建筑力學(xué) 第三章

第3章力矩和平面力偶系[內(nèi)容提要]本章主要介紹了力對(duì)點(diǎn)之矩的概念、平面力偶的概念；講述了力系對(duì)點(diǎn)之矩的計(jì)算、力系對(duì)點(diǎn)之矩的平衡條件及其應(yīng)用；講述了平面力偶系的合成、平面力偶系平衡條件及其應(yīng)用。3.1力對(duì)點(diǎn)的矩力對(duì)點(diǎn)的矩是很早以前人們?cè)谑褂酶軛U、滑車、絞盤等機(jī)械搬運(yùn)或提升重物時(shí)所形成的一個(gè)概念。現(xiàn)以扳手?jǐn)Q螺母為例來(lái)說(shuō)明。如圖3-1所示，在扳手的A點(diǎn)施加一力F，將使扳手和螺母一起繞螺釘中心轉(zhuǎn)動(dòng)，這就是說(shuō)，力有使物體(扳手)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)效果不僅與力F的大小有關(guān)，而且還與點(diǎn)到力作用線的垂直距離d有關(guān)。當(dāng)d保持不變時(shí)，力F越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越快。當(dāng)力F不變時(shí)，d值越大，轉(zhuǎn)動(dòng)也越快。若改變力的作用方向，則扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)方向就會(huì)發(fā)生改變，因此，我們用F與d的乘積再冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來(lái)表示力F使物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，并稱為力F對(duì)點(diǎn)之矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)表示，即：（3-1）點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)中心，簡(jiǎn)稱矩心。矩心到力作用線的垂直距離d稱為力臂。

圖3-1圖3-2式中的正負(fù)號(hào)表示力矩的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正，反之為負(fù)。在平面力系中，力矩或?yàn)檎?，或?yàn)樨?fù)值，因此，力矩可視為代數(shù)量。由圖3-2可以看出，力對(duì)點(diǎn)之矩還可以用以矩心為頂點(diǎn)，以力矢量為底邊所構(gòu)成的三角形的面積的二倍來(lái)表示。即：面積（3-2）

顯然，力矩在下列兩種情況下等于零：①力等于零；②力臂等于零，就是力的作用線通過(guò)矩心。力矩的單位是牛頓·米(N·m)或千牛頓·米(kN·m)?！纠?-1】分別計(jì)算圖3-3所示的F1、F2對(duì)點(diǎn)的力矩。

圖3-3解:由式(3-1)，有：3.2合力矩定理我們知道平面匯交力系對(duì)物體的作用效應(yīng)可以用它的合力R來(lái)代替。這里的作用效應(yīng)包括物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)由力對(duì)該點(diǎn)之矩來(lái)度量，因此，平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于該力系的各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和，這就是合力矩定理。合力矩定理是力學(xué)中應(yīng)用十分廣泛的一個(gè)重要定理，現(xiàn)用兩個(gè)匯交力系的情形給以證明。3.2合力矩定理證明：如圖3-4所示，設(shè)在物體上的A點(diǎn)作用有兩個(gè)匯交的力F1和F2，該力系的合力為R。在力系的作用面內(nèi)任選一點(diǎn)為矩心，過(guò)點(diǎn)并垂直于A作為y軸。從各力矢的末端向y軸作垂線，令FY1、FY2和RY分別表示力F1、F2和R和在y軸上的投影。圖3-4由圖3-4可見：FY1=O1b,FY2=Ob2,RY=Ob各力對(duì)O點(diǎn)之矩分別為：

根據(jù)合力投影定理有：上式兩邊同乘以O(shè)A得：將（a）式代入得：以上證明可以推廣到多個(gè)匯交力的情況。用式子可表示為：（3-3）雖然這個(gè)定理是從平面匯交力系推證出來(lái)的，但可以證明這個(gè)定理同樣適用于有合力的其他平面力系。（a）【例3-2】圖3-5所示每1m長(zhǎng)的擋土墻所受土壓力的合力為R，它的大小R=200kN，求土壓力R使墻傾覆時(shí)的力矩。解:土壓力R可使擋土墻繞A點(diǎn)傾覆，求R使墻傾覆的力矩，就是求它對(duì)A點(diǎn)的力矩。由于R的力臂求解較麻煩，但如果將R分解為兩個(gè)分力F1和F2，而兩分力的力臂是已知的。因此，根據(jù)合力矩定理，合力R對(duì)A點(diǎn)之矩等于F1、F2對(duì)A點(diǎn)之矩的代數(shù)和。則：圖3-5

