真題題庫課件自動控制原理第4章

2023年3月17日第4章根軌跡分析法2023年3月17日

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及性能主要由閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）決定的。一個較完善的閉環(huán)控制系統(tǒng)其特征方程一般為高階，直接用時域法求解困難。2023年3月17日4.1根軌跡的基本概念4.2繪制根軌跡的基本規(guī)則4.3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制4.4控制系統(tǒng)的根軌跡分析2023年3月17日1948年伊萬斯提出求解閉環(huán)特征方程的根的圖解方法——根軌跡法?？紤]到開環(huán)零極點(diǎn)更易獲取，在開環(huán)零、極點(diǎn)分布已知的情況下，可繪制閉環(huán)極點(diǎn)隨系統(tǒng)參數(shù)變化（如放大系數(shù)）而在s平面上移動的軌跡（根軌跡）。用途：①對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析；②確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)、參數(shù)；③進(jìn)行設(shè)計和綜合。2023年3月17日4．1根軌跡的基本概念

2023年3月17日一、根軌跡圖1.定義：根平面：在一個復(fù)平面（s平面）上標(biāo)出開環(huán)零、極點(diǎn)，并根據(jù)此描述閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，這個復(fù)平面就稱為根平面。根軌跡：指系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（一般為Kg，根軌跡增益）變化時，閉環(huán)特征根在根平面上所走過的軌跡。2023年3月17日2.用解析法繪制根軌跡（實(shí)例）例4-1：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：1.時間常數(shù)表示法主要用于頻率分析中；2.零極點(diǎn)表示法主要用于根軌跡分析中。2023年3月17日開環(huán)有兩個極點(diǎn)：

p1=0，p2=－2開環(huán)沒有零點(diǎn)。

可見，當(dāng)Kg

變化，兩個閉環(huán)極點(diǎn)也隨之連續(xù)變化。當(dāng)Kg

從0→∞變化時，直接描點(diǎn)作出兩個閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡閉環(huán)特征方程為：D(s)=s2+2s+Kg

=0解得閉環(huán)特征根（亦即閉環(huán)極點(diǎn)）2023年3月17日（1）當(dāng)Kg

=0時，s1=0、s2

=－2，此時閉環(huán)極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。（2）當(dāng)0＜Kg＜1時，s1、s2均為負(fù)實(shí)數(shù)，且位于負(fù)實(shí)軸的（－2，0）一段上。（3）當(dāng)Kg=1時，s1=s2=－1，兩個負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)重合在一起。（4）當(dāng)1＜Kg＜∞時，s1，2=－1±，兩個閉環(huán)極點(diǎn)變?yōu)橐粚曹棌?fù)數(shù)極點(diǎn)。s1、s2的實(shí)部不隨Kg變化，其位于過（－1，0）點(diǎn)且平行于虛袖的直線上。（5）當(dāng)Kg＝∞時，

s1=－1+j∞、s2=－1－j∞，此時s1、s2將趨于無限遠(yuǎn)處。

2023年3月17日可根據(jù)根軌跡形狀評價系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能：（1）根軌跡增益Kg從0→∞時，根軌跡均在s平面左半部，在所有的Kg值下系統(tǒng)都是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)0<Kg<1時，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（3）當(dāng)Kg=1時，閉環(huán)特征根為相同負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，其階躍響應(yīng)為非周期過程。（4）當(dāng)Kg>1時，閉環(huán)特征根為共軛復(fù)根，系統(tǒng)呈欠阻尼狀態(tài),其階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。（5）有一個為0的開環(huán)極點(diǎn)，系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，其階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess為零。2023年3月17日

由上述分析過程可知，系統(tǒng)的根軌跡分析的意義在于：由較易獲取的開環(huán)零極點(diǎn)分布分析閉環(huán)極點(diǎn)的性質(zhì)，從而，對系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析。但是，試探法不是繪制根軌跡的最合適方法，而且也太費(fèi)時間。對于高階系統(tǒng)，用這種解析的方法繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖是很麻煩的。實(shí)際上，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根的軌跡都是根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征根的關(guān)系，以及已知的開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)在根平面上的分布，按照一定的規(guī)則用圖解的方法繪制出來的。

