的極小值點.證明若有異于的另一極小值點，不妨設(shè)，由于是區(qū)間上嚴(yán)格下凸函數(shù),故對于任意的,都有

.于是對任意,只要充分接近1，總有但是,.這與是的極小值點矛盾，從而是在上唯一的極小值點.定理2設(shè)為開區(qū)間上的凸函數(shù)，則對任何上滿足Lipchitz條件，即存在,對任何，成立.證明當(dāng)取定后，因為是開區(qū)間，必能在中選取四點滿足.任取,現(xiàn)令則有，,由于上述常數(shù)與中的點無關(guān)，因此在上滿足Lipchitz條件：存在,使得,對.定理3設(shè)是上的下凸函數(shù),則在上處處存在左、右導(dǎo)數(shù),且證明，記.任意且定義3得即在上單調(diào)遞增;再在QUOTE右方任取一定點,由定義3得所以在上單調(diào)遞增且有上界,故由單調(diào)原理極限QUOTE存在,即存在;同理可證,極限存在,即存在,任意由定義3有在上式中令，,則有（三）凸函數(shù)的充要條件定理4設(shè)為上的可微函數(shù),則如下三者互相等價:為區(qū)間上的下凸函數(shù);為區(qū)間上的遞增函數(shù);對區(qū)間上任意兩點,有.

證明在區(qū)間上任取兩點及充分小的正數(shù)根據(jù)的凸性及定義3有.由的可微性,當(dāng)時,有，所以為區(qū)間上的遞增函數(shù).

在以,為端點的區(qū)間上,應(yīng)用拉格朗日中值定理,存在介于與之間的點,使得

.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增,設(shè)有,因而就有和最后合并上兩式即得

設(shè),為上任意兩點,，令，則.由有分別用和分別乘以上面兩式并相加得到從而,為區(qū)間上的凸函數(shù).

推論設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則為下凸函數(shù)

.定理5為區(qū)間上下凸函數(shù)的充要條件是函數(shù)為上的凸函數(shù),,.證明必要性.設(shè)為上的下凸函數(shù),那么對任意的及,總有.充分性.設(shè)為上的下凸函數(shù),那么對任意的,及，總有.由定義2知為上的下凸函數(shù).三對數(shù)性凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)（一）對數(shù)性凸函數(shù)的定義定義1設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，如果在區(qū)間上為下凸函數(shù)，即對任意的和所有的實數(shù)(2)成立，則稱在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)，如果對于，（2）式嚴(yán)格不等式成立，則稱在區(qū)間上為嚴(yán)格對數(shù)性下凸函數(shù)。若（2）式中不等號反向，則稱在區(qū)間上為對數(shù)性上凸函數(shù)。（二）對數(shù)性凸函數(shù)的基本性質(zhì)引理若則，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng).定理1設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對任意的和所有的實數(shù)定理2設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)且二階可導(dǎo)，則在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對任意有性質(zhì)1如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。推論1如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)2如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。推論2如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則也為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)3如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則為區(qū)間上的對數(shù)性上凸函數(shù)。性質(zhì)4設(shè)為定義在區(qū)間上的正值函數(shù)，為區(qū)間，為區(qū)間上嚴(yán)格增的對數(shù)性下凸函數(shù)且在區(qū)間上為下凸函數(shù)，則為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。性質(zhì)5如果一個正值函數(shù)在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)，則對所有的值是下凸函數(shù)。性質(zhì)6如果任意為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則是區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。