相似三角形總復(fù)習(xí)模型總結(jié)

第一部分知點1.．似形含

三角形相總復(fù)習(xí)相似三角知識要點大把形狀相同的圖形叫做相似圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形〕解〕個圖形相似，其中一圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到．〔2全等形可以看成是一種特的相似，即不僅形狀相同，大小也相同．〔3判斷兩個圖形是否相似，是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)．例1．放大鏡中的正方形與原正形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變．解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同．例2．以下各組圖形：①兩個平四邊形；②兩個圓；③兩個矩形；④有一個內(nèi)8的個等腰三角形；⑤兩個正五邊形；⑥有一個內(nèi)角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的填序號)．解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形多形為100°等腰三角形的形狀不唯一都似案：②⑤⑥．知點．例線對于四條線段a,b,c,d如其兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等a:b=c:d〕那么這四條線段叫做比例線段，簡稱比例線段．

acbd

〔或解〕條線段a,b,c,d成例，記作有順序性．

acbd

〔或a:b=c:d能成其他式，即比例線段〔2在比例式

acbd

〔或a:b=c:d〕中，比例的項為a,b,c,d，其中a,d為例外項b,c為例內(nèi)項d是第四比例項．〔3如果比例內(nèi)項是相同的線，即

abc

或a:b=b:c，那么線段b叫做段和的比例中項。(4)通常四條線段a,b,c,d的位應(yīng)一致，但有時為了計算方便a和b統(tǒng)為一個單位c和d統(tǒng)為另一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等．例3．已知線段a=2cm,b=6mm,．分析：求

即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=

dm，c的度．分析：由a,b,c,d成例，寫出比例式a:b=c:d再把所給各線段a,b,,d統(tǒng)單位后代入求c．知點．似多形性相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．解〕確理解相似多邊形的義，明確“對應(yīng)”關(guān)系．〔2明確相似多邊形的“對應(yīng)來自于書寫，且要明確相似比具有順序性．例5．假設(shè)四邊形ABCD的四邊分別是4，8，與四邊形相的四邊形ABC的最邊長為30，則四邊形CD的小長是多少？1

分析：四邊形ABCD與邊形ABCD相，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為，根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長．知點．似三形概對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形．解〕似三角形是相似多邊中的一種；〔2應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)理解相似三角形；〔3相似三角形應(yīng)滿足形狀一，但大小可以不同；〔4相似用“∽”表示，讀作相似于〔5相似三角形的對應(yīng)邊之比做相似比．注：①似比是有順序的，比方ABC∽eq\o\ac(△,1)C，似比為k,假ABCeq\o\ac(△,，)則相似比為。②假設(shè)兩個三角形的相似比為，這兩個三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情況。假設(shè)兩個三角形全等兩個三角形相似；假

設(shè)兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等．例6．如圖，已知△∽△ABC，DE=2，BC=4則和的相似比是多少？點D，E分別是，AC的點嗎？

D

C注：解決此類問題應(yīng)注意兩方面相似比的順序性〕形的識別．解：因為△ADE∽eq\o\ac(△,，)ABC所以

DE，因為BCABAC42

，所以

1

，所以D分是AB，AC的點．知點．似三的定法（1定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似；（2平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或其他兩邊的延長線〕所構(gòu)成的三角形與原三角相似．（3如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相．（4如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩三角形相似．（5如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形似．（6直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似．例7．如圖，點D在△ABC的邊AB上滿足怎樣的條件時ACD與ABC相似試分別加以列舉分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知ACD與ABC已公共角∠A，要此兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可．解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時，ACD△ABC條件一：

∠1=∠B；條件二：∠2=∠ACB；件三AC=AD·AB知點．似三形性（1對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；（2對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方．例8．如圖，已知ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，EC=7（1求DE、AE的長；2

（2你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例．AEDBC分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即．

ADAEABAC例9已△ABC∽BC

，A1

△ABC的長為20cm，積為40cm．求〔1〕eq\o\ac(△,1)的長〕eq\o\ac(△,1)BC的面．分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解．易求出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的周為30cm;△A的積90cm第二部分

相似三角模型分析大一、相三角形判定基本模認(rèn)識〔一〕A字、反A字〔斜A字〕AADD

EB

C

〔平行〕

BC

〔不平行〕〔二〕型、反字型AABOCD

C

D〔蝴蝶型〕〔平行〕〔平行〕3

〔三〕母子型AADB

C〔四〕一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形〔等腰梯形〕或者等邊三角形為背景〔五〕一線三直角型：4

（六）雙垂型：ADC二、相三角形判定變化模旋轉(zhuǎn)型：由字型旋轉(zhuǎn)得到

字型拓展A

E

FGD

共享性

B一線三等角的變形5

一線三直角的變形第三部分

相似三角典型例題講母子型似三角形例1如圖，梯形中ADBC對角線、交點，∥延線于E．求證：

OA

．例2已知：如圖，△ABC中點在線AD,

ABC

．求證〕

DE

；〔〕

DCEDAC

．

BDEA

C6

例3已知：如圖，等腰△中，AB＝AC，ADBC于DCGBG別交AD、于、F求證：

2

．相練：、如圖，已知AD為△ABC的平分線為垂直平分線．求證：

FD

2

FB

．2、已知：AD是eq\o\ac(△,Rt)ABC中A的分線，∠C=90°，EFAD的直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：eq\o\ac(△,∽)△NMD;