2023年3月17日二、根軌跡方程

繪制根軌跡的實(shí)質(zhì)，在于由開環(huán)零極點(diǎn)在s平面尋找閉環(huán)特征根的位置。閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為即

m個開環(huán)零點(diǎn)

n個開環(huán)極點(diǎn)（根軌跡方程）

Kg：根軌跡增益∴在s平面上凡是滿足上式的任意一個點(diǎn)s1、s2、…、s∞，都是閉環(huán)特征根，即閉環(huán)極點(diǎn)。對應(yīng)于Kg

從0→∞

。2023年3月17日1、根軌跡的幅值條件方程和相角條件方程為復(fù)數(shù)，故根軌跡方程是一個向量方程。相角條件：幅值條件：2023年3月17日

相角條件方程和kg無關(guān)，s平面上任意一點(diǎn)，只要滿足相角條件方程，則必定同時滿足幅值條件，該點(diǎn)必定在根軌跡上，即對應(yīng)不同的kg時的閉環(huán)極點(diǎn)，相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充分必要條件。（實(shí)、虛軸選用相同的比例尺刻度）2023年3月17日2、幅值條件和相角條件應(yīng)用

為從一個開環(huán)零點(diǎn)指向s的向量為從一個開環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)指向s的向量向量的模為長度，即s平面上兩點(diǎn)之間的距離；相角為此向量指向方向與實(shí)軸之間的夾角，逆時針為正，順時針為負(fù)；1.可以直接計算；2.或在圖上直接測量S為試探點(diǎn)2023年3月17日解：

不符合相角條件，

s1不在根軌跡上。滿足相角條件，s2在根軌跡上。（1）.用相角條件求根軌跡（試探法）例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試判斷是否在根軌跡上。2023年3月17日（2）.用幅值條件確定kg的值解：例：求上例中根軌跡上點(diǎn)對應(yīng)的Kg

。、也可以用直尺測量向量的長度。2023年3月17日小結(jié)：相角條件判斷是否閉環(huán)極點(diǎn)（根）幅值條件確定對應(yīng)的根軌跡增益圖解法：注意坐標(biāo)、比例但是控制系統(tǒng)的根軌跡圖不能遍歷s平面上所有的點(diǎn)來繪制。因?yàn)樵跐M足根軌跡條件方程的基礎(chǔ)上，根軌跡的圖是有一些規(guī)律的。依據(jù)繪制軌跡圖的一些基本法則，就可以繪制出控制系統(tǒng)的根軌跡草圖。2023年3月17日4．2繪制根軌跡的基本規(guī)則

2023年3月17日由開環(huán)零、極點(diǎn)→當(dāng)Kg為可變參數(shù)時，閉環(huán)極點(diǎn)的變化軌跡。2023年3月17日是Kg或其它參數(shù)的連續(xù)函數(shù)。當(dāng)Kg從0→+∞連續(xù)變化時，閉環(huán)極點(diǎn)連續(xù)變化，即根軌跡是連續(xù)變化的曲線或直線?！呔€性系統(tǒng)特征方程系數(shù)均為實(shí)數(shù)，∴閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)（包括一對純虛根），根軌跡對稱于實(shí)軸。一、連續(xù)性與對稱性2023年3月17日二、根軌跡的分支數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)為n階，故開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)都為n個，當(dāng)Kg從0→+∞變化時，n個根在s平面上連續(xù)形成n條根軌跡。一條根軌跡對應(yīng)一個閉環(huán)極點(diǎn)隨Kg的連續(xù)變化軌跡。

根軌跡的分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)2023年3月17日三、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)由幅值條件有：1.起點(diǎn)：Kg=0，等式右邊=∞，僅當(dāng)成立，∴n條根軌跡起始于系統(tǒng)的n個開環(huán)極點(diǎn)。2023年3月17日∴另外n－m條根軌跡終止于∞處（±∞，相角可為任意方向）。結(jié)論：根軌跡以n個開環(huán)極點(diǎn)為起點(diǎn)；以m個開環(huán)零點(diǎn)為終點(diǎn)，另外n－m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。