3.3力偶的概念及力偶的基本性質(zhì)3.3.1力偶和力偶矩在生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活中，經(jīng)常遇到大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系。這種力系只能使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而不能使物體產(chǎn)生移動(dòng)效應(yīng)。例如，司機(jī)操縱方向盤(圖3-6a)，木工鉆孔(圖3-6b)以及開關(guān)自來(lái)水龍頭或擰鋼筆套等。這種大小相等、方向相反、作用線不重合的兩個(gè)平行力稱為力偶，用符號(hào)(，)表示。力偶的兩個(gè)力作用線間的垂直距離d稱為力偶臂，力偶的兩個(gè)力所構(gòu)成的平面稱為力偶作用面。圖3-6實(shí)踐表明，當(dāng)力偶的力F越大，或力偶臂越大，則力偶使物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就越強(qiáng)；反之就越弱。因此，與力矩類似，我們用F與d的乘積來(lái)度量力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，并把這一乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱為力偶矩，用m表示，即：（3-4）式中正負(fù)號(hào)表示力偶矩的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定：若力偶使物體作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在平面力系中，力偶矩是代數(shù)量。力偶矩的單位與力矩相同。3.3.2力偶偶的基本性質(zhì)力偶不同于力，，它具有一些特特殊的性質(zhì)，現(xiàn)現(xiàn)分述如下：1.力偶沒(méi)有合合力，不能用一一個(gè)力來(lái)代替由于力偶中的兩兩個(gè)力大小相等等、方向相反、、作用線平行，，如果求它們?cè)谠谌我惠Sx上的的投影，如圖3-7所示。設(shè)設(shè)力與軸x的夾夾角為，由圖可可得：這說(shuō)明，力偶在在任一軸上的投投影等于零。既然力偶在軸上上的投影為零，，所以力偶對(duì)物物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而一一個(gè)力在一般情情況下，對(duì)物體體可產(chǎn)生移動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種效應(yīng)應(yīng)。力偶和力對(duì)物體體的作用效應(yīng)不不同，說(shuō)明力偶偶不能用一個(gè)力力來(lái)代替，即力力偶不能簡(jiǎn)化為為—個(gè)力，因而而力偶也不能和和一個(gè)力平衡，，力偶只能與力力偶平衡。圖3-7圖圖3-82.力偶對(duì)其作作用面內(nèi)任一點(diǎn)點(diǎn)之矩都等于力力偶矩，與矩心心位置無(wú)關(guān)力偶的作用是使使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)效應(yīng)，所以力力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可以用用力偶的兩個(gè)力力對(duì)其作用面某某一點(diǎn)的力矩的的代數(shù)和來(lái)度量量。圖3-8所所示力偶(，)，力偶臂為d，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向向，其力偶矩為為m=Fd，在在該力偶作用面面內(nèi)任選一點(diǎn)為為矩心，設(shè)矩心心與的垂直距離離為x。顯然力偶對(duì)O點(diǎn)的力矩為：：此值就等于力偶偶矩。這說(shuō)明力力偶對(duì)其作用面面內(nèi)任一點(diǎn)的矩矩恒等于力偶矩矩，而與矩心的的位置無(wú)關(guān)。3.同一平面內(nèi)內(nèi)的兩個(gè)力偶，，如果它們的力力偶矩大小相等等、轉(zhuǎn)向相同，，則這兩個(gè)力偶偶等效，稱為力力偶的等效性(其證明從略)從以上性質(zhì)還可可得出兩個(gè)推論論：(1)力偶可在在其作用面內(nèi)任任意移轉(zhuǎn)，而不不會(huì)改變它對(duì)物物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)應(yīng)。例如圖3-9(a)作用用在方向盤上的的兩個(gè)力偶(P1，P1′)與(P2，P2′)只要它們的力力偶矩大小相等等，轉(zhuǎn)向相同，，作用位置雖不不同，但轉(zhuǎn)動(dòng)效效應(yīng)是相同的。。在保持力偶矩大大小和轉(zhuǎn)向不變變的條件下，可可以任意改變力力偶的力的大小小和力偶臂的長(zhǎng)長(zhǎng)短，而不改變變它對(duì)物體的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。例如如圖3-9(b)所示，在攻攻螺紋時(shí)，作用用在紋桿上的(F1，F(xiàn)1′)或(F2，F(xiàn)2′)雖然d1和d2不相等，但只要要調(diào)整力的大小小，使力偶矩，，則兩力偶的作作用效果是相同同的。