人教A版選修《定積分的概念》同步練習(xí)

選修2-21.5.3一、選擇題1．定積分eq\i\in(1,3,)(－3)dx等于()A．－6 B．6C．－3 D．3[答案]A[解析]由積分的幾何意義可知eq\i\in(1,3,)(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所圍成的矩形面積的相反數(shù)，故eq\i\in(1,3,)(－3)dx＝－6.2．定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無(wú)關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無(wú)關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無(wú)關(guān)D．與f(x)、區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)[答案]A[解析]由定積分定義及求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟知A正確．3．下列說(shuō)法成立的個(gè)數(shù)是()①eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)eq\f(b－a,n)②eq\i\in(a,b,)f(x)dx等于當(dāng)n趨近于＋∞時(shí)，f(ξi)·eq\f(b－a,n)無(wú)限趨近的值③eq\i\in(a,b,)f(x)dx等于當(dāng)n無(wú)限趨近于＋∞時(shí)，eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)eq\f(b－a,n)無(wú)限趨近的常數(shù)④eq\i\in(a,b,)f(x)dx可以是一個(gè)函數(shù)式子A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]由eq\i\in(a,b,)f(x)dx的定義及求法知僅③正確，其余不正確．故應(yīng)選A.4．已知eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝56，則()\i\in(1,2,)f(x)dx＝28 \i\in(2,3,)f(x)dx＝28\i\in(1,2,)2f(x)dx＝56 \i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56[答案]D[解析]由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0圍成的曲邊梯形可分拆成兩個(gè)：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0圍成的曲邊梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0圍成的曲邊梯形．∴eq\i\in(1,3,)f(x)dx＝eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx即eq\i\in(1,2,)f(x)dx＋eq\i\in(2,3,)f(x)dx＝56.故應(yīng)選D.5．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，則eq\i\in(a,b,)6f(x)dx等于()A．6 B．6(b－a)C．36 D．不確定[答案]C[解析]∵eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，∴在eq\i\in(a,b,)6f(x)dx中曲邊梯形上、下底長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的6倍，由梯形面積公式，知eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝6eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝36.故應(yīng)選C.6．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(x≥0)，,2x(x<0)，))則eq\i\in(,1,)－1f(x)dx的值是()[答案]D[解析]由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過(guò)求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積分來(lái)實(shí)現(xiàn)，顯然D正確，故應(yīng)選D.7．下列命題不正確的是()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則C．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b)上連續(xù)且eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0，則f(x)在[a，b)上恒正[答案]D[解析]本題考查定積分的幾何意義，對(duì)A：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A正確．對(duì)B：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故圖象都在x軸下方或上方且面積相等，故B正確．C顯然正確．D選項(xiàng)中f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)>0的曲線圍成的面積比f(wàn)(x)<0的曲線圍成的面積大．[答案]B9．利用定積分的有關(guān)性質(zhì)和幾何意義可以得出定積分eq\i\in(,1,)－1[(tanx)11＋(cosx)21]dx＝()A．2eq\i\in(0,1,)[(tanx)11＋(cosx)21]dxB．0C．2eq\i\in(0,1,)(cosx)21dxD．2[答案]C[解析]∵y＝tanx為[－1,1]上的奇函數(shù)，∴y＝(tanx)11仍為奇函數(shù)，而y＝(cosx)21是偶函數(shù)，∴原式＝eq\i\in(,1,)－1(cosx)21dx＝2eq\i\in(0,1,)(cosx)21dx.故應(yīng)選C.10．設(shè)f(x)是[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，則eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(t)dt的值()A．小于零 B．等于零C．大于零 D．不能確定[答案]B[解析]eq\i\in(a,b,)f(x)dx和eq\i\in(a,b,)f(t)dt都表示曲線y＝f(x)與x＝a，x＝b及y＝0圍成的曲邊梯形面積，不因曲線中變量字母不同而改變曲線的形狀和位置．所以其值為0.二、填空題11．由y＝sinx，x＝0，x＝eq\f(π,2)，y＝0所圍成的圖形的面積可以寫(xiě)成________．[答案][解析]由定積分的幾何意義可得．\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝________.[答案]12[解析]如圖A(0，－4)，B(6,8)S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16∴eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝12.13．(2022·新課標(biāo)全國(guó)理，13)設(shè)y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值為_(kāi)_______．[答案]eq\f(N1,N)[分析]本題考查了幾何概型、積分的定義等知識(shí)，難度不大，但綜合性較強(qiáng)，很好的考查了學(xué)生對(duì)積分等知識(shí)的理解和應(yīng)用，題目比較新穎．[解析]因?yàn)?≤f(x)≤1且由積分的定義知：eq\i\in(0,1,)f(x)dx是由直線x＝0，x＝1及曲線y＝f(x)與x軸所圍成的面積，又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形面積為1，且滿足yi≤f(xi)的有N1個(gè)點(diǎn)，即在函數(shù)f(x)的圖象上及圖象下方有N1個(gè)點(diǎn)，所以用幾何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上與x軸圍成的面積為eq\f(N1,N)×1＝eq\f(N1,N)，即eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).三、解答題15．利用定積分的幾何意義，說(shuō)明下列等式．[解析](1)eq\i\in(0,1,)2xdx表示由直線y＝2x，直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的圖形的面積，如圖所示，陰影部分為直角三角形，所以S△＝eq\f(1,2)×1×2＝1，故eq\i\in(0,1,)2xdx＝1.(2)eq\i\in(,1,)－1eq\r(1－x2)dx表示由曲線y＝eq\r(1－x2)，直線x＝－1，x＝1，y＝0所圍成的圖形面積(而y＝eq\r(1－x2)表示圓x2＋y2＝1在x軸上面的半圓)，如圖所示陰影部分，所以S半圓＝eq\f(π,2)，16．利用定積分的性質(zhì)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,x4＋1)＋sin3x＋x2－\f(ex－1,ex＋1)))dx.[解析]y＝eq\f(2x,x4＋1)，y＝sin3x均為[－1,1]上的奇函數(shù)，而對(duì)于f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，∵f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，此函數(shù)為奇函數(shù)．∵S＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))2＝eq\f(1,n3)eq\i\su(i＝1,n,)(i)2＝eq\f(1,n3)·eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(3,n)＋\f(1,n2)))∴S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(3,n)＋\f(1,n2)))＝eq\f(1,3)即2eq\i\in(0,1,)x2dx＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)17．已知函數(shù)f(x)＝)，求f(x)在區(qū)間[－2,2π]上的積分．[解析]由定積分的幾何意義知＝π2－4.18．利用定積分的定義計(jì)算eq\i\in(a,b,)xdx.[解析](1)分割：將區(qū)間[a，b]n等分，則每一個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)為Δxi＝eq\f(b－a,n)(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在小區(qū)間[xi－1，xi]上取點(diǎn)：ξi＝a＋eq\f(i(b－a),n)(i＝1,2，…，n)．Ii＝f(ξi)·Δxi＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋\f(i(b－a),n)))·eq\f(b－a,n).(3)求和：In＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·Δxi＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋\f(i(b－a),n)))·eq\f(b－a,n)＝eq\f(b－a,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋\f(i(b－a),n)))＝eq\f(b－a,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,a)＋\i\su(i＝1,n,)\f(i(b－a),n)))＝eq\f(b－a,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(na＋\f(b－a,n)\i\su(i＝1,n,i)))＝(b－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b－a,n2)·\f(n(n＋1)