工程力學平面力系的平衡條件

2.5平面力系的平衡條件研究思路：受力分析如何簡化？共點力系可合成為一個力力偶系可合成為一個合力偶力向一點平移力系的簡化平衡條件一般力系xyM2M1問題：如何將力移到同一個作用點上？或者說力如何移到任一點O？OF12.5平面力系的平衡條件作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點，但必須同時附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點到力作用線間的距離。2.5.1力對點之矩1.力的平移定理OFOF'F''hFoM=FhF22.力對點之矩力F平移，等效變換成作用在O點的力F和力偶M。力偶矩M=Fh，是力F使物體繞O點轉動效應的度量。力臂h為點O（矩心）到力F作用線的垂直距離。

注意力和力偶對剛體轉動作用效果的差別。故力F對任一點O之矩(力矩)為:OF'F''hF力對點之矩與點有關；若力過O點，則MO(F)=0。力矩是代數(shù)量，逆時針為正。3合力矩定理：合力對點之矩等于其各分力對該點之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy4推論：力偶對任一點之矩就等于該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F)=FAO+FBO=FAB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請自行證明:Fx+Fy=0

xF

F

52.5.2平面一般力系的簡化

若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交于同一點(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM36平面一般力系，向任一點O簡化，共點力系可合成為一個力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=Fi或用解析法寫為:FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy注意：FR'與簡化中心O點的位置選取無關。得到一個匯交于O點的共點力系和一個平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO7力偶系可合成為一個合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR力偶主矩MO

簡化力？平移MO稱為原力系對簡化中心O的主矩，顯然，MO與簡化中心O點的位置有關。h=M0/FR

FRA8

情況向O點簡化的結果力系簡化的最終結果分類 主矢FR'

主矩MO（與簡化中心無關）討論1平面一般力系簡化的最終結果yxOFR'MOFRh3 FR0MO=0合力FR=FR，作用線過O點。2 FR'=0MO0 一個合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對物體的移動和轉動作用效果均為零）。4FR‘0MO0一個合力，其大小為FR=FR，

作用線到O點的距離為h=MO/FR'FR在O點哪一邊，由LO符號決定平面力系簡化的最終結果，只有三種可能：一個力；一個力偶；或為平衡力系。9例：求圖示力系的合力。FRx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFRy=Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR=11.1kN；作用線距O點的距離h為：

h=M0/FR=1.09(m)；

位置由Mo

的正負確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=12kN.m解：力系向O點簡化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+12510設載荷集度為為q(x)，在距O點x處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同同向分布平平行力系合合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O點為簡化中心，主矢和主矩為：

FR=q(x)dx=；MO=xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'0，MO0；故可合成為一個合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等于分布載荷圖圖形的面積積FR的作用線通過過分布載荷荷圖形的形形心。11故同向分布平平行力系可可合成為一一個合力，合力的大小小等于分布布載荷圖形形的面積，作用線通過過圖形的形形心，指向與原力力系相同。例求梁上分布布載荷的合合力。解：載荷圖形形分為三部部分，有設合力FR距O點為x，由合力矩定定理有：-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點2.06m處，向下。。FR1=1.6kN;作用線距O點1m。FR2=0.6kN;作用線距O點3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx12例求圖中分布布力系的合合力。解：FR1=2q1=1KN;FR2=3q2/2=6KN;合力的大小小：FR=FR2-FR1=5KN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位位置(合力矩定理理):FRx=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx132.5.3平面力系的的平衡條件件

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）14平面一般力力系平衡方方程還可表表達為下列列二種形式式：二力矩式（AB不垂垂直于X軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應自動滿足，故獨立平衡方程只有三個。三力矩式(A、B、C三點不共線線)15取匯交點為為矩心，力力矩方程自自動滿足。。獨立平衡方方程只有二二個,為：

平面匯交力力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨立平衡方程也只有二個,為：平面平行力系:yxMyx16三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點F1F2F3oBCFB二力桿FC17問題討論1：若q=a,求梁上分布布載荷的合合力。aaar=aq2q解：FR1=3qa=3a2FR2=2a2-a2/2FR=5a2-a2/2;由合力矩定定理有：FRx=1.5aFR1+2aFR2=4.5a3+4a3-a3=8.5a3-a3x=(8.5-)a/(5-/2)FR2FR1xFR18問題討論2：判斷所列平平衡方程組組是否必要要且充分的的。(a)(b)(c)Fx=0Fy=0M0(F)=0Fy'=0Fy'=0MA(F)=0MA(F)=0MA(F)=0MB(F)=0思路：平面力系簡化為為一個力；或一一力偶；或平衡衡。滿足任一力矩平平衡方程，則不不可能有合力偶偶；滿足任一投影平平衡方程，若有有合力則必垂直直于投影軸。由此，用反證法法判斷。充分

可能有合力（過A垂直于y）

可能有合力（垂直于OAB）xyxyoABC191)剛體靜靜力學研究的基本問題是：受力分析，平衡衡條件，解決靜靜力平衡問題。。小結結4)力F對任一點O之矩為Mo(F)=F.h。合力對某點之矩等于其分力對對該點之矩的代代數(shù)和。5)作用在剛剛體上力的F，可平移到任一點點，但須附加一力偶，其矩矩等于力F對平移點之矩MO(F)。3)約束力作用方向向與其所限制的的運動方向相反