清華大學(xué)材料力學(xué)范欽珊主講-第三章-彈性桿件橫截面上的-正應(yīng)力分析

2023年3月16日材料力學(xué)(I)返回主目錄彈性桿件橫截面上的正應(yīng)力分析第3

章第3章

引言正應(yīng)力分析方法正應(yīng)力公式的應(yīng)用結(jié)論與討論彈性桿件橫截面

上的正應(yīng)力分析

引言第3章彈性桿件橫截面

上的正應(yīng)力分析1若干概念和定義2正應(yīng)力分析的超靜定性質(zhì)3線彈性材料的物性關(guān)系

引言1.若干概念和定義應(yīng)力—分布內(nèi)力在一點(diǎn)的集度F1FnF3F2

引言

工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因?yàn)椤捌茐摹被颉笆А蓖鶑膬?nèi)力集度最大處開(kāi)始。

應(yīng)力就是單位面積上的內(nèi)力?若干概念和定義

引言

正應(yīng)力和切應(yīng)力

位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱(chēng)為“切應(yīng)力”

(ShearingStress).垂直于截面的應(yīng)力稱(chēng)為“正應(yīng)力”

(NormalStress)；若干概念和定義

引言lims=FNDDA?DA0limt=FQDAD?DA0yxzP1

P2ΔADFRΔFQyΔFQzΔFN若干概念和定義

引言

線變形與剪切變形，這兩種變形程度的度量分別稱(chēng)為“正應(yīng)變”(NormalStrain)和“切應(yīng)變”(ShearingStrain),分別用

和表示。

正應(yīng)變與切應(yīng)變?nèi)舾筛拍詈投x

引言問(wèn)題：“正應(yīng)變是單位長(zhǎng)度的線變形量”？

σσxxdxτσxσxdxuu+duτβα)(直角改變量bag+==dxduxe若干概念和定義

引言2正應(yīng)力分析的超靜定性質(zhì)

當(dāng)外力已知時(shí)，可由平衡方程求得內(nèi)力分量—靜定問(wèn)題。當(dāng)內(nèi)力分量已知時(shí)，只能確定應(yīng)力與相關(guān)內(nèi)力分量之間的關(guān)系，卻無(wú)法求得各點(diǎn)應(yīng)力—超靜定問(wèn)題。

引言正應(yīng)力分析的超靜定性質(zhì)xyz

一般情形下，應(yīng)力與相應(yīng)內(nèi)力分量關(guān)系如下：MyMzFNò-=AzxMyA)d(sò=AyxMzA)d(sò=AxxFNAds

引言正應(yīng)力分析的超靜定性質(zhì)σxτxyτxzdAxyzMxFQyFQzòA(xzdA)y＝Mx

+ò-A(xydA)zòAxzdA＝FQzòAxydA＝FQyσxτxyτxzdA

引言正應(yīng)力分析的超靜定性質(zhì)3.線彈性材料的物性關(guān)系exxE=sxexE=tg=Gσxεxgt=Gτγ線彈性材料的物性關(guān)系

引言胡克定律

正應(yīng)力分析方法第3章彈性桿件橫截面

上的正應(yīng)力分析

正應(yīng)力分析方法1.平面假定與變形協(xié)調(diào)方程2.應(yīng)變分布與應(yīng)力分布4.正應(yīng)力表達(dá)式3.應(yīng)用靜力學(xué)方程確定待定常數(shù)

平面假定

變形

物性關(guān)系

靜力方程

正應(yīng)力分析方法應(yīng)變分布應(yīng)力分布應(yīng)力公式1.平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

考察產(chǎn)生正應(yīng)力的最一般情形，即FN、My、Mz同時(shí)作用的情形。

正應(yīng)力分析方法平面假定與變形協(xié)調(diào)方程平面假定

正應(yīng)力分析方法三種位移dx平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法dxu0+du0u0FNxFNxFNxFNx平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法

軸向位移du

0

繞y

軸轉(zhuǎn)動(dòng)

對(duì)于dx

微段，在三個(gè)內(nèi)力分量作用下，兩截面將保持平面，但發(fā)生三種相對(duì)位移：

繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)dydz平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法dxu0+du0u0FNxFNx平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法ud0ud=-y(dz)+z(dy)xyzdu0MyFNMz-y(dz)z(dy)平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法uudd0zydq+yzdq-=變形協(xié)調(diào)方程

根據(jù)疊加原理，橫截面上任意一點(diǎn)(y,z)的位移，可表示為：

此即變形協(xié)調(diào)方程(CompatibilityEquationofDeformation)

。平面假定與變形協(xié)調(diào)方程

正應(yīng)力分析方法2.應(yīng)變分布與應(yīng)力分布=udxd=xe0ezy-rz+yr

微段橫截面的相對(duì)位移，亦即微段各處的變形。于是橫截面上任意點(diǎn)處的正應(yīng)變?yōu)閼?yīng)變分布與應(yīng)力分布

正應(yīng)力分析方法均為待定常數(shù)。0=ddux0e=ddxyy,rqr=ddxzzq此即橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)變分布方程。其中應(yīng)變分布應(yīng)變分布與應(yīng)力分布

正應(yīng)力分析方法sexxE=errzyEEyEz=-+0

應(yīng)力分布此即橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力分布方程。

胡克定律，由應(yīng)變分布得到橫上一點(diǎn)處的正應(yīng)力為應(yīng)變分布與應(yīng)力分布

正應(yīng)力分析方法3.應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)

xNAAFd=òsxzAAyMd=-ò()sxyAAzMd=ò()s

將帶有待定常數(shù)的應(yīng)力公式代入與正應(yīng)力有關(guān)的三個(gè)靜力方程：

正應(yīng)力分析方法應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)整理后得到EAESESFzzyyN()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=11ESEIEIMyyzzyyy()()()err0-+=

正應(yīng)力分析方法應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)其中

SzASyAyAzA==òòdd,

靜矩IzAIyAyAzA==òò22dd,慣性矩IyzAyzA=òd

慣性積zyEAESESFzyN()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=

正應(yīng)力分析方法應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)zyEAESESFNzy()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=Sy=Sz=0,Iyz=0

若將坐標(biāo)原點(diǎn)選在形心處，且y軸和z軸均為主軸，則有

正應(yīng)力分析方法應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)zyEAESESFNzy()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()err011-+=于是，得到待定常數(shù)

1=MEIyyy,r

1=MEIzzzr

這三個(gè)常數(shù)分別表示FN、My、Mz

引起的微段變形程度0=EA,eFN

正應(yīng)力分析方法應(yīng)用靜力學(xué)方程

確定待定常數(shù)4.正應(yīng)力表達(dá)式sxFNA=yyMzI+zzMyI-

正應(yīng)力分析方法正應(yīng)力表達(dá)式

正應(yīng)力公式的

應(yīng)用第3章彈性桿件橫截面

上的正應(yīng)力分析

正應(yīng)力公式的應(yīng)用4.關(guān)于中性軸的概念3.應(yīng)用舉例2.幾種特例1.公式中各項(xiàng)正負(fù)號(hào)的確定第一種辦法：由FN、My、Mz的正負(fù)號(hào)確定。

第二種辦法：

根據(jù)FN、My、Mz的實(shí)際方向及其在所求應(yīng)力點(diǎn)引起的正應(yīng)力之拉、壓性質(zhì)確定。

xyzMy+_Mz+_Nx__1.公式中各項(xiàng)正負(fù)號(hào)確定

正應(yīng)力公式的應(yīng)用公式中各項(xiàng)正負(fù)號(hào)確定2.幾種特例MMyz==0FNx10,sxFNxA

軸向拉伸或壓縮

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例

平面彎曲My=0,FN=0，Mz=0zMzW,sxmax=sxzMyzI=-，

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例平面彎曲Mz=0,FN=0，My=0yMyW,sxmax=yMzyI=xs，

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例

yMzyI=xssxzMyzI=-zMzW,sxmax=yMyW,sxmax=

其中Wy和Wz

分別稱(chēng)為橫截面對(duì)于y軸和z軸的“彎曲截面系數(shù)”（SectionModulusinBending)

平面彎曲

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例

斜彎曲FN=0，My=0Mz0,=sxyyMzI=-

x,max=WyMy＋WzMz)(zzMyI+，

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例

偏心載荷

縱向載荷作用線平行于桿件的軸線，但不重合，這種載荷稱(chēng)為偏心載荷。

正應(yīng)力公式的應(yīng)用幾種特例應(yīng)用舉例例題一已知：矩形截面梁截面寬度b、高度h、長(zhǎng)度l，外載荷FP1和FP2求：根部截面上的最大正應(yīng)力3.應(yīng)用舉例

正應(yīng)力公式的應(yīng)用應(yīng)用舉例例題一A、B二點(diǎn)應(yīng)力最大MMsmax+=+WWyyzz)smax(-=-+MWMWyyzz

正應(yīng)力公式的應(yīng)用？應(yīng)用舉例例題一

對(duì)于圓截面，上述公式是否正確

正應(yīng)力公式的應(yīng)用應(yīng)用舉例例題二已知：外加載荷FP以及橫截面尺寸

求：

ABED截面上四個(gè)角點(diǎn)上的正應(yīng)力

正應(yīng)力公式的應(yīng)用應(yīng)用舉例例題二確定截面上的內(nèi)力分量?jī)煞N方法

正應(yīng)力公式的應(yīng)用應(yīng)用舉例例題二sx=yMzyI+zMyzI-應(yīng)力平面FNA-

正應(yīng)力公式的應(yīng)用3.關(guān)于中性軸的概念關(guān)于中性軸的概念中性軸橫截面上正應(yīng)力為零的點(diǎn)連成的直線

正應(yīng)力公式的應(yīng)用中性軸的位置關(guān)于中性軸的概念

正應(yīng)力公式的應(yīng)用

平面彎曲：中性層、中性軸；加載方向與中性軸之間的關(guān)系。關(guān)于中性軸的概念

正應(yīng)力公式的應(yīng)用關(guān)于中性軸的概念斜彎曲：中性軸位置；加載方向與中性軸之間的關(guān)系。

正應(yīng)力公式的應(yīng)用

偏心載荷：有沒(méi)有中性軸；是否通過(guò)截面形心。關(guān)于中性軸的概念

正應(yīng)力公式的應(yīng)用結(jié)論與討論第3章彈性桿件橫截面

上的正應(yīng)力分析

關(guān)于應(yīng)力分析的結(jié)論

應(yīng)力的概念，確定應(yīng)力的超靜定性質(zhì)，以及由此而產(chǎn)生的分析應(yīng)力的基本方法。結(jié)論與討論結(jié)論

應(yīng)力分析中，重要的是要確定應(yīng)力分布規(guī)律，在此基礎(chǔ)上即可由靜力學(xué)平衡方程確定各點(diǎn)的應(yīng)力表達(dá)式。1．幾點(diǎn)結(jié)論結(jié)論

為了確定橫截面上的內(nèi)力分量，可以有兩種方法：關(guān)于外力的簡(jiǎn)化與內(nèi)力分量的確定結(jié)論與討論在截面的形心和形心主軸處建立Oxyz坐標(biāo)系，然后將一般外力向坐標(biāo)軸投影、取矩，進(jìn)而由平衡求得內(nèi)力分量。

Oy)先在指定截面處截開(kāi)(假想的，并建立xz坐標(biāo)，再將作用在截面一側(cè)的外力，向另一側(cè)面上的坐標(biāo)分別投影或取矩，即得該截面上的內(nèi)力分量。結(jié)論結(jié)論與討論2.幾點(diǎn)討論

關(guān)于公式的適用范圍

直桿與曲桿的變形、