2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航1隨機事件的概率

隨機事件的概率【考綱要求】了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.【基礎(chǔ)知識】1.事件的定義：隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；必然事件：在一定條件下必然發(fā)生的事件；不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.2.隨機事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).3.概率的性質(zhì)：(由定義知,0≤m≤1,)∴;必然事件的概率為,不可能事件的概率為.必然事件和不可能事件看作隨機事件的兩個極端情形.4.等可能性事件：如果一次試驗中有個可能的結(jié)果——稱為基本事件，且每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，即每個基本事件的概率都是，這種事件叫等可能性事件.5.等可能性事件的概率：在等可能事件中,如果事件包含個結(jié)果，那么事件的概率.6.求概率的方法:(1)等可能性事件的概率,步驟:①明確事件A的意義,確定是否等可能性事件.②求出一次實驗可能出現(xiàn)的結(jié)果的總數(shù)n;求m,n時,要注意是否與順序、位置有關(guān)，是“有放回”還是“無放回”抽取，正確排列、組合公式或計數(shù)原理求出分母n和分子m;(分子、分母可以與順序同時有關(guān)或無關(guān)，解題時可以靈活處理)。③用等可能性事件概率公式P=求出概率值.(2)通過進(jìn)行大量的重復(fù)試驗，用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率.【例題精講】例1在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑．現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用．根據(jù)試驗設(shè)計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗．(1)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；(2)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率．解：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B.從六種中隨機選兩種共有(0,1)、(0,2)、(0,3)、(0,4)、(0,5)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)15種．(1)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的取法有2種：(0,4)、(1,3)，故P(A)＝eq\f(2,15).(2)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于1”的取法有1種：(0,1)；“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于2”的取法有1種：(0,2)，故P(B)＝1－(eq\f(1,15)＋eq\f(1,15))＝eq\f(13,15).例2據(jù)統(tǒng)計，某食品企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴次數(shù)為0,1,2的概率分別為,,.(1)求該企業(yè)在一個月內(nèi)被消費者投訴不超過1次的概率；(2)假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被消費者投訴2次的概率．解：法一：(1)設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)設(shè)事件Ai表示“第i個月被投訴的次數(shù)為0”，事件Bi表示“第i個月被投訴的次數(shù)為1”，事件Ci表示“第i個月被投訴的次數(shù)為2”，事件D表示“兩個月內(nèi)共被投訴2次”．∴P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝(i＝1,2)．∵兩個月中，一個月被投訴2次，另一個月被投訴0次的概率為P(A1C2＋A2C一、二月份均被投訴1次的概率為P(B1B2)，∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(BP(D)＝×＋×＋×＝.法二：(1)設(shè)事件A表示“一個月內(nèi)被投訴2次”，事件B表示“一個月內(nèi)被投訴的次數(shù)不超過1次”．∵P(A)＝，∴P(B)＝1－P(A)＝1－＝.(2)同法一．

隨機事件的概率強化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】1．先后拋擲三枚均勻的壹角、伍角、壹元的硬幣，則出現(xiàn)兩枚正面，一枚反面的概率是()\f(3,8)\f(5,8)\f(1,2)\f(1,3)2．4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)3．一個袋子里裝有編號為1,2，…，12的12個相同大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個球，記錄它的顏色和號碼后再放回到袋子里，然后再摸出一個球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個球的號碼是偶數(shù)的概率是()\f(1,16)\f(3,16)C.eq\f(1,4)\f(7,16)4．有兩個質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個玩具的各面上分別寫有數(shù)字1,2`，3,4.把兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面寫有數(shù)字之和能被5整除的概率為()\f(1,16)\f(1,4)\f(3,8)\f(1,2)5．已知一組拋物線y＝eq\f(1,2)ax2＋bx＋1，其中a為2,4,6,8中任取的一個數(shù)，b為1,3,5,7中任取的一個數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們在與直線x＝1交點處的切線相互平行的概率是()A.eq\f(1,12)\f(7,60)\f(6,25)\f(5,16)6．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對立事件B．不可能事件C．互斥但不對立事件D．以上答案都不對7．12件瓷器中，有10件正品，2件次品，從中任意取出3件，有以下事件：①3件都是正品；②至少有1件是次品；③3件都是次品；④至少有1件是正品．