（三）與對數(shù)性凸函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)的定理推論1如果函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則（為正實數(shù)）也為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。證明：令，由于為對數(shù)性下凸函數(shù)故兩邊同乘以正實數(shù)，則即故故由定理,為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，同理也是區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)。又由性質(zhì)2有，為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù).推論2設(shè)和為區(qū)間上的正數(shù),，，若在上是對數(shù)性下凸函數(shù)，則是下凸函數(shù)。證明：由于函數(shù)是對數(shù)性下凸函數(shù)，故對任意的和所有的實數(shù)，由定理1有因為所以=所以,由引理知即所以,是下凸函數(shù)。定理3設(shè)函數(shù)為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù)，則函數(shù)在的任意閉子區(qū)間上有界。證明：設(shè)為任意閉子區(qū)間（Ⅰ）.下證在上有上界事實上，，因為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù),故由定理，知，其中（Ⅱ）.下證在上有下界記為a,b的中點,,設(shè)關(guān)于的對稱點是，則.因為為區(qū)間上的對數(shù)性下凸函數(shù),故由定義2,得所以,令,則，有，,.故,所以在有下界.定理4設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對上任意三點，總有證明：必要性：，記，則，由于在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)，所以為下凸函數(shù)，故故即+整理，得即充分性：在上任取，在上任取一點，，則由于故整理，得由于，故，于是所以為區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)。定理5設(shè)為區(qū)間上的正值函數(shù)，則在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)的充要條件是對上任意三點，都有證明：必要性：，記，則，由于在區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)，所以為下凸函數(shù)，故故即將式用行列式表示，得充分性：在上任取，在上任取一點，，則由于所以整理，得即由于，故，于是故所以為區(qū)間上為對數(shù)性下凸函數(shù)。（四）對數(shù)性凸函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例1.證明：，其中證明：令，則，故所以為對數(shù)性上凸函數(shù),因此.例2.如果則，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng).證明：（1）.當(dāng)時，顯然成立，（2）.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則所以由定理2可知，函數(shù)為對數(shù)性上凸函數(shù)。又因為，故由定理1,有,于是（3）..“”.當(dāng)顯然成立.“”.對求的偏導(dǎo)數(shù)，得,即,,故.例3.證明：.證明：構(gòu)造函數(shù)，則.由定理2,為對數(shù)性上凸函數(shù)，于是由定理,令，則而故即結(jié)束語凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，在許多證明題中我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明可以非常簡潔巧妙.本文把凸函數(shù)的定義及其性質(zhì)充分運用于各類不等式的證明之中,從而顯示出凸函數(shù)在數(shù)學(xué)歷史上的迅速發(fā)展以及凸函數(shù)在各個領(lǐng)域上的廣泛應(yīng)用.參考文獻(xiàn)[1]劉芳園等編：對數(shù)性凸函數(shù)的一些性質(zhì)，新疆，《新疆師范大學(xué)學(xué)報》，2006.[2]田宏根等編：數(shù)學(xué)分析[M]（上冊），北京，高等教育出版社，2002.[3]劉玉璉,傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義[M]（上冊第三版），北京，高等教育出版社，1998.[4]裴禮文等編：數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法，北京，高等教育出版社，2005.[5]梅向明等編：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]，北京，高等教育出版社，1980.[6]吳良森等：數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解[M]，北京，科學(xué)出版社,2001.