2.終點(diǎn)：kg=∞

，等式右邊=0①當(dāng)②由于n>m時，只有s→∞處成立，m條根軌跡終止于m

個開環(huán)零點(diǎn)處；2023年3月17日四、根軌跡的漸近線

若n>m，當(dāng)Kg從0→+∞時，有(n–m)條根軌跡分支沿著實(shí)軸正方向夾角θ，截距為的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。與實(shí)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)：

僅當(dāng)s足夠大時，根軌跡才向漸近線逐漸逼近，Kg→∞，根軌跡才與漸近線重合。一般直接取180o。2023年3月17日-2-102023年3月17日-2-102023年3月17日［例4-1］已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定根軌跡的支數(shù)、起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，試確定漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)及漸近線的傾斜角。

解

由于n=3，所以有3條根軌跡，起點(diǎn)分別在由于m=0，開環(huán)傳遞函數(shù)沒有有限值零點(diǎn)，所以三條根軌跡的終點(diǎn)都在無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)－σ及傾斜角分別為

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。根軌跡的起點(diǎn)和三條漸近線如圖4.4所示。2023年3月17日五、實(shí)軸上的根軌跡①、兩向量對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反；、兩向量也對稱于實(shí)軸，引起的相角大小相等、方向相反。

開環(huán)復(fù)平面上的開環(huán)零、極點(diǎn)，由于是共軛復(fù)數(shù)對，對實(shí)軸上任一點(diǎn)s1的相角影響為0，對于實(shí)軸上根軌跡的判別來說不影響幅角條件?！嗯袛?/p>

s1是否落在根軌跡上，共軛零、極點(diǎn)不考慮。2023年3月17日③位于s1左邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：、向量引起的相角為0°∴判斷

s1是否落在根軌跡上，位于s1左邊的零、極點(diǎn)不考慮。②位于s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)：每個零、極點(diǎn)提供180°相角。結(jié)論：s1右邊的實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)（開環(huán)）個數(shù)的總和為奇數(shù)，則s1位于根軌跡上。2023年3月17日［例4.2］設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求實(shí)軸上的根軌跡。解

系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為－0.5，開環(huán)極點(diǎn)為0（二重極點(diǎn)），－1，－1.5，－4（如圖4.5所示）。根據(jù)實(shí)軸上根軌跡的判別條件可以得到區(qū)間［－4，－1.5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，以及區(qū)間［－1，－0.5］右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為3，均為奇數(shù)，故實(shí)軸上根軌跡在上述兩區(qū)間內(nèi)如圖中所示。2023年3月17日六、根軌跡的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)

若兩條根軌跡在復(fù)平面上的某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為根軌跡的分離點(diǎn)或會合點(diǎn)。此點(diǎn)對應(yīng)于二重根（實(shí)根和共軛復(fù)數(shù)根）。一般多出現(xiàn)在實(shí)軸上。分析：1.如圖，，為實(shí)軸上的根軌跡。兩條根軌跡分別由-p1和-p1出發(fā)，隨kg的增大，會合于a點(diǎn)繼而又分開，離開實(shí)軸，進(jìn)入復(fù)平面，再回到實(shí)軸，會合于b點(diǎn)再離開，一條終止于-z1，另一趨于負(fù)無窮遠(yuǎn)處。2023年3月17日2.規(guī)律：①若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間存在根軌跡，之間必有分離點(diǎn)；②若實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（一個可視為無窮遠(yuǎn)）之間存在根軌跡，之間必有會合點(diǎn)；③若實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)之間存在根軌跡，則其間可能既有分離點(diǎn)也有會合點(diǎn)，也可能都沒有。2023年3月17日3.求分離角（會合角）：在分離點(diǎn)（會合點(diǎn)）上，根軌跡切線與正實(shí)軸的夾角，l為相分離的根軌跡分支數(shù)。