其中隨機事件是________；必然事件是________；不可能事件是________(填上相應(yīng)的序號)．8．向三個相鄰的軍火庫各投一枚炸彈．擊中第一個軍火庫的概率是，擊中另兩個軍火庫的概率各為，并且只要擊中一個，另兩個也爆炸，則軍火庫爆炸的概率為________．9．在兩個袋內(nèi)，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字的6張卡片，今從每個袋中各任取一張卡片，則兩數(shù)之和等于7的概率為____________．10．一個盒子中有10個完全相同的球，分別標(biāo)以號碼1,2，…，10，從中任取一球，求下列事件的概率．(1)A＝{球的標(biāo)號數(shù)不大于3}；(2)B＝{球的標(biāo)號數(shù)是3的倍數(shù)}；(3)C＝{球的標(biāo)號數(shù)為素數(shù)}．11．我國已經(jīng)正式加入WTO，包括汽車在內(nèi)的進(jìn)口商品將最多把關(guān)稅全部降低到世貿(mào)組織所要求的水平，其中有21%的進(jìn)口商品恰好5年關(guān)稅達(dá)到要求，18%的進(jìn)口商品恰好4年達(dá)到要求，其余的進(jìn)口商品將在3年或3年內(nèi)達(dá)到要求，求進(jìn)口汽車在不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求的概率．12．先后隨機投擲2枚正方體骰子，其中x表示第1枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)．(1)求點P(x，y)在直線y＝x－1上的概率；(2)求點P(x，y)滿足y2＜4x的概率．【拓展提高】1、一個口袋里共有2個紅球和8個黃球，從中隨機地接連取3個球，每次取一個.設(shè){恰有一個紅球}=A，{第三個球是紅球}=B.求在下列條件下事件A、B的概率.（1）不返回抽樣；（2）返回抽樣.2.某油漆公司發(fā)出10桶油漆，其中白漆5桶，黑漆3桶，紅漆2桶.在搬運中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)簽重新貼上，問一個定貨3桶白漆、2桶黑漆和1桶紅漆的顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？3.將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次,a、b分別表示拋擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的點數(shù).（1）若a+b<4的事件記為A,求事件A的概率;（2）若點P（a,b）落在直線x+y=m（m為常數(shù)）上,且使此事件的概率最大,求m的值.【基礎(chǔ)精練參考答案】【解析】：先后拋擲三枚硬幣共有如下8種情況，其中兩正一反共有3種情況，故所求概率為eq\f(3,8).【解析】：從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，∴P＝eq\f(2,3).【解析】：據(jù)題意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144種取法，其中兩次取到紅球且至少有一次號碼是偶數(shù)的情況共有6×6－3×3＝27種可能，故其概率為eq\f(27,144)＝eq\f(3,16).【解析】：把“兩個玩具斜向上的面的數(shù)字之和能被5整除”記為事件A，每個玩具斜向上的面的數(shù)字之和有4種情況，兩個玩具各拋擲一次，斜向上的面的數(shù)字之和共有4×4＝16(種)情況，其中能被5整除的有4種情況，舉例如下：(1,2,3)，(2,3,4)；(1,2,4)，(1,3,4)；(1,3,4)，(1,2,4)；(2,3,4)，(1,2,3)．所以P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).【解析】：y′=ax+b，把x=1代入，得y′|x=1=a+b.a+b=5的有1種；a+b=7的有=3種；a+b=9的有=6種；a+b=11的有=3種；a+b=13的有=1種；共有=120種．∴P=.【解析】：由于甲和乙有可能一人得到的紅牌，一人得不到紅牌，也有可能甲、乙兩人都得不到紅牌，故兩事件為互斥但不對立事件．7.①②④③解析：①②是隨機事件，④是必然事件，③是不可能事件．8.解析：設(shè)A、B、C分別表示擊中第一、二、三個軍火庫，易知事件A、B、C彼此互斥，且P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.設(shè)D表示軍火庫爆炸，則P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.所以軍火庫爆炸的概率為.9.eq\f(1,9)解析：兩數(shù)之和共有如下圖所示36種情況.5567891044567893345678223456711234560012345012345其中和為7的有4種情況，因此所求事件的概率為eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).10.解：(1)球的標(biāo)號數(shù)不大于3包括三種情形，即球的標(biāo)號數(shù)分別為1,2,3.P(A)＝P(球的標(biāo)號數(shù)為1)＋P(球的標(biāo)號數(shù)為2)＋P(球的標(biāo)號數(shù)為3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).(2)球的標(biāo)號數(shù)是3的倍數(shù)包括球的標(biāo)號數(shù)為3,6,9三種情況，P(B)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(3,10).(3)球的標(biāo)號數(shù)為素數(shù)包括四種情況，即球的標(biāo)號為2,3,5,7，P(C)＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).11.解：法一：設(shè)“進(jìn)口汽車恰好4年關(guān)稅達(dá)到要求”為事件A，“不到4年達(dá)到要求”為事件B，則“進(jìn)口汽車不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”就是事件A＋B，顯然A與B是互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋(1－－＝.法二：設(shè)“進(jìn)口汽車在不超過4年的時間內(nèi)關(guān)稅達(dá)到要求”為事件M，則eq\x\to(M)為“進(jìn)口汽車5年關(guān)稅達(dá)到要求”，所以P(M)＝1－P(eq\x\to(M))＝1－＝.12.解：(1)每枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)都有6種情況，所以基本事件總數(shù)為6×6＝36個．記“點P(x，y)在直線y＝x－1上”為事件A，A有5個基本事件：A＝{(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)}，∴P