由以上分析可知知，力偶對(duì)于物物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)應(yīng)完全取決于力力偶矩的大小、、力偶的轉(zhuǎn)向及及力偶作用面，，即力偶的三要要素。因此，在在力學(xué)計(jì)算中，，有時(shí)也用一帶帶箭頭的弧線表表示力偶，如圖圖3-10所示示，其中箭頭表表示力偶的轉(zhuǎn)向向，m表示力偶偶矩的大小。圖3-9圖3-103.4平面力力偶系的合成和和平衡條件3.4.1平面面力偶系的合成成作用在同一平面面內(nèi)的一群力偶偶稱為平面力偶偶系。平面力偶偶系合成可以根根據(jù)力偶等效性性來(lái)進(jìn)行。合成成的結(jié)果是：平平面力偶系可以以合成為一個(gè)合合力偶，其力偶偶矩等于各分力力偶矩的代數(shù)和和。即：（3-5）3.4.2平平面力偶系的的平衡條件平面力偶系可以以合成為一個(gè)合合力偶，當(dāng)合力力偶矩等于零時(shí)時(shí)，則力偶系中中的各力偶對(duì)物物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)應(yīng)相互抵消，物物體處于平衡狀狀態(tài)。因此，平平面力偶系平衡衡的必要和充分分條件是：力偶偶系中所有各力力偶矩的代數(shù)相相等于零。用式式子表示為：（3-6）上式稱為平面力力偶系的平衡方方程。3.5平面面力偶系平衡衡方程的應(yīng)用用【例3-3】】在梁AB的的兩端各作用用一力偶，其其力偶矩的大大小分別為=120kN·m，=360kN··m，轉(zhuǎn)向如如圖3-11(a)所示示。梁長(zhǎng)=6m，重量不不計(jì)。求A、、B處的支座座反力。解：取梁AB為為研究對(duì)象，，作用在梁上上的力有：兩兩個(gè)已知力偶偶、和支座A、B的反力力RA、RB。如圖3-11(b)所所示，B處為為可動(dòng)鉸支座座，其反力RB的方位鉛垂，，指向假定向向上。A處為為固定鉸支座座，其反力RA的方向本來(lái)未未能確定的，，但因梁上只只受力偶作用用，故RA必須與RB組成一個(gè)力偶偶才能與梁上上的力偶平衡衡，所以RA的方向亦為鉛鉛垂。指向假假定向下，由由式(3-6)得:圖3-11故求得的結(jié)果為為正值，說(shuō)明明原假設(shè)RA和RB的指指向就是力的的實(shí)際指向。。小結(jié)結(jié)本章討論了力力矩和力偶的的基本理論。。1、力矩及其其計(jì)算1)力矩的的概念力力矩是力使物物體繞矩心轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度度量。它等于于力的大小與與力臂的乘積積，在平面問(wèn)問(wèn)題中它是代代數(shù)量，規(guī)定定力使物體繞繞矩心逆時(shí)針針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為為正，反之為為負(fù)。即可見力矩的大大小和轉(zhuǎn)向與與矩心的位置置有關(guān)。2)合力矩定定理平面面匯交力系的的合力對(duì)平面面內(nèi)任一點(diǎn)的的力矩，等于于力系中各分分力對(duì)同一點(diǎn)點(diǎn)的力矩的代代數(shù)和。即應(yīng)用合力矩定定理常常可以以簡(jiǎn)化力矩的的計(jì)算。2．力偶的基基本理論1）力偶由等值、反向向、作用線平平行而不重合合的兩個(gè)力組組成的力系，，稱為力偶。。2）力偶的性性質(zhì)力偶個(gè)能簡(jiǎn)化化為一個(gè)力，，也不能和——個(gè)力平衡，，力偶只能與與力偶平衡。。力偶對(duì)物體的的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取取決于力偶的的作用面、力力偶矩的大小小和力偶的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向。在同一平面內(nèi)內(nèi)的兩個(gè)力偶偶，如果它們們力偶矩的代代數(shù)值相等，，則這兩個(gè)力力偶是等效的的?；蛘咧灰３至ε季鼐氐拇鷶?shù)值不不變，力偶可可在其作用面面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，也可以改改變組成力偶偶的力的大小小和力偶臂的的長(zhǎng)短。3）力偶的基基本運(yùn)算力偶在任一軸軸上的投影等等于零。力偶偶中的兩個(gè)力力對(duì)其作用面面內(nèi)任一點(diǎn)的的矩都等于力力偶矩，而與與矩心的位置置無(wú)關(guān)。4）力偶的合合成與平衡平面力偶系可可合成為一個(gè)個(gè)合力偶，合合力偶矩等于于各分力偶矩矩的代數(shù)和。。即平面力偶系的的平衡條件是是各力偶矩的的代數(shù)和等于于零。即思考題1.試比較較力矩和力偶偶矩的異同點(diǎn)點(diǎn)。2.組成力力偶的兩個(gè)力力在任一軸上上的投影之和和為什么必等等于零?3.怎樣的的力偶才是等等效力偶？等等效力偶是否否兩個(gè)力偶的的力和力臂都都應(yīng)該分別相相等？習(xí)題3-1試計(jì)計(jì)算下列各圖圖中P力對(duì)O點(diǎn)的矩矩。題3-1圖3-2如如題3-2圖圖，已知擋土土墻重W1＝75kN，，鉛垂土壓力力W2＝120kN,水平土壓