瀚?？佳袛祵W專題2遍歷有向鏈法求導數、偏導與微分用

專題 遍歷有向鏈法求導數、偏導與微 子.這種跨章節(jié)的總結，避免了許多類似的及其細節(jié)；明晰的步驟，也使得多元函一、導數與微分概念簡f'(x) f'(x) f(xx）-f.

x0 針對一元函數yf(x)的微分 dyf 針對二元函數zf(x,y)的微分：dzzdxz 注意：導數與微分的基本（參見附錄第二章2）大家必須牢牢地記住并熟練掌握，這些與法則是《高等數學》基礎中的基礎，而且不定積分的基本（參見附錄第四章二、遍歷有向鏈法的原理及操作方法遍歷有向鏈法的原理，遍歷有向鏈法的具體操作步驟wf(u,v),uu(x),vv(xyxx(zwu是“父子”，wx是“祖孫uv是“兄弟”，uy是“旁系親屬引例1 wf(u,v),u u(x),v v(x,y),x求w.解先列有向鏈w

yw的“走法”路徑：1.wuxz，2.wvx

wwdudxwvdx udx vx無“旁系親屬”，所以“w”就要寫成“dw”了,項數也要增加一項，即 dwwdudxwvdxwvdy udx vx vy方法1若求某變量（這里稱“”）的全微分，有向鏈圖和求導（求偏導）的情形相們各占一項，每項寫成“”對“老幺”的導數（或偏導）乘以“老幺”的微分.1，有dwwdywdzwvdy

wdu wv v udx vx(2.2)、(2.3)等“一步”微分式的形式.遍歷的過程同求導的步驟，不同之處在于對微分“逐步”展開，這種“只需要看dwwduwdvwdudxwvdxv ( u v w(u

wv)dxv

wvvw(u

wxvx

dxdz

wvv(u(x)u'(x)v(xu(x)v'(x v2)dy(u(x))'yduydv1u'(x)u(x)v'(x)u'(x)v(x)u(x)v'(x) u v v2 v2函數的微分學合并起來研究，找出普遍的規(guī)律，這樣可以“化繁為簡”，少記.三、隱函數與參數方程的求導（偏導）問題xf1(y（注：這里我們不討論反函數存在的條件，事實上在一 F(u,v,x,y)2兩個獨立方程組成的方程組G(uvxy04個變量，按照上面的原則，2個變量作為自由未知量，如取x,y，那么u,v則為非自由未知量.因此有表達式uu(x,y),vv(x,y)，F(x,t)引例 方程G(y,t)

x未知量”.那么它可先確定一個參數方程y(t).它由兩個顯函數構成，若這兩個函數均yf(x(xf1(y)，雙向鏈變異圖xy

dy ： dt.雙向鏈變異圖可以很到位 dtdx 簡單、更靈活.大家可以比較一下.四、戰(zhàn)前操練第一大類題型：利用概念求導數例 若函數yf(x)在x0的導數值為1，求limf(3t)f(2t)t 分析此題嚴格按照導數定義式（2.1）求，注意變量的統(tǒng)一解x0x0有定義.故：原式lim[f(3t)f(0)][f2t)f(0)]t 3limf(3t)f(0)2limf(2t)ft t 3f'(0)2f'(0)第二大類題型：求一元函數的導數例 x2 arctanx2 x2t d2設由方程組y

dx2 x2t設由方程組teyy10確定y是x的函數， tyu3,ulnv,vcosww103x2，有向鏈圖為yuv定一元函數yy(x).xty解(1)dy

23ln[cos(103x2

xy'方程兩邊對x求導，得：12x2yy' ，繼續(xù)整理得：y'xy2x2 1(yxx2t1dx2.yetdyetdyet

xd2

d(dx)

d(dx)

d(2)11

e eyteydydy 1dttey1

x2t1

dy

tey1 2(tey1)t先求導，我們這時候要發(fā)揮雙向鏈變異圖的作用了，參見圖2.3）. d d(2(tey

d 1

1)e e dx e2y(tey4(tey1)3

(teyteyy1 d2 可得t=0時y=-1,故dx2|t0=2yf(g(h(xy=f(u)，u=g(v)，v=h(x).dydydudv dudv若x

dydydt

y

dtdx dx

)d2 d )

yf(xxf1(ydy1 例 已知函數yx2e2x，求分析遇到求一元函數的高階導的題目，其關鍵就是找規(guī)律.此題也可用nn解 ：(uv)(n)Ciu(ni)v(i)，令ux2,ve2x，niy(20)x2(e2x)(20)20(2x)(e2x)(19)20192(e2x2218e2x(4x280x第三大類題型：求多元顯函數的偏導數例 z1xy)y，求zz zex2yxsintyt3，求dzzxyet2dt,zz x“遍歷鏈法”分析這里的三個小題都是關于多元具體函數的求導（偏導）問題第(1)xx y(x)xf0解(1zy21xy)y1yzeyln(1xyzeyln(1xy)[ln(1xy)

1

](1xy)y[ln(1xy) yx1dzzdxzdyex2ycost2ex2y(3t2)esint2t3(cost6t2 x y0依題，可令(xyxyet2dt0z'(xy)(xy)yex2y2,z'(xy)(xy)xex2y2 抽象函數的“形式的求導”的問題：如函數f(xyz

