第43講機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念

第43講：機(jī)械振動(dòng)——簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念內(nèi)容：§14－1，§14－2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) （50分鐘）描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量 （50分鐘要求：——重點(diǎn)與難點(diǎn)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程；振幅與初相位的確定；作業(yè)：?jiǎn)栴}：P35：1，2，7，8習(xí)題：P37：2，5，8，11預(yù)習(xí)：§14－3，§14－4，§14－5第十四章機(jī)械振動(dòng)引言：1．什么是振動(dòng)(Vibration)例如：交流電壓、電流的變化、無線電波電磁場(chǎng)的變化等等。2(MechanicalVibration)機(jī)械振動(dòng)是最直觀的振動(dòng)，它是物體在一定位置附近的來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)，如活塞的運(yùn)動(dòng)，鐘擺的擺動(dòng)等都是機(jī)械振動(dòng)。研究機(jī)械振動(dòng)的意義振動(dòng)具有相同的描述方法。振動(dòng)是自然界及人類生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常發(fā)生的一種普遍運(yùn)動(dòng)形式，研究機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律也是學(xué)習(xí)和研究其它形式的振動(dòng)以及波動(dòng)、無線電技術(shù)、波動(dòng)光學(xué)的基礎(chǔ)。機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)有平衡點(diǎn)。5．機(jī)械振動(dòng)的分類按振動(dòng)規(guī)律分：簡(jiǎn)諧、非簡(jiǎn)諧、隨機(jī)振動(dòng)。按振動(dòng)位移分：角振動(dòng)、線振動(dòng)。按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本的振動(dòng)，存在于許多物理現(xiàn)象中。本章主要研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律，也簡(jiǎn)單介紹阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振等。本章內(nèi)容有：§14－1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)§14－2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期（頻率）與相位§14－3 旋轉(zhuǎn)矢量§14－4 單擺與復(fù)擺§14－5 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量§14－6 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成§14－7 阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)、共振1/8§14－1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)SimpleHarmonicVibration在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最基本的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)量按正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是若干簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念：1．彈簧振子：輕質(zhì)彈簧(質(zhì)量不計(jì))一端固定，m滑的水平面上。物體所受的阻力忽略O(shè)O動(dòng)系統(tǒng)叫做彈簧振子harmonicOscillato2．彈簧振子運(yùn)動(dòng)的定性分析：考慮物體的慣性和作用在物體上的彈性力：B→O：點(diǎn)，加速度為零，速度最大；O→C：點(diǎn)，加速度最大，速度為零；C→O：點(diǎn)，加速度為零，速度最大；O→B：點(diǎn)，加速度最大，速度為零。物體在B、C之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件：物體的慣性 ——阻止系統(tǒng)停留在平衡位置——驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置二、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征：1．線性回復(fù)力OXm(x即相對(duì)于O點(diǎn)的位移)的位置時(shí)所受彈簧的作用力為f=-kx式中的比例系數(shù)k為彈簧的勁度（Stiffnes的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這種始終指向平衡位置的力稱為回復(fù)力。2．動(dòng)力學(xué)方程及其解根據(jù)牛頓第二定律，f=ma可得物體的加速度為2/8PAGEPAGE3/8af kxm m對(duì)于給定的彈簧振子，m和k均為正值常量，令km則上式可以改寫為a2xd2x即dt2d2或dt2

2x＋2這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦函數(shù)形式，即xAcos(t)這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，式中A和φ說明：考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系ei

cosisinxAei(t)復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算比較簡(jiǎn)單。、、aaxT>0 <0a<0 <0<0>0>0>0將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別對(duì)時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度和加速度為dx