2023年3月17日4.分離點(diǎn)的求取消Kg得：特征方程：→s分離點(diǎn)①重根法特征方程：A（s）=0具有重根，則：2023年3月17日②極值法③試探法2023年3月17日舉例：已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。解：（用重根法）2023年3月17日判斷：開環(huán)極點(diǎn)有三個∴在實(shí)軸上為根軌跡，則s1滿足，為分離點(diǎn)。-2-10-0.4232023年3月17日七、根軌跡的出射角和入射角出射角：始于開環(huán)極點(diǎn)的根軌跡在起點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角入射角：止于開環(huán)零點(diǎn)的根軌跡在終點(diǎn)的切線與正實(shí)軸的夾角

：由其它各開環(huán)零點(diǎn)指向的向量的幅角：由其它各開環(huán)極點(diǎn)指向的向量的幅角入射角：出射角：2023年3月17日［例4.4］設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)極、零點(diǎn)如圖4.10所示，試確定根軌跡離開共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。

解

利用公式（4.30），由作圖可得考慮到幅角的周期性，取=－26.6°。同理，可得=+26.6°。

2023年3月17日八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

隨著Kg↑，根軌跡可能由s左半平面→右半平面，系統(tǒng)會從穩(wěn)定→不穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，即閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根，出現(xiàn)臨界穩(wěn)定。

求解方法（兩種方法）：②勞斯判據(jù)：第一列有0元素（純虛根），代入輔助方程，此處的增益→臨界根軌跡增益Kgp。①令s=jω代入閉環(huán)特征方程A（s）=0

，再令

求出ω、交點(diǎn)坐標(biāo)和Kg。2023年3月17日例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)、臨界根軌跡增益kgp。解：①

∴交點(diǎn)坐標(biāo)：得：（舍去）令s=jω代入有2023年3月17日當(dāng)時，s1行等于0，有一對純虛根，輔助方程

1230s3s2s1s0

解：②勞斯判據(jù)2023年3月17日-2-10-0.423

根軌跡和虛軸交點(diǎn)相應(yīng)于系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。即K>3后，系統(tǒng)不穩(wěn)定（有閉環(huán)右極點(diǎn)）。2023年3月17日九、閉環(huán)極點(diǎn)的和由根與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)：開環(huán)極點(diǎn)之和=閉環(huán)極點(diǎn)之和=常數(shù)

表明，隨著Kg↑，若閉環(huán)一些特征根增大時，另一些特征根必定減小，以保持其代數(shù)和為常數(shù)。即一些分支向右移動時，另一些分支必向左移動，保持左右平衡。①可根據(jù)部分分支走向，判斷另一些分支的走向。②對于某一Kg，若已知（n-1）個閉環(huán)極點(diǎn)，可求最后一個閉環(huán)極點(diǎn)。2023年3月17日設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為由根與系數(shù)的關(guān)系：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為∴

是一個n階方程，設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)（特征方程根）分別為，則由根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時，∴2023年3月17日例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為，試求其相應(yīng)的第三個閉環(huán)極點(diǎn)，并求交點(diǎn)處的臨界根軌跡增益Kgp解：開環(huán)極點(diǎn)之和閉環(huán)極點(diǎn)之和：2023年3月17日-2-10-0.423③①②①向左，②、③關(guān)于實(shí)軸對稱，只能向右移動。2023年3月17日小結(jié)：①按9條規(guī)則→繪制控制系統(tǒng)從Kg=0→+∞時根軌跡的草圖→直觀分析Kg變化對性能的影響；②進(jìn)一步根據(jù)幅角條件，采用試探法準(zhǔn)確確定若干點(diǎn)的位置（特別是虛軸附近或原點(diǎn)附近）→精確根軌跡。（根軌跡的重要部位，穩(wěn)定→不穩(wěn)定）2023年3月17日4．3控制系統(tǒng)根軌跡的繪制2023年3月17日例4.6：設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制根軌跡圖的步驟如下：（1）根軌跡共有2支。起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)s=－0.1，－1.5，一支根軌跡的終在s=－1，另一支沿負(fù)實(shí)軸趨向無窮遠(yuǎn)處。（2）實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間（－∞，－1），［－0.5，－0.1］。（3）根軌跡在實(shí)軸的分離點(diǎn)和會合點(diǎn)已在例4.3中求得：分離點(diǎn)坐標(biāo)為－σd1=－0.33，Kgd1=0.06；會合點(diǎn)的坐標(biāo)為－σd2=－1.67，Kgd2=22.6。（4）復(fù)平面上的根軌跡是圓。一、單回路負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡2023年3月17日例4.7：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解

