復變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理

復變函數(shù)留數(shù)和留數(shù)定理第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日設為的一個孤立奇點;內(nèi)的Laurent級數(shù):在.的某去心鄰域包含的任一條正向簡單閉曲線C.一Δ

、留數(shù)的定義和計算2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日0(高階導數(shù)公式)0(柯西積分定理)3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日1.定義

記作包含的任意一條簡單閉曲線C的積分的值后所得的數(shù)以的一個孤立奇點,如果(Residue)則沿內(nèi)，除稱為4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日2.計算留數(shù)的一般公式由Laurent級數(shù)展開定理,定義留數(shù)的積分值是f(z)在環(huán)域內(nèi)Laurent級數(shù)的負一次冪系數(shù)c-1(1)若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點,(負冪項的項數(shù)為零個),則它在點z0的留數(shù)為零.注：當z0為f(z)=g(z-z0)的孤立奇點時,若為偶函數(shù),則f(z)在點z0的去心鄰域內(nèi)Laurent級數(shù)只含z-z0的偶次冪,其奇次冪系數(shù)都為0,得5第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日如果為的一級極點,那么規(guī)則1成Laurent級數(shù)求(2)如果為的本性奇點,(3)如果為的極點,則有如下計算規(guī)則展開則需將6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日規(guī)則2

若z0為f(z)

的m級極點,則對任意整數(shù)有說明

將函數(shù)的零階導數(shù)看作它本身,規(guī)則1可看作規(guī)則2當n=m=1時的特殊情形,且規(guī)則2可取m=1.7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日規(guī)則3

如果設及在都解析，那么為的一級極點,

且有8第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日為的一級極點,的一級零點,為的一級極點，為證9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日3.典型例題例1求在的留數(shù).解10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日例2

求在的留數(shù).分析是的三級零點由規(guī)則2得計算較麻煩.11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日如果利用Laurent展開式求較方便:解12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日注意:

如為m級極點，當m較大而導數(shù)又難以計算時,可直接展開Laurent級數(shù)求來計算留數(shù).2.在應用規(guī)則2時,取得比實際的級數(shù)高.級數(shù)高反而使計算方便.1.在實際計算中應靈活運用計算規(guī)則.

為了計算方便一般不要將m但有時把m取得比實際的如上例取13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日例3．求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)(1),;解：是函數(shù)的一級零點,

又是函數(shù)的五級零點.于是它是的四級極點,可用規(guī)則計算其留數(shù),其中,為了計算簡便應當取其中,這時有14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日另解：在點的去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)為

,其中的項的系數(shù)為,從而也有.例3．求下列函數(shù)在指定點處的留數(shù)(1),;15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日(2),;解：在點的去心鄰域內(nèi)的Laurent級數(shù)為顯然為它的本性奇點,其中的項的系數(shù)為,于是得16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日(3),.解：顯然是的一級極點;可是不能用規(guī)則求其留數(shù),由規(guī)則得17第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日思考：有關(guān)因式分解問題？1.2.18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日二、留數(shù)定理定理1

若函數(shù)f(z)在正向簡單閉曲線C上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,…,zn外解析，則有留數(shù)概念的重要性在于下面的留數(shù)定理.它使得一些積分的計算變得十分容易.19第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日例4.計算下列積分(1)解：被積函數(shù)的奇點和都在圓的內(nèi)部,由規(guī)則1,2可得以下結(jié)果

;

于是由留數(shù)定理得積分值為20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日(2)解：在圓的內(nèi)部有一個二級極點和兩個一級極點,于是利用留數(shù)的計算規(guī)則和得21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日(2)最后由留數(shù)定理得積分值為22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日例5

計算積分C為正向圓周:解被積函數(shù)有四個一級極點都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則323第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日例6

計算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點外,無其他奇點，在圓外。所以24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日因此25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日1

若z0為函數(shù)f(z)的可去奇點，(負冪項的項數(shù)為零個)，則它在點z0的留數(shù)為零.2

當z0為f(z)=g(z-z0)的孤立奇點時，若為偶函數(shù)，則f(z)在點z0的留數(shù)為零.小結(jié)：留數(shù)的計算3

若z0為f(z)

的一級極點，則有4

若z0為f(z)

的m級極點，則對任意整數(shù)有26第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期日5

設f(z)=P(z)/Q(z)，其中P(z)和Q(z)在點z0都解析。若，Q(z0)=0且，則z0為f(z)