倉庫容量有限條件下的隨機(jī)存貯管理模型

倉庫容量有限條件下的隨機(jī)存貯管理模型第1頁/共32頁賽題內(nèi)容賽題分析2模型的建立與應(yīng)用3模型的改進(jìn)4模型的推廣和思考51第2頁/共32頁賽題內(nèi)容工廠生產(chǎn)需定期地定購各種原料，商家銷售要成批地購進(jìn)各種商品。無論是原料或商品，都有一個(gè)怎樣存貯的問題。存得少了無法滿足需求，影響利潤(rùn)；存得太多，存貯費(fèi)用就高。因此說存貯管理是降低成本、提高經(jīng)濟(jì)效益的有效途徑和方法。第3頁/共32頁問題1某商場(chǎng)銷售的某種商品。市場(chǎng)上這種商品的銷售速率假設(shè)是不變的，記為，每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)，與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；使用自己倉庫貯存時(shí)，單位商品每天的貯存費(fèi)用記為，由于自己的倉庫容量有限，超出時(shí)需要使用租借的倉庫存貯商品，單位商品每天的貯存費(fèi)用記為，且；允許商品缺貨，但因缺貨而減少銷售要造成損失，單位商品的損失記為；每次訂貨，設(shè)貨物在天后到達(dá)，交貨時(shí)間是隨機(jī)的；自己的倉庫用于存貯商品的最大容量為，每次到貨后使用這種商品的存貯量補(bǔ)充到固定值為止，且；在銷售過程中每當(dāng)存貯量降到時(shí)開始訂貨。請(qǐng)給出使總損失費(fèi)用達(dá)到最低的訂貨點(diǎn)（最優(yōu)訂貨點(diǎn)）的數(shù)學(xué)模型。第4頁/共32頁問題2

以下是來自某個(gè)大型超市的關(guān)于三種商品的真實(shí)數(shù)據(jù)：商品一：康師傅精裝巧碗香菇燉雞面第5頁/共32頁商品二：心相印手帕紙10小包裝第6頁/共32頁商品三：中匯香米5KG裝按你的模型分別計(jì)算出這三種商品各自相應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。第7頁/共32頁問題3問題1是只有一種商品需要訂貨的情形。實(shí)際上常遇到在庫存容量有限的情況下，有多種商品需要同時(shí)訂貨的情形，這時(shí)需考慮充分利用存貯體積的問題。設(shè)有種商品需要訂貨，它們每次一同從一個(gè)供應(yīng)站訂貨，每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)，與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；訂購的貨物同時(shí)到達(dá)，到貨天數(shù)如問題1所述是隨機(jī)的。這種商品的銷售速率分別為（袋或盒/天），每袋（盒）的體積分別為。使用自己的倉庫和租借的倉庫時(shí)單位體積商品每天的存貯費(fèi)分別記為和，單位體積商品每天的缺貨損失記成，自己的倉庫用于存貯第8頁/共32頁這種商品的存貯量總體積補(bǔ)充到固定體積容量為止，且。每當(dāng)這種商品的存貯量總體積降到時(shí)即開始訂貨。試通過建立數(shù)學(xué)模型說明應(yīng)如何確定最優(yōu)訂貨點(diǎn)和自己的倉庫用于存貯這種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時(shí)使這種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積，才能使總損失費(fèi)用達(dá)到最低？第9頁/共32頁問題4如果把問題2中的三種商品按問題3的方法同時(shí)訂貨，其中立方米，立方米，立方米，自己的倉庫用于存貯在3種商品的總體積容量立方米，每次到貨后這3種商品的存貯量總體積補(bǔ)充到固定體積容量立方米為止，且該供應(yīng)站從接到訂貨通知到貨物送達(dá)商場(chǎng)的天數(shù)服從1天到3天間的均勻分布。其余數(shù)據(jù)同問題2中相應(yīng)的商品中所列出的數(shù)據(jù)。試按問題3的模型求出這3種商品的最優(yōu)訂貨點(diǎn)和自己的倉庫用于存貯這3種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時(shí)使這3種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積。第10頁/共32頁問題5商品的銷售經(jīng)常是隨機(jī)的，訂貨情況在一段時(shí)間后是會(huì)發(fā)生變化的，相應(yīng)地商家就應(yīng)該調(diào)整訂貨和存貯策略。你們能否對(duì)此建立數(shù)學(xué)模型加以討論。第11頁/共32頁賽題分析費(fèi)用的分類：1、訂貨費(fèi)：2、存貯費(fèi)：自己的倉庫存貯，其他倉庫存貯3、缺貨造成的損失：

存貯的容量：1、自己倉庫最大容量：2、存貯費(fèi)的補(bǔ)充：到，且3、訂貨點(diǎn)：降到時(shí)開始訂貨

第12頁/共32頁賽題分析隨機(jī)變量的分析：：交貨時(shí)間隨機(jī)變量類型？服從何種分布？單一商品的存貯與多種商品存貯之間的關(guān)系？

第13頁/共32頁模型的建立與應(yīng)用

1)：商家在銷售商品時(shí)，不會(huì)把所有商品均售出再訂貨，即；

2)：銷售時(shí)優(yōu)先考慮租用倉庫的商品，存貯時(shí)優(yōu)先考慮自身倉庫；

3)：支付的費(fèi)用按天計(jì)算，每天的貯存費(fèi)在該天結(jié)束時(shí)支付，若未結(jié)束時(shí)銷售完畢，則不支付該天費(fèi)用；

