簡述可變?nèi)切螜E圓規(guī)

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一、設(shè)計(jì)思路

在上解析幾何課時(shí)，由于沒有相關(guān)教具，一般只能徒手畫橢圓，也畫不標(biāo)準(zhǔn)，即使使用傳統(tǒng)的直桿式橢圓規(guī)，也只能定性地畫橢圓，不能定量地根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程畫出確定長、短半軸的橢圓。

我在直桿式橢圓規(guī)基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，所設(shè)計(jì)的可變?nèi)切螜E圓規(guī)，以有機(jī)玻璃為材質(zhì)，解決了以上問題，并且具有體積小、重量輕、易攜帶、操作簡單、效果好等優(yōu)點(diǎn)。后面采用吸盤固定以適用不同材質(zhì)的黑板。

尋常能見到的橢圓規(guī)主要由兩部分組成：在一塊平面金屬板上刻有兩條相互垂直的十字槽，在一直尺上裝有兩個(gè)固定滑塊，分別在縱橫槽中滑動，在直尺端點(diǎn)裝上筆，使直尺轉(zhuǎn)一周，就畫出一個(gè)橢圓，這種橢圓規(guī)稱為直桿式橢圓規(guī)。

首先，我發(fā)現(xiàn)適當(dāng)改變直尺上兩滑塊和筆孔的位置，就改變了所畫橢圓的長、短半軸，從而就可畫出大小“扁〞度不同的橢圓。

其次，進(jìn)一步考慮，假使把筆孔放在直尺以外，使兩滑塊與筆孔呈一個(gè)三角形，利用三角形結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，應(yīng)當(dāng)也會畫出橢圓。經(jīng)過推導(dǎo)證明是完全可以的。再變化三角形三條邊長，就會畫出更多的橢圓。這樣的橢圓規(guī)更具有一般性，而原來的橢圓規(guī)只是一個(gè)特例而已。根據(jù)這種思路我自行設(shè)計(jì)并制作成現(xiàn)在的可變?nèi)切螜E圓規(guī)。

二、基本構(gòu)造

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如下圖，在平整木板上刻上兩條相互垂直的平滑槽，用三節(jié)帶有若干孔（或空槽）的直尺組成一個(gè)可變邊長的三角形。在三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)上裝上與十字槽相匹配的滑塊，并在第三個(gè)頂點(diǎn)裝上筆，使整個(gè)三角形轉(zhuǎn)動時(shí)，兩滑塊自然分別在其槽內(nèi)滑動，轉(zhuǎn)動一周，就可以畫出一個(gè)橢圓。適當(dāng)改變?nèi)龡l邊長，就可以相應(yīng)地畫出不同的橢圓。

三、原理推導(dǎo)

[M（x，y）][b][A][X][y][B][O][a][a][θ]

如圖，以十字槽為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，△ABM的頂點(diǎn)A、B分別在x、y軸上，第三頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），設(shè)∠OAB=θ，則x=acos（B-θ），y=bsin[180-（A+θ）]=bsin（A+θ），利用和角公式得

x/a=cosBcosθ+sinBsinθ

y/b=sinAcosθ+cosAsinθ

消去參數(shù)θ，可得（x/a）2-2（x/a）（y/b）sinα+（y/b）2=cos2α

這正好是一般橢圓方程。

為了消除x、y項(xiàng)，用坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換

x=x"cosφ-y"sinφ，y=x"sinφ+y"cosφ

只需取懸轉(zhuǎn)角φ=1/2arccot[（a2-b2）/2absina]，就可使上邊的一般方程化為x"2/a"2+y"2/b"2=1。

四、探討

為了說明該橢圓規(guī)更具有一般性，有更高的境界，僅探討幾個(gè)特例：

1.當(dāng)∠α=π時(shí)，M點(diǎn)落在線段AB上，分線段AB為a、b，此時(shí)畫出的橢圓，其方程為x2/a2+y2/b2=1，特別，M在線段AB中點(diǎn)時(shí)，畫出的就是圓。

2.當(dāng)∠α=O時(shí)，AB、AM與BM三線重合，M點(diǎn)落在AB線段的延長線上，此時(shí)的橢圓規(guī)就是尋常所見的“直桿式〞橢圓規(guī)。

3.當(dāng)∠α=π/2時(shí)，該橢圓規(guī)畫出的橢圓退化為一直線，其方程為x/a=y/b。

4.△ABC為等腰三角形，即a=b時(shí)，坐標(biāo)軸只需旋轉(zhuǎn)φ=l/2arccot=π/4，畫出的橢圓，其方程為：x"2/2a2sin2（α/2+π/4）+y"2/2a2cos2（α/2+π/4）=1。

5.當(dāng)∠A=π/2，∠B=π/6，∠α=π/3時(shí)b=2a，旋轉(zhuǎn)角φ≈49°此時(shí)畫出的橢圓方程為x"2/a"2+y