(2)ND=NC·NB7

3、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于，EAC上點CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB5．已：如圖，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，=2，是邊AB的一個動點PD⊥，邊AC于點〔點D與C不重合是射上一點且EPD=∠設(shè)AP兩點距離為，△BEP的積為．

B〔1〕求證：=2；〔2〕求于的數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

P〔3〕當(dāng)△BEP與ABC相似時，的面積

A

DE

C〔第25題圖〕8

雙垂型1如圖，在中，∠A=60°，BD、CE分是AC、AB上的高求證〕eq\o\ac(△,∽)ABDeq\o\ac(△,；)〔2〕ADE△ABC；(3)BC=2ED

、如圖，已知銳角AD、CE分是BC上的高，ABC和的面積分別是27和3，DE=6，：點B到線AC距離。AEBDC9

共享型似三角形1△ABC等邊三角,D、B、C在條直線,∠DAE=長A

，已知BD=1，CE=3，,求等邊三形的邊D

BCE2、已知：如圖，在eq\o\ac(△,)中，ABAC，∠=45°．求證eq\o\ac(△,)ABEeq\o\ac(△,)ACD〔2〕2．ABDE

10

．．．．一線三角型相似三形A例1如圖，等邊ABC，邊長為6，是上動點，EDF=60°〔1〕求證：BDE∽△CFD〔2〕當(dāng)BD，=3時，求BEE

FB

C例2〕

中，

AB

，

BC

，點

P

、

分別在射線

、

上〔點

P

不與點

C

、點

B

重合保

APQABC

.①假設(shè)點在段上如圖6，線段CQ的；②假設(shè)，y，與之的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的定義域；A

AAQB

P

C

B

備用圖

C

備用圖

C（2正方形ABCD的長為〔如以下圖、Q分別在直線CB、上點P不點、B重合保

CQ時求出線段的長AD

ADADB

BC

11

例3已知在梯形

ABCD

中，

ADBC

AD，且

＝，AB＝

＝2〔1如圖8為的一點，滿足BPC＝∠A①求證；△ABP△DPC②求

的長．APDB

C〔2如果點

在

AD

邊上移動〔點

與點

、D

不重合滿∠BPE∠

，

交直線

于點

，時交直線

于點

，那么①當(dāng)點在段的延線上時，設(shè)AP＝x，CQ，求關(guān)的數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；②當(dāng)

＝時，寫出

的長．ADB

CADB

C12

例4如圖，在梯形，AD∥BC，AB，．為的點，以M為點作EMF，線ME腰于，射線MF交CD于F，結(jié)EF．〔1求證：△

MEF

∽△

；〔2假設(shè)△

是以

BM

為腰的等腰三角形，求

EF

的長；〔3假設(shè)

EF

，求

的長．13

相練：、圖，在△ABC中

，

BC10

，

D

是

BC

邊上的一個動點，點

E

在

AC

邊上，且

．求證：ABD△；如果BDxAE，與x的數(shù)解析式，并寫出自變量x的義域；

當(dāng)點

D

是

BC

的中點時，試說eq\o\ac(△,明)是么三角形，并說明理由．

D

C、圖，已知在中，AB=BC=5D是AB上一點是BC上動點，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線EF交段AC于F〔1〕求證：DBEECF〔2當(dāng)是線段中時，求線段BE的；〔3〕聯(lián)結(jié)DF，如果△與DBE相，求FC的．D

FE14

FBCBAxxGM、已知在梯形中ADBC＜BC且FBCBAxxGM〔1〕如圖為上的一點，且=2求證：∽△；〔2〕如果點在邊上移動〔點與點、C不重合滿∠=C交線CD于點，同時交直線于點，那么①當(dāng)點F在段CD的長線上時，設(shè)BP=x，DF=定義域；

，求

關(guān)的函解析式，并寫出函數(shù)的②當(dāng)

S

時，求BP的．A

D

ADE

EB

C

C〔第25題圖〕

〔備用圖〕如已邊長為的邊點在邊上點是線上動點線段

EF為邊向右側(cè)作等邊，線

交直線于

,N

，〔1〕寫出圖中與相的三角形；〔2〕證明其中一對三角形相似；〔3〕設(shè)

BEMN

，求

與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的值范圍；〔4〕假設(shè)，求的積．備用圖15

一線三角型相似三形例矩形ABCD中CD=2是上的一個動點點不合作

PECP

，交邊于設(shè)

AEy

，求y關(guān)x的數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。A

P

DEBC例、中C90o,BCO

是上一點，且

2AB5