4)：最優(yōu)訂貨點(diǎn)在考慮了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望后制定。模型假設(shè)第14頁/共32頁銷售周期：從最大存貯容量到下一次達(dá)到最大存貯容量之間的時(shí)間差。問題1模型的建立總損失費(fèi)用：訂貨點(diǎn)和交貨時(shí)間的函數(shù)：下引入三個(gè)描述不同情況的時(shí)間的參量：：租借倉庫存貯量的銷售時(shí)間：最長(zhǎng)銷售時(shí)間：準(zhǔn)備訂貨前的銷售時(shí)間第15頁/共32頁考慮可能存在的銷售情況：?jiǎn)栴}1模型的建立情形一：在下一銷售周期到來之前一直在銷售租借倉庫的商品，表示為：此時(shí)產(chǎn)生的費(fèi)用（平均每天的損失費(fèi)用）：第16頁/共32頁問題1模型的建立情形二：在下一銷售周期到來之前先銷售租借倉庫的商品，再銷售自身倉庫的商品，沒有缺貨，表示為：此時(shí)產(chǎn)生的費(fèi)用（平均每天的損失費(fèi)用）：第17頁/共32頁問題1模型的建立情形三：在下一銷售周期到來之前先銷售租借倉庫的商品，再銷售自身倉庫的商品，缺貨，表示為：此時(shí)產(chǎn)生的費(fèi)用（平均每天的損失費(fèi)用）：第18頁/共32頁問題1模型的建立下面假設(shè)滿足某一離散型分布（泊松分布、二項(xiàng)分布等），則可求出其數(shù)學(xué)期望：將代入上面費(fèi)用表達(dá)式，可得到關(guān)于訂貨點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式，令其對(duì)求導(dǎo)，可得出對(duì)應(yīng)最小值，即為所求最優(yōu)訂貨點(diǎn)。第19頁/共32頁問題2模型的求解確定滿足的分布，可將其假定為滿足泊松分布，由題中所給出的數(shù)據(jù)，可算出不同商品所對(duì)應(yīng)的交貨時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而計(jì)算出不同最優(yōu)訂貨點(diǎn)分別為35,39,40。第20頁/共32頁問題3模型的建立種商品需訂貨（訂貨費(fèi)常數(shù)），到貨天數(shù)為一隨機(jī)變量，相關(guān)參數(shù)（單位商品）：第種商品的銷售速率：

第種商品的體積：第種商品租用倉庫的貯存費(fèi)：第種商品使用自家倉庫的貯存費(fèi)：第種商品缺貨時(shí)造成的損失：

第21頁/共32頁問題3模型的建立自身倉庫存貯時(shí)，種商品總體積容量：每次訂貨后，種商品存貯量的總體積補(bǔ)充到固定體積：種商品總體積從降到時(shí)開始訂貨所求為：最優(yōu)訂貨點(diǎn)：自身倉庫存貯種商品的各自體積容量：種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積：第22頁/共32頁問題3模型的建立設(shè)在一個(gè)銷售周期內(nèi)，、和體積容量的商品中含有的商品個(gè)數(shù)分別為、和，則有需為一銷售周期內(nèi)一天的平均損失費(fèi)用尋找一統(tǒng)一表達(dá)式，要求：考慮到某種商品的出現(xiàn)時(shí)，表達(dá)式中出現(xiàn)與此有關(guān)項(xiàng)，否則此項(xiàng)為零；具體為某種情況時(shí)，表達(dá)式中某項(xiàng)可出現(xiàn)，其他情況所對(duì)應(yīng)式子為零。第23頁/共32頁問題3模型的建立由此可得一銷售周期內(nèi)平均每天損失費(fèi)用的數(shù)學(xué)表達(dá)式：第24頁/共32頁問題3模型的建立此式為關(guān)于、和的函數(shù)表達(dá)式，即求這三個(gè)變量在上面所給出條件下的最小值，可用拉格朗日乘數(shù)法解決，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：求偏導(dǎo)：可得駐點(diǎn)、和，從而得最優(yōu)訂貨點(diǎn)，及第25頁/共32頁問題4模型的求解可直接按照問題3所給方法求解，但是應(yīng)用在此實(shí)際問題中計(jì)算量復(fù)雜，所以可根據(jù)實(shí)際所給出數(shù)據(jù)，分析其特點(diǎn)，進(jìn)而求解。服從1到3上的均勻分布，即=2.

從數(shù)據(jù)可看出，缺貨造成的損失遠(yuǎn)大于存貯費(fèi)，所以在制定最優(yōu)訂貨點(diǎn)時(shí)應(yīng)該非缺貨情況：第26頁/共32頁問題4模型的求解沒有缺貨，應(yīng)滿足：即應(yīng)盡量使中匯香米存入到自己倉庫，即先令達(dá)到最大，再令盡量大另一方面：可得再看費(fèi)用的取值情況，有：第27頁/共32頁問題4模型的求解滿足以上式子，可解得利用窮舉法可得出滿足上述條件的所有整數(shù)解，進(jìn)而可得出最優(yōu)值：分別為56，30，60，0，0，60，36，15，48，可得最優(yōu)訂貨點(diǎn)為：第28頁/共32頁問題5模型推廣和思考銷售率變化的模型商品的實(shí)際銷售過程中，商品的銷售率并非定值，可隨時(shí)間變化而變化，可假定銷售率的函數(shù)表達(dá)式，例如如下形式：，為銷售周期，，、、可通過擬合一組銷售率的原始數(shù)據(jù)得到。第