摘要本文首先提出了凸函數(shù)的幾種等價定義并說明凸函數(shù)的幾何意義，接著探討了凸函數(shù)的幾條定理及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，比如最優(yōu)化應(yīng)用及風(fēng)險態(tài)度應(yīng)用，以及函數(shù)的凸性在有關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)問題中發(fā)揮的作用，并從數(shù)學(xué)的角度詳細(xì)說明了經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中一些結(jié)論的來源，如對經(jīng)濟(jì)曲線的分析.關(guān)鍵字：凸函數(shù)；曲線分析；最優(yōu)化；風(fēng)險態(tài)度 目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 12.凸函數(shù)的定義及幾何意義 12.1凸函數(shù)的幾種定義 12.2凸函數(shù)的幾何意義： 33.凸函數(shù)的判定定理 34.函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 74.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用 74.2凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化中的應(yīng)用 114.3凸函數(shù)在風(fēng)險態(tài)度中的應(yīng)用 145.總結(jié) 17參考文獻(xiàn) 181.引言凸函數(shù)是一個十分重要的函數(shù)，它的定義最早是由Jensen給出.凸函數(shù)具有較好的幾何和代數(shù)性質(zhì),它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖像以及證明不等式等方面都有廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)凸性分析經(jīng)濟(jì)問題是在十九世紀(jì)五十年代以后隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃、最優(yōu)控制論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等應(yīng)用學(xué)科的興起而發(fā)展起來的.經(jīng)濟(jì)學(xué)中所涉及的函數(shù)大多數(shù)都有一定的凸性，從而凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題的研究成為了當(dāng)今的一大熱點.人們經(jīng)常用它來研究系統(tǒng)中人、財、物的組織管理、籌劃調(diào)度等問題，以發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益.2.凸函數(shù)的定義及幾何意義2.1凸函數(shù)的幾種定義定義1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，從幾何上來看，若的圖像上任意兩點和之間的曲線段總位于連接這兩點的線段之下（上），則稱該函數(shù)是凸（凹）.參見圖1.定義2：設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上有定義，若有則稱在區(qū)間是下凸函數(shù)或簡稱函數(shù)在區(qū)間是凸的.若記，則.由的凸性可知：從而有即，整理后可得 這就是凸函數(shù)的另一種定義.定義3：在區(qū)間上有定義且連續(xù)，稱為上的凸函數(shù)，如果,有將“”改為“”，函數(shù)便成為嚴(yán)格凸函數(shù).定義4：在區(qū)間上有定義且連續(xù),稱為上的凸函數(shù)，如果，有.2.2凸函數(shù)的幾何意義：當(dāng)時，點表示了區(qū)間中的某一點，即.在下圖中弦的方程是：將代入上式得：圖1但因此不等式（1）在幾何上表示為也就是說，曲線在弦下方，呈現(xiàn)為下凸的形狀，而上凸函數(shù)的圖象則呈現(xiàn)為上凸的形狀.（圖1）圖1凸函數(shù)除了上面的定義以外，還可以給出連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上為凸函數(shù)的等價性定義.如下所示：3.凸函數(shù)的判定定理定理1設(shè)函數(shù)在開區(qū)間上可導(dǎo)，函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng).證明：根據(jù)中值定理對一切及必存在使得：又由凸函數(shù)定義得在上是凸函數(shù).任取滿足.