減肥模型及其應(yīng)用

word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯2014屆本科畢業(yè)論文減肥模型及其應(yīng)用姓名：系別：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：學(xué)號(hào)：指導(dǎo)教師：目錄摘要................................................................................................關(guān)鍵詞...............................................................................................ABSTRACT..........................................................................................KEYWORDS..........................................................................................引言..............................................................................................預(yù)備知識(shí)...........................................................................................問(wèn)題分析...........................................................................................提出假設(shè)...........................................................................................建立減肥模型.......................................................................................分析已建模型.......................................................................................求解..........................................................................................基于數(shù)學(xué)方面的分析..........................................................................整體分析..............................................................................進(jìn)一步分析............................................................................模型的應(yīng)用.........................................................................................減肥要求.....................................................................................問(wèn)題解析.....................................................................................不同運(yùn)動(dòng)達(dá)到理想目標(biāo)所需天數(shù)................................................................不同時(shí)間，不同運(yùn)動(dòng)下能量消耗表.............................................................參考文獻(xiàn).............................................................................................致謝................................................................................................減肥模型及其應(yīng)用摘要隨著社會(huì)的發(fā)展和人們生活水平的逐步提高，越來(lái)越多的人意識(shí)到運(yùn)動(dòng)健身的重要性.運(yùn)動(dòng)減肥是健身運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要組成部分.本文是通過(guò)建立減肥模型尋求合理的減肥方法，并從飲食和運(yùn)動(dòng)兩方面來(lái)具體分析.根據(jù)不同運(yùn)動(dòng)消耗的能量不同，最終確定最佳減肥方案.