”和 “f”稱為“形式的 導”.假若函數f(x,yz)中，x，y，z獨立時，兩種表示法自然等價；但是若x，y，z不 z(xy時，有

fz z z關于高階導（偏導的總結由于一元函數的導函數以及多元函數的偏導均為函數，5（2）. 22)多元函數的高階偏導，由于有多個自變量，因此有求混合偏導的問題 xy表示先對x求偏導然后對y求偏導.在存在一階連續(xù)偏導的情形下，x yx的值相等高階導中值得的只有sinx，cosx的高階導以及(參見附錄第二章2.1.5(3)).例

uu=f(x，xy，xyz)z(xyx 2zf(x

xyzx2yf(x2y2xy),求zzx分析 位置.遇到這種情況可設v=x，補上“父親”后，問題就變得簡單了.i量v，w，r.i第(2)題，令ux2y,vy則有向鏈x v解 'yf'(yzxyz)f',uxf'(xzxyz解 z2xyf'yf'z2z

x2 (2xyf')

f

f 1 (f 2x(f 1) (f y y 2 2f ''f2 2 而1xf f 2xf 2z 2 1 2 1 2x(f1y(xf11xf12))x2(f2y(xf21xf2212222y2,2''=2x3yf''12222y2,2''x2xyf(xy,xy)x 2xyfxy(2xf1yf22xyf2x3yf'x2y2f' 2f(x2

xf(xy,xy)x xfxy(2yf1xf2x2f2x2y2f'xyf3 第四大類題型：求隱函數的導數或偏導例 zx2 dy ，求 , x2y3z dxz=z(x，y)是由方程exy2zez0所確定的二元函數，求dzz“遍歷鏈法”分析(1)題，此方程組有三個變量，兩個方程，根據“一個獨立方程解一個未知量”的原則，可以確立有向鏈為圖2.7：yzyxdz求出，從而就得到了z解(1)x作為自變量，方程組確立兩個函數：yy(x),zz(x).dz2x2y 2x4y 3z

,dy

x(6z1).2y(3zd(exy2z exyd(xy)2dzexy(ydxxdy)2dzexy(ydx

ez .xez2例

xeuyeuv

z,

z x“遍歷鏈法”分析按照“一個獨立方程解一個未知量”的原則.5個變量、3個獨立方程，按照題目，應將x，y定為“自由未知量”，u，v，z都是它們的函數.這里根據題目第3個方程，u，v可以作為中間變量.有向鏈為圖2.8： z zf(u,vuvuu(xy),vv(xy)1euv

v 0euv(u

zvuu

0euv (1euvuv)(

v

u dzzdxzdy1e(uv)(uv)dx1e(uv)(u 對數求導法介紹：所謂對數求導法，就是將函數取對數，將之變成方程，然后用第五大類題型：對數求導xx2(3例 (1)求函數y (2x(2)y1x2)secx的導數分析第(1)題是多項乘除式，第(2)題是冪指函數.它們是用對數求導法的典型題型.解(1)對函數兩邊取對數，得lny1ln(x2)2ln(3x)4ln(2x2

1y 2(xxx2(3

x 2x y (2x 2(x x 2x

lnysecxln(1x2)1y'secxtanxln(1x2)secx2xy

1y'(1x2)secxsecx[tanxln(1x2)2x]1第六大類題型：分段函數在分段點的導xesin例 設f(x)sin2

x

f'(x x解x0時f(xxesinx，因f'(xxesinxcosxesinxesinx(xcosx1sin2 2xsinxcosxsin2 xsin2xsin2當x0時，f(x) ，因此f'(x) x0f'(0)

xesinx0esin

limesinx1sin2x0esin lim lim

sin2xf(0)

f0f01f'(01 limf'(x)esin0(0cos01)1fesinx(xcosx

x. x分段函數的求導注意：分段函數的求導對來說是個概念容易模糊的小難點.x2x例 f(x,y)xx2 (x,y)(0,0)，求x (x,y)(0,分析直接根據偏導數的定義

(0,0),f

f(x,0)f

x (x)2 f(0,0) lim 1

f(0,y)f

(0(y)2f(0,0)

0五、實11f(xxa)(x，(x)xaf(xxa的導數.例12求下列函數的導數：yy

，求例 設函數yexsin2x，求y(n)例 設二元函數zf(x2y2,exy)，其中f有二階連續(xù)偏導數，x=ln(1+t2 d2例 求參數方程y=t-arctant隱含的函數的二階導dx2

2xyuf(ux,v u例 設方程組vg(ux,v2y)，其中f,g有一階連續(xù)偏導，求x,x例 ）設uf(x,y,z)，(x2,ey,z)0,zsinx.且f, 一階連續(xù)偏導.且0 g(例 ）設zf(xy,)g(

x 2具有二階連續(xù)導數，求xy例19（2006年考研數學1設函數f(u)在(0,）有二階導數，且zf(x2y2z 2 fz滿足等式x2y20，驗證f''(u) 0x x 例20（2011年考研數學1設函數Fx, dt1

x例21（2005年考研數學 ）設函數u(x,y)(xy)(xy)xy(t)dt

x

y

y

y

例 設函數f(x)例

x3(x2)f(xax2bx xf(x) ln(1實戰(zhàn)思路及講評

x11注意:(x未必可導,不能對它求導!f(x不可導,須按定義判別.12注意兩個小題都含有冪指函數，可用對數求導法先取對數.例 例 令vx2y2,wexy，有向鏈圖同例例 例 yv確立函數uu(x,y),vv(x,y)例 xx z例 若令u

f(xy, g(),

xy,r

x,s

s syv例

xy例 提示:F

ysinxy,

y2cosxy1x2y22xy3sinxy 1x2y22 1x2y221本題有一點復雜，綜合考查了復合函數求偏導和隱函數求偏導以及高階偏導的22含絕對值的函數必是分段函數.x0x2上,不能想當然“不可導”的結論！如此題在x=0可導，而在x=2不可導.23此題涉及二階導，難度大一些.分段點有二階導則有一階導，再根據在分段點有實戰(zhàn)答案例 (a)例 (1)y'(sinx)cosxx