繪制步驟如下：（1）求得系統(tǒng)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)為－1±j。（2）根軌跡共有4條，起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn)0，－3，－1±j，一條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)－2其余3條終止于無窮遠(yuǎn)處。（3）根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為漸進(jìn)線傾角為當(dāng)k=0，1，2時分別和傾斜角為60°，180°，300°（4）實(shí)軸上根軌跡在區(qū)間（－∞，－3）和［－2，0］。（5）實(shí)軸上無分離點(diǎn)和會合點(diǎn)。（6）根軌跡離開復(fù)數(shù)極點(diǎn)－1±j的出射角已在例4-4中求得為±26.6°2023年3月17日（7）計算根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為即

列出勞斯矩陣為s4182Kgs35

6+Kgs22Kg

s10由于Kg＞0，若勞斯矩陣第一列的s1行等于零，則系統(tǒng)具有共軛虛根。即當(dāng)

可解得Kg=7.0。相應(yīng)的ω值由s2行系數(shù)組成的輔助方程確定，即以s=jω代入可得：ω±1.6［40－(6+7)］s2+5×2×7=02023年3月17日2023年3月17日二、參數(shù)根軌跡某些開環(huán)零、極點(diǎn)、時間常數(shù)、反饋比例系數(shù)等，作為可變參數(shù)所繪制的根軌跡，稱之為參數(shù)根軌跡。用參數(shù)根軌跡可以分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)對系統(tǒng)的影響。繪制參數(shù)根軌跡的步驟如下：（1）寫出原系統(tǒng)的特征方程。（2）以特征方程中不含參數(shù)的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程，該方程中原系統(tǒng)的參數(shù)即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。（3）繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。［例4.8］

控制系統(tǒng)如圖4.15所示，當(dāng)Kg=4時，試?yán)L制開環(huán)極點(diǎn)p變化時參數(shù)根軌跡。解

當(dāng)Kg=4時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為2023年3月17日所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。由于由于所以系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

（4.38）GDK(s)也可以用特征方程中不含參量的各項(xiàng)去除特征方程求得。GDK(s)與原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)在閉環(huán)特征方程上是等價的，因此稱為等效開環(huán)傳遞函數(shù)。GDK(s)中的參數(shù)稱為等效根軌跡增益。按照根軌跡繪圖規(guī)則，可以繪制等效系統(tǒng)的等效根軌跡從零變化到無窮大時等效系統(tǒng)的根軌跡如圖4.16所示。

2023年3月17日三、多回路系統(tǒng)的根軌跡

實(shí)際中，許多系統(tǒng)為抑制干擾以提高系統(tǒng)的性能，除了有主反饋閉環(huán)外，還設(shè)置了內(nèi)環(huán)通道，這就是多回路系統(tǒng)。例如在機(jī)電調(diào)速系統(tǒng)中，通常是除了速度反饋外，還有電流反饋形成的內(nèi)環(huán)，亦稱雙閉環(huán)系統(tǒng)。在工業(yè)過程控制中也有類似的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，如串級控制系統(tǒng)。這些都是多回路系統(tǒng)。多回路系統(tǒng)的根軌跡的繪制較單回路要復(fù)雜一些。2023年3月17日四、正反饋系統(tǒng)的根軌跡我們知道，負(fù)反饋是自動控制系統(tǒng)的一個重要特點(diǎn)。但在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反饋回路（如圖4.21所示）。這種局部正反饋的結(jié)構(gòu)可能是控制對象本身的特性，也可能是為滿足系統(tǒng)的某種性能要求在設(shè)計系統(tǒng)時加進(jìn)的。因此，在利用根軌跡法對系統(tǒng)進(jìn)行分析或綜合時，有時需繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡。這時，繪制根軌跡的條件和規(guī)則與上述有所區(qū)別。在繪制正反饋回路的根軌跡時，需對表4.1中的一些規(guī)則，作如下修改。規(guī)則4n-m條漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角的計算公式為：