關(guān)鍵詞能量平衡；數(shù)學(xué)模型；運(yùn)動(dòng)；飲食ThemathematicalmodelonloseweightandtheapplyofitAbstractWiththedevelopmentofsocietyandthegradualimprovementofpeople'slivingstandards,moremorepeoplerealizetheimportanceofsportsandfitness.Losingweightisanimportantcomponentfitness.Inthispaper,amathematicalmodeloflosingweightisestablishedthroughrationalway.specificanalysisfromdietandexercise.Accordingtotheenergyconsumptionofvarioussports,weultimatelydeterminethebestplantoloseweight.Keywordsenergybalance;mathematicalmodel;sport;diet0引言隨著人們的生活水平不斷提高，人們膳食營(yíng)養(yǎng)攝入量也在不斷發(fā)生變化，這使“肥胖”成為了公眾日益關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題.另外肥胖與目前危害人類(lèi)健康的疾病[1]如糖尿病、高血壓、冠心病等有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.所以無(wú)論從健康的角度還是從審美的角度，減肥成為了人們口中持續(xù)炙熱的話題，更有人花大量的時(shí)間和金錢(qián)去付諸實(shí)踐，這就造就了各種各樣的減肥藥[2]、器械和治療方法[3]的巨大市場(chǎng).同時(shí)各種假藥和有害的治療方法也應(yīng)運(yùn)而生，這對(duì)人們的健康造成了不可估量的傷害.如何科學(xué)合理的處理減肥的問(wèn)題呢，對(duì)于數(shù)學(xué)人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是精確的，嚴(yán)密的，所以我們解決任何問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)都是用精密的數(shù)學(xué)思維來(lái)處理.對(duì)于生活中的肥胖問(wèn)題，我們也可以用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決，即通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，也就是從數(shù)學(xué)角度并充分應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)有關(guān)問(wèn)題作進(jìn)一步的探討和分析，給出科學(xué)合理的減肥方法和具體實(shí)施方案.1預(yù)備知識(shí)要想保持健康的身體和良好的身形，就必須有合理的飲食，中國(guó)生理科學(xué)會(huì)根據(jù)中國(guó)人的體質(zhì)特征，修訂并建議了《中國(guó)居民膳食指南》[4]：首先，每日膳食中，營(yíng)養(yǎng)素的供給量標(biāo)準(zhǔn)是以保證正常人的身體健康為前提而提出的；營(yíng)養(yǎng)素的需求量是指維持身體正常的生理功能所需要的營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量.如果人們從膳食中攝取營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量低于這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量，將對(duì)身體健康產(chǎn)生不利的影響.其次，人的體重是評(píng)定膳食能量攝入是否適量的一個(gè)重要標(biāo)志，而且體重與身高的比例也是我們?cè)u(píng)判身材好壞的標(biāo)準(zhǔn).而體重的多少與人體熱能的攝入量與需要量是緊密聯(lián)系的，攝入量主要是指我們每日攝取的食物轉(zhuǎn)化為熱能的那部分，而人體熱能的需要量主要有以下幾部分組成：維持人體基本代謝所需的能量（這是維持人生命體征必不可少的能量）、從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量（這是人能夠正常的生活勞動(dòng)所必須的能量，也是本論文中減肥的主要方向）、食物的特殊動(dòng)力作用（將食物轉(zhuǎn)化為人體所需的能量，也是人體獲得能量過(guò)程中所必需消耗的能量）所消耗的能量.一般情況下，食用普通的混合食物，食物的特殊動(dòng)力作用所消耗的額外的能量為6.3106~8.4106焦耳，相當(dāng)于基礎(chǔ)代謝的10％.并且在忽略其他因素影響下可以認(rèn)為單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量與人的體重成正比，（每人每千克體重消耗熱量一般為28.75~45.71kcal,且因人而異）從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量也與人的體重成正比，并且一般情況下，從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量與維持人體基本代謝所需能量有關(guān)，即從事勞動(dòng)和其他活動(dòng)所消耗的能量=維持人體基本代謝所需的能量*活動(dòng)強(qiáng)度系數(shù).再次，在本論文中，我們以成年男子為例來(lái)實(shí)行我們的減肥計(jì)劃，我們已知成年男子每千克體重每小時(shí)平均消耗熱量約為4200焦耳，由男子的各項(xiàng)指標(biāo)來(lái)完成減肥任務(wù).最后，由于不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的，所以不同的活動(dòng)在同樣的時(shí)間里對(duì)減肥的效果也是不同的，在實(shí)施減肥計(jì)劃時(shí)我們也應(yīng)考慮不同的活動(dòng)對(duì)減肥效果的影響.