換積分與分部

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1第四節(jié)定積分的換元法與分部積分法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法

第五章2一、定積分的換元法定理1.

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)上則證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則在3說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.2)必須注意換元必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回

.3)換元公式也可反過來使用,即或配元配元不換限4例如，對(duì)于積分不可令x=sint而換元，因?yàn)樵趖=0處不連續(xù)。4)

公式成立的條件不可少因?yàn)闊o論t取何值，x都不可能等于3。對(duì)于不可令,5例1.

計(jì)算解:

令則∴原式=且6例2.

計(jì)算解:

令則∴原式=且7例3.計(jì)算解:

令則且8例4.

設(shè)解:

令則且9證明:(1)例5.

設(shè)f(x)是連續(xù)的以T(>0)為周期的周期函數(shù)，證明(1)對(duì)任何實(shí)數(shù)a，有x=T+u為以T為周期的周期函數(shù)的充要條件是10例5.

設(shè)f(x)是連續(xù)的以T(>0)為周期的周期函數(shù)，證明為以T為周期的周期函數(shù)的充要條件是證明:(2)

11例6.

證明證明：是以為周期的函數(shù)。是以為周期的周期函數(shù)。12例7.證:(1)若(2)若偶倍奇零13結(jié)論:例8.14例9.解：15例10.證明：★16證明：用此結(jié)論可計(jì)算17例11.計(jì)算解：18二、定積分的分部積分法定理2.

則例12.計(jì)算解:19解：例13.20例14.解:若改題為兩邊求導(dǎo),得21例15.解：22例16.

設(shè)在[a,b]上連續(xù)，證明：證明：23例17.u=2a-t證明：24例18.

證明

為偶數(shù)

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