規(guī)則5在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊的開環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)目之和為偶數(shù)。

規(guī)則7根軌跡的出射角和入射角的計算公式為

除了上述3項(xiàng)規(guī)則修改外，其他規(guī)則均不變。2023年3月17日［例4.9］設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。

解

繪制步驟如下：（1）根軌跡起點(diǎn)在0，－1，－5。共有三支，終點(diǎn)均在無窮遠(yuǎn)處。

（2）趨于無窮遠(yuǎn)處的根軌跡的漸近線與實(shí)軸相交于－2，夾角由（4-53）計算，結(jié)果為0°，120°，240°

（3）實(shí)軸上根軌跡的區(qū)間：［－5，－1］和［0，∞］。

（4）根軌跡的分離點(diǎn)按下式計算

即

解得

s=－3.52，－0.48由于－0.48不在根軌跡上，所以根軌跡分離點(diǎn)為－3.52，分離角為±90°。系統(tǒng)的零度根軌跡如圖4.22所示。

2023年3月17日五、

滯后系統(tǒng)的根軌跡

包含時間滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為純時間滯后系統(tǒng)，或簡稱為滯后系統(tǒng)。滯后環(huán)節(jié)的存在使根軌跡具有一定的特殊性，并往往對系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來不利的影響。滯后系統(tǒng)的根軌跡方程為相應(yīng)的幅值方程為幅角方程為2023年3月17日當(dāng)τ=0時幅值方程和幅角方程與一般系統(tǒng)的幅值方程和幅角方程相同。當(dāng)τ≠0時，特征根s=σ+jω的實(shí)部將影響幅值方程，而幅角方程也不是180°，它是ω的函數(shù)，且和k值有關(guān)，當(dāng)k=0時，幅角方程為當(dāng)k=1時，幅角方程變?yōu)轱@然，當(dāng)k值從0，1，2…變到∞時，幅角條件公式的右邊也有無窮多個數(shù)值。因此，對應(yīng)于一定的Kg值，同時滿足幅值條件和幅角條件的復(fù)平面上的點(diǎn)有無窮多個，即滯后系統(tǒng)的根軌跡有無窮多支?？梢?，繪制一般系統(tǒng)的根軌跡的基本法則，用于滯后系統(tǒng)均應(yīng)作相應(yīng)的更改。

2023年3月17日4．4控制系統(tǒng)的根軌跡分析2023年3月17日

系統(tǒng)的階躍響應(yīng)與閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布密切相關(guān)。根據(jù)根軌跡→求已知參數(shù)（一般為σ%、tS）下的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)→分析系統(tǒng)性能。分析可包括：1.由給定參數(shù)確定閉環(huán)零、極點(diǎn)；2.分析參數(shù)變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；3.計算系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)；4.根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)。2023年3月17日一、求取閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的方法：

例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，求具有阻尼比ξ=0.5的共軛閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和其它閉環(huán)極點(diǎn)，并估算此時系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解：①繪制根軌跡2023年3月17日②分離點(diǎn)：③與虛軸的交點(diǎn)：穩(wěn)定范圍2023年3月17日④作圖求ξ=0.5時三個閉環(huán)極點(diǎn)2023年3月17日非主導(dǎo)極點(diǎn)與主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部之比

⑤性能分析

模之比∴-s1、-s2

在系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過程中起著主導(dǎo)性作用，是閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)?？筛鶕?jù)由-s1、-s2所構(gòu)成的二階系統(tǒng)來估算三階系統(tǒng)。2023年3月17日單位斜坡給定作用下穩(wěn)態(tài)誤差：Ⅰ型系統(tǒng)：2023年3月17日二、閉環(huán)零、極點(diǎn)分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系：1.系統(tǒng)要穩(wěn)定：閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面，與閉環(huán)零點(diǎn)無關(guān)；2.快速性好：閉環(huán)