下面列出了幾種不同的運(yùn)動(dòng)對(duì)能量消耗[5]的情況： 表1-1 運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目 消耗熱量 慢走（一小時(shí)4公里） 255卡 快走（一小時(shí)8公里） 555卡慢跑（一小時(shí)9公里）655卡快跑（一小時(shí)12公里）700卡單車(chē)（一小時(shí)9公里）245卡單車(chē)（一小時(shí)16公里）415卡單車(chē)（一小時(shí)21公里）655卡有氧運(yùn)動(dòng)有氧運(yùn)動(dòng)（輕度）275卡有氧運(yùn)動(dòng)（中度）350卡體能訓(xùn)練300卡仰臥起坐432卡走步機(jī)（一小時(shí)6公里）345卡爬樓梯480卡爬樓梯1500級(jí)（不計(jì)時(shí)）250卡爬梯機(jī)680卡游泳（一小時(shí)3公里）550卡網(wǎng)球425卡手球600卡問(wèn)題分析一般情況下，體內(nèi)的能量守恒被破壞是引起體重變化（變輕或加重）的主要原因.所以正常人導(dǎo)致肥胖的主要原因是：通過(guò)飲食攝入的能量多于機(jī)體消耗的能量，致使多余的能量轉(zhuǎn)化為了脂肪并貯存于體內(nèi).因此解決肥胖問(wèn)題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)換為研究人體能量的攝入與消耗，并說(shuō)明在什么情況下才能科學(xué)合理地消耗掉囤積于肥胖者體內(nèi)多余的脂肪，從而達(dá)到健康減肥的目的.提出假設(shè)影響肥胖的原因多種多樣，例如，飲食異常，遺傳因素，神經(jīng)內(nèi)分泌因素，能量代謝異常等，而遺傳因素，神經(jīng)內(nèi)分泌因素，能量因素等身體異常引起的肥胖是我們建立數(shù)學(xué)模型所無(wú)法解決的，因此這里必須排除這些因素對(duì)減肥效果的影響.即假設(shè)不考慮由于人體內(nèi)部發(fā)生變化（如遺產(chǎn)因素、生理因素、神經(jīng)內(nèi)分泌不正常、代謝不正常等自身因素）引起的肥胖.同樣當(dāng)我們的身體處于不健康的狀態(tài)時(shí)比如感冒時(shí)，這對(duì)我們的減肥計(jì)劃也是有影響的，我們基于不健康的狀態(tài)下的計(jì)算也是沒(méi)有意義的.所以假設(shè)所有的運(yùn)算都是基于健康狀態(tài)的（不發(fā)燒、感冒、無(wú)新陳代謝疾病等）.由于人體的脂肪是能量是的主要貯存和供能的方式（攝入的過(guò)多的糖和脂肪也會(huì)轉(zhuǎn)化為脂肪），而且也是減肥的主要目標(biāo).所以我們就以脂肪的重量作為體重的重要標(biāo)志.我們通過(guò)查閱資料已經(jīng)知道脂肪的能量轉(zhuǎn)換率是100％，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為4.2107焦耳的能量.記T4.2107焦耳/千克，我們稱(chēng)之為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù).我們不可能將所有影響減肥的因素都考慮進(jìn)去，所以我們只考慮主要的影響因素，對(duì)于次要因素我們選擇性忽略，例如，將人體的體重僅僅看成是時(shí)間t的函數(shù)ut，這就意味著在研究減肥的過(guò)程中，我們忽略了個(gè)體間的差異（年齡、性別、健康狀況等）對(duì)減肥的影響.同時(shí)無(wú)論是由于進(jìn)食攝取能量導(dǎo)致體重的增加，還是由于勞動(dòng)等體力活動(dòng)消耗能量導(dǎo)致體重的減少都是一個(gè)循序漸進(jìn)慢慢變化的過(guò)程.因此可以認(rèn)為能量的攝取和消耗都是隨時(shí)發(fā)生的.即我們默認(rèn)體重隨時(shí)間的變化ut是連續(xù)而且充分光滑的.人體通過(guò)各種活動(dòng)（勞動(dòng)、體育鍛煉等）來(lái)消耗自身的能量，從而達(dá)到減肥的目的.不同的活動(dòng)對(duì)能量的消耗是不同的.假設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)人體的這種消耗與其體重成正比.記s為每千克體重每小時(shí)某一種活動(dòng)所消耗的能量.假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)人體用于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動(dòng)力作用所消耗的能量正比于人的體重.記a為1千克體重每小時(shí)所消耗的能量.如果人體每天的攝入量不同也會(huì)影響減肥計(jì)劃的制定和具體數(shù)據(jù)的計(jì)算，所以假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的，記為B.根據(jù)上述預(yù)備知識(shí)和提出的假設(shè)，我們就可以來(lái)組建有關(guān)減肥的模型.4建立減肥模型減肥模型制定的是根據(jù)能量平衡原理制定的，所以下面先給出能量平衡原理[6]的定義：定義：能量平衡是指在一定時(shí)間段內(nèi)，人體中的能量相對(duì)保持平衡.即在一定時(shí)段內(nèi)，輸入和輸出某水體能量之比，等于該水體內(nèi)蓄存能量的變化率.一般用方程式表示.式中：Qw--時(shí)段內(nèi)平均輸入的能量流；qw--時(shí)段內(nèi)平均輸出的能量流；dwdt--時(shí)段內(nèi)熱量對(duì)時(shí)間的變化率.能量平衡理論廣泛用于研究水溫、蒸發(fā)、各種水體和農(nóng)田的熱動(dòng)態(tài)和研究流域匯流、洪水運(yùn)動(dòng)以及風(fēng)浪、環(huán)流等.我們已經(jīng)知道體內(nèi)的能量守恒被破壞會(huì)引起體重的變化（變輕或加重）.而導(dǎo)致肥胖的主要原因是由于飲食攝入的能量多于機(jī)體消耗的能量，致使多余的能量轉(zhuǎn)化為了脂肪并貯存于體內(nèi).所以解決肥胖問(wèn)題的關(guān)鍵就轉(zhuǎn)換為研究人體能量的攝入與消耗，下面我們就從能量方面著手來(lái)解決有關(guān)肥胖的問(wèn)題，并從數(shù)學(xué)角度給出解決方案.建模過(guò)程中，我們以1天（=24時(shí)）為時(shí)間的計(jì)量單位.所以以天為單位的基礎(chǔ)代謝所消耗的能量應(yīng)為M24a（焦耳/日）.