AAo t-Av Asin(t)dt

d2a 2Atd2dt2

減速 加

減速 加速說明：物體在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是周期性變化的?！捎糜嘞液瘮?shù)。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：1．從受力角度來看——?jiǎng)恿W(xué)特征合外力f=-kx與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相反，并且總是指向平衡位置的。此合外力又稱為線形回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力。2．從加速度角度來看——運(yùn)動(dòng)學(xué)特征加速度a2x與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相反，并且總是指向平衡位置的。3．從位移角度來看：xAt)說明：由其中的一個(gè)可以推出另外兩個(gè)；例題：一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為m的物體。今將物體向下拉一段距離后再放開，證明物體將作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。x圖所示。物體在平衡位置時(shí)所受的合力為零，即mg-kl=0 (1)mg在任一位置x處，物體所受的合力為F=mg-k(x+l) (2)比較(1)、(2)可得F=-kx (3)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。§14－2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和相位Amplitude,PeriodandFrequency，PhaseofSimpleharmonicVibrationx=Acos(ωt+φ)Aωφ的振幅、周期和相位等都是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量。一、振幅A(Amplitude)—反映振動(dòng)幅度的大小引入：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中，因?yàn)橛嘞一蛘液瘮?shù)的絕對(duì)值不能大于1，所以物體的振動(dòng)范圍為+A與-A之間。定義：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。說明：(1)A恒為正值，單位為米(m);(2)振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，由系統(tǒng)的初始條件確定。二、周期T(Period)與頻率(Frequency)—反映振動(dòng)的快慢周期Period定義：物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，用T表示，單位為秒(s)。xAt)Acos[(tT)]考慮到余弦函數(shù)的周期性，有 因而有 T頻率Frequency定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用ν表示，單位為赫茲(Hz)。1T 圓頻率AngularFrequency定義：物體在2π秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用ω表示，單位為弧度/秒(rad.s-1或s-1)。22T說明：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特性是它的周期性；1 k1 kmmkk對(duì)于彈簧振子，＝

，

T。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以表示為xAt)Acos(t)Acos(2t)T三、相位(Phase)—反映振動(dòng)的狀態(tài)相位x=Acos(t+)幅A和圓頻率ωtt+t+是確定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，稱之為相位。相位是決定諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要物理量ωt+φA，ωtva.0～2值對(duì)應(yīng)。例如：t0T/4xAv0At+T/2ATA02初相位在t=0時(shí)，相位為φ，稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相，它是決定初始時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來說，開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻不同，初始狀態(tài)就不同，與之對(duì)應(yīng)的初相位就不同，即初相位與時(shí)間零點(diǎn)的選擇有關(guān)。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若A、ωφ即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息。因此，我們把A、ωφ叫做描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。相位差：定義：兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻的相位之差或同一振動(dòng)在不同時(shí)刻的相位之差。對(duì)于同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、同時(shí)刻的相位差xA1 x A

t)1t)2 2 2相位差 t2

)(t1

) 2 1即兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在任意時(shí)刻的相位差是恒定的。且始終等于它們的初始相位差。說明：1）0 21的振動(dòng)0 21的振動(dòng)2）2kk， 同相（步調(diào)相同）(2k1),k0,1,2,，反相（步調(diào)相反）小結(jié)：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，若振幅、周期和初相位已知，就可以寫出完整的運(yùn)動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。四、積分常數(shù)A和φ的確定：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 x=Acos(t+)Aφ是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程是引入的，其值有初始條件（即在t=0時(shí)物體的位移與速度）0 t=0xv0 x Acos v0

Asin由此可解得v 2 vA＝x2

0 tg 0說明：

0 0一般來說φ的取值在－π和02π)之間；在應(yīng)用上面的式子求φ該取哪個(gè)值；v 2

x AcosA＝x2

0 求然后由 0

兩者的共同部分求φ。

0

v sin0例1：一彈簧振子系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為k=0.72N/m，物體的質(zhì)量為m=20g。今將物體從平衡位置沿桌面向右拉長(zhǎng)到0.04m處釋放。求振動(dòng)方程。解：要確定彈簧振子系統(tǒng)的振動(dòng)方程，只要確定A、ω和φ即可。由題可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v

＝0，0代入公式可得0.720.020.720.02＝ 6radsm2A x2v0 0.042022

0.04m0 2 62又因?yàn)閤為正，初速度v＝0，可得00 0因而簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程為：x0.04cos(6t)(m)例試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動(dòng)表達(dá)式。解：設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為xAcos(t)由圖可見：A=2m，當(dāng)t=0時(shí)，有x 2cos 2 （1）0v sin0 （2）0 由（1）可得