我們來證明：及在區(qū)間上嚴(yán)格增加，設(shè)從中存在數(shù)使得，根據(jù)的嚴(yán)格下凸條件得：即上式表明的函數(shù)在嚴(yán)格增加.由此可見記起并以此類推可得在嚴(yán)格增加..定理2設(shè)在開區(qū)間上可導(dǎo)，則下述論斷相互等價：1）為上凸函數(shù)；2）為上的增函數(shù)；3）對上的任意兩點，有（3）證明:若在是凸函數(shù)，則由定理1有在上單調(diào)增加有同理可證明當(dāng)時也有若有令則對有：對有：從而：即在是凸函數(shù).定理3如果函數(shù)在上有存在二階導(dǎo)函數(shù),若對，有，則函數(shù)在上是一個凸函數(shù).證明：在區(qū)間內(nèi)任取兩點，令函數(shù)在的泰勒公式是當(dāng)時：當(dāng)時 有即于是或，因此內(nèi)是凸函數(shù).定理4（極值的第二充分條件）設(shè)在點的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，.1）若，則在取得極大值.2）若，則在取得極小值.證明：1）由于，故存在一個的鄰域，在此鄰域內(nèi)有：當(dāng)時，有，則必須大于0，即因此在的左鄰域內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)時，同理可知道在的右鄰域內(nèi)遞減，有故當(dāng)時，有在取得極大值.同理可證2）.4.函數(shù)凸性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用4.1凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)函數(shù)曲線分析中的應(yīng)用無差異曲線的凸性分析無差異曲線用來表示消費者偏好相同的兩種商品的所有組合.如下圖所示，橫軸和縱軸分別表示商品1的數(shù)量和商品2的數(shù)量，曲線、分別表示兩條不同商品組合的無差異曲線.曲線是連續(xù)的，并在軸上的具有二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)又是大于零的，所以無差異曲線是凸函數(shù).商品1對商品2的邊際替代率的定義公式為：式中和分別表示為商品1和商品2的變化量.當(dāng)商品數(shù)量的變化趨于無窮小時，則商品的邊際替代率公式為：從上式可以看出，無差異曲線上某一點的邊際替代率就是無差異曲線在該點上的斜率的絕對值.利用上圖來具體說明商品的邊際替代率遞減規(guī)律和無差異曲線形狀之間的關(guān)系.在圖中，當(dāng)消費者沿著既定的無差異曲線由點運動到點時，商品1的增加量為10，相應(yīng)的商品2的減少量為20.這兩個變量的比值的絕對值為.在圖中，由于無差異曲線是凸函數(shù)，并且斜率是負(fù)的，這就保證了當(dāng)商品1的數(shù)量一單位一單位地逐步增加時，即由點經(jīng)、、運動到的過程中，每增加一單位的商品1所需放棄的商品2的數(shù)量是遞減的，也就是說兩個變量的比值的絕對值是逐漸減小的.這就是在兩商品的代替過程中普遍存在的邊際曲線代替率遞減規(guī)律.隨著一種商品的消費數(shù)量的逐步增加，消費者想要獲得更多的這種商品的愿望就會遞減，從而他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會越來越少.經(jīng)濟(jì)活動中，我們可以根據(jù)市場調(diào)查利用無差異曲線和預(yù)算線等的關(guān)系來得到商品的需求曲線，廠商會根據(jù)需求曲線獲得最大的利潤的生產(chǎn)組合，而消費者也可以得到最滿意的商品組合.所以利用凸函數(shù)的性質(zhì)描繪無差異曲線在買賣雙方的交易活動中起到很大的作用.生產(chǎn)函數(shù)曲線的凸性分析短期生產(chǎn)函數(shù)表示在資本投入量固定時，由資本投入量變化所帶來的最大產(chǎn)量的變化.由該生產(chǎn)函數(shù)可以得到相應(yīng)的資本總產(chǎn)量、平均產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量相互之間的關(guān)系，它們的定義公式分別為：或者根據(jù)三者的定義，可以繪制下圖中的函數(shù)圖像來表示三者的關(guān)系.圖中的橫軸表示可變要素勞動的投入量，縱軸表示產(chǎn)量，、、三條曲線順次表示勞動的總產(chǎn)量曲線、平均產(chǎn)量曲線和邊際產(chǎn)量曲線.由圖可以清楚地看到，對一種可變生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)來說，邊際產(chǎn)量遞減規(guī)律決定了邊際產(chǎn)量表現(xiàn)出先上升而最終下降的特征.根據(jù)邊際產(chǎn)量的定義公式可知，過曲線任何一點的切線的斜率就是相應(yīng)的值.曲線在的斜率大于零.曲線的一階導(dǎo)數(shù)即為曲線的二階導(dǎo)數(shù).所以曲線在階段的二階導(dǎo)數(shù)大于零，即在階段為凸函數(shù).也就是說，邊際產(chǎn)量曲線，在階段上升，達(dá)到最大值后，然后再下降.所以相應(yīng)的總產(chǎn)量曲線的斜率先是遞增的，在到達(dá)拐點，然后再遞減.通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)：根據(jù)在邊際報酬曲線遞減規(guī)律作用下的邊際產(chǎn)量曲線先上升，最終下降的特征，可以先描繪出曲線.由總產(chǎn)量和邊際產(chǎn)量之間的關(guān)系可以描繪出曲線的圖象.最后由平均產(chǎn)量和總產(chǎn)量之間的關(guān)系描繪出曲線的圖象.凸函數(shù)在描述三者關(guān)系中間發(fā)揮了很大的作用，利用函數(shù)凸性可以描繪出生產(chǎn)函數(shù)圖象.估算和研究生產(chǎn)函數(shù)，對于經(jīng)濟(jì)理論實踐和生產(chǎn)實踐又是前提.以上兩種經(jīng)濟(jì)曲線的凸性分析，從數(shù)學(xué)的角度使我們對常見的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象有了更加深入的理解.經(jīng)濟(jì)教材中復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)曲線，通常具有一定的凸性，所以掌握了這種分析方法，對以后的經(jīng)濟(jì)問題探索有很大的幫助.4.2凸函數(shù)在經(jīng)濟(jì)優(yōu)化中的應(yīng)用4.2.1利潤最大問題利潤最大化問題的求解取決于廠商的需求函數(shù)、成本函數(shù)以及生產(chǎn)組合情況，它們之間存在一定的函數(shù)關(guān)系.這個函數(shù)若是凸（凹）函數(shù)的話，就滿足了凸（凹）函數(shù)的性質(zhì).可以用定理4中求極值的充分條件，得到生產(chǎn)關(guān)系中利潤函數(shù)的最大值.例1北京一家商場的某商品的需求函數(shù)為（P的單位為元）；該商品的總成本函數(shù)為;且每件商品需要納稅2元，求出使銷售利潤最大的產(chǎn)品單價和最大利潤額.解該商品的收入函數(shù)為，將代入得出總成本函數(shù)則利潤函數(shù)為由得,又因為，則時，根據(jù)定理3，為凹函數(shù)，則在處取得極大值，由于是唯一的極值點，所以是最大值，當(dāng)單價為101元時，銷售利潤取得最大，最大利潤為元.在解決最大利潤問題時，先找到利潤和其它生產(chǎn)要素之間的函數(shù)關(guān)系式，對利潤函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，得到利潤函數(shù)的穩(wěn)定點.再求利潤函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而判斷利潤函數(shù)是否為凹函數(shù),根據(jù)推論求得的利潤函數(shù)是凹函數(shù)，則在穩(wěn)定點的函數(shù)值即為極大值,即利潤最大值.這樣就把經(jīng)濟(jì)問題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)中常見的函數(shù)問題，經(jīng)濟(jì)中最優(yōu)化問題看成簡單的凸函數(shù)求極值的問題，這樣可以使問題簡單化，便于理解.4.2.2成本最小問題下面看一下成本最小問題.例2要做一個容量為的圓柱形飲料罐，當(dāng)罐子的底半徑為多少時，才能最省材料.解：設(shè)飲料罐的高為，底半徑為，則表面積，由體積得，帶入可得，由得，又因為，可知為凸函數(shù)，則當(dāng)時，取得極小值，只有一個極小值點，既是最大值.當(dāng)?shù)装霃綖?.3cm時，用的材料最少.求成本最小問題時，首先建立起函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)定理4極值的第二充分條件，判斷函數(shù)關(guān)系式是凸函數(shù)，所以在穩(wěn)定點求的函數(shù)值為極小值，即成本最小值.利用凸函數(shù)求極值來解決這類問題，可以在經(jīng)濟(jì)活動中節(jié)省資源，避免浪費.4.2.3最佳庫存問題在生產(chǎn)與銷售管理中，庫存量一定要適度，庫存太少，會造成供不應(yīng)求，失去時機(jī)；庫存太多，又會出現(xiàn)資金積壓或貨物過期等狀況，生產(chǎn)廠家或銷售公司要想維持正常的生產(chǎn)和銷售,管理者必須確定物資的庫存量，即何時補(bǔ)充庫存，應(yīng)該補(bǔ)充多少等.可以把庫存問題轉(zhuǎn)換化為函數(shù)關(guān)系表示，然后用凸函數(shù)求極值解決最佳庫存問題.例3武漢某公司的A產(chǎn)品年銷售量為10萬件，假設(shè)這些產(chǎn)品分成若干批生產(chǎn)，每批需生產(chǎn)準(zhǔn)備費100元；并假設(shè)產(chǎn)品的平均庫存量為批量的一半，且每件產(chǎn)品庫存一年需庫存費0．05元.現(xiàn)想要使每年生產(chǎn)所需的生產(chǎn)準(zhǔn)備費與庫存費之和為最小，則每批的生產(chǎn)量是多少最合適.解：設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費與庫存費之和為，批量為，則，由得，又因為，可知是凸函數(shù).所以當(dāng)時去的極小值，且是唯一的極小值，即為最小值,所以當(dāng)每批生產(chǎn)2