但是一般來(lái)說(shuō)，人的活動(dòng)不會(huì)是全天的.如果人每天活動(dòng)h小時(shí)，那么在一天內(nèi)，人體由于活動(dòng)所消耗的能量就是Nsh(焦耳/日)由提出的假設(shè)可知，我們可以在任何一個(gè)時(shí)間段內(nèi)考慮由于能量的攝入或消耗所引起人的體重的變化.由能量平衡原理可知，任何時(shí)間段內(nèi)由于體重的變化所引起人體內(nèi)能量變化應(yīng)該等于這段時(shí)間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量之差.我們?cè)跁r(shí)間段(t,tt)內(nèi)考慮能量的變化：體重改變的能量變化=u(tt)u(t)T,攝入與消耗的能量之差=Bt(MN)ut.根據(jù)能量平衡原理，有u(tt)u(t)TB(MN)u(t)t以t除等式兩端并令t0取極限，可得dubdu,（4-1）dt其中bBT;d(MN)T.如果把M理解為以減肥為目的能量消耗，方程（4-1）就給出了一個(gè)減肥模型.5分析已建模型5.1求解根據(jù)已建立的模型，我們求解出時(shí)刻t時(shí)人的體重首先，設(shè)t0為模型啟動(dòng)的初始時(shí)刻，這時(shí)人的體重為u0u.以此為初始條件求出方程0（4-1）的解.即為：bu(t)uedt(1edt).（5-1） 0 d在（5-1）中假設(shè)b0，即假設(shè)不進(jìn)食，也就是假設(shè)不攝入任何的能量，那么這時(shí)體重的變化（減少）則完全是由于體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的.這時(shí)有[uu(t)]u1edt,這表明在時(shí)間0,t內(nèi)體重減少的百分率是由1edt給出的.我們稱(chēng)之為0,t0時(shí)間內(nèi)的體重消耗率0 .特別地當(dāng)t1時(shí)，1ed給出了單位時(shí)間的體重消耗率.那么edt應(yīng)理解為0,t時(shí)間內(nèi)體重的保存率，它表明了在時(shí)間t保存的體重占初始體重的百分?jǐn)?shù).同樣bd也給出了模型中一個(gè)重要的參數(shù).由于bBT表示的是由于能量的攝入而增加的體重，而d(MN)T表示由于能量的消耗而失掉的體重的百分?jǐn)?shù)（每單位體重中由于基礎(chǔ)新陳代謝和活動(dòng)而消耗掉的那部分）.于是bd就表示通過(guò)能量的攝取對(duì)每1％的體重消耗所獲得的體重的補(bǔ)充量.基于上面的分析，由式（5-1）可以看出時(shí)間t時(shí)刻的體重是由兩部分構(gòu)成的.一是初始體重（即模型啟動(dòng)時(shí)的體重）中能量消耗之后被保存下來(lái)的那部分體重，二是由于攝取食物致使所消耗的那部分體重獲得的補(bǔ)充量.這與我們常規(guī)的認(rèn)識(shí)是相符的，所以可以初步肯定這個(gè)模型的正確性，但是，我們建立的模型是否與實(shí)際相符，是否可以用于解決我們提出的問(wèn)題還需要通過(guò)具體的例子進(jìn)行驗(yàn)證.5.2基于數(shù)學(xué)方面的分析5.2.1整體分析下面通關(guān)全局對(duì)已建模型進(jìn)行整體把握：由模型（4-1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)ubdu時(shí)，才有dudt0.也就是說(shuō)只有當(dāng)uu時(shí)才 *0* 0有可能產(chǎn)生減肥的效果.另外由（4-1）方程的求解結(jié)果（5-1）可知，對(duì)于上述的u,當(dāng)t時(shí)，t時(shí)刻人的體重u(t)將單調(diào)遞減，并且出現(xiàn)u(t)u的趨勢(shì)，也就是說(shuō)方程（4-1）的解逐漸趨近并穩(wěn)定于ubd.這樣也就給出了應(yīng)用減肥模型所到的減肥最終結(jié)果，所以我們不防稱(chēng)u為減肥效果指.由b和d的表達(dá)式計(jì)算可知有uB(MN).由于M表示的是新陳代謝的量消*耗，而新陳代謝的能量消耗是不可控制量，而且對(duì)于每個(gè)人來(lái)說(shuō)它一般是一個(gè)常數(shù)，所以我們無(wú)法通過(guò)控制它來(lái)達(dá)到減肥的目的.于是要想達(dá)到減肥的目的只能通過(guò)控制以下兩個(gè)因素來(lái)實(shí)現(xiàn)：由于進(jìn)食而獲得的能量以及由于活動(dòng)而消耗的能量[7].由以上可知減肥的兩個(gè)重要措施就是控制飲食和增加活動(dòng)量.同樣這也是在我們的認(rèn)知范圍內(nèi)，并且符合我們對(duì)于健康減肥的要求（不服用減肥藥、瀉藥等對(duì)身體有害的藥物）.5.2.2進(jìn)一步分析[2]知道了影響減肥減肥的兩個(gè)重要因素，下面我們進(jìn)一步討論這兩個(gè)因素：能量的攝取量B與消耗量N對(duì)減肥效果u的影響，由上面分析顯然有BuMuN.如果我們建立NB坐標(biāo)系，那 * * *么它就是NB坐標(biāo)系中過(guò)(M,0)點(diǎn)，并且斜率為u的直線.由預(yù)備知識(shí)可知，任何人通過(guò)飲食攝入的能量不能低于用于維持人體正常生理功能所需的量，否則將對(duì)身體產(chǎn)生不利影響.因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)u一定存在一個(gè)下限u，當(dāng)uu時(shí)，這表明能量的攝取過(guò)低甚至攝入的這些能量無(wú)法維持他本人常的生理功能的所到的結(jié)果認(rèn)為是無(wú)效的，因?yàn)樗鼘⑽＜叭说纳眢w健康，是危險(xiǎn)的.我們稱(chēng)u為減肥的臨界指標(biāo).同樣人們?cè)跍p肥過(guò)程中所采取的各種運(yùn)及各項(xiàng)體力勞動(dòng)對(duì)能量的消耗量也不是無(wú)界限的，它也有一個(gè)人體所能承受的范圍，我們記為0NN,于是在NB直角坐標(biāo)系中，NB平面上由N0,NN和B0所界出的上半帶形區(qū)內(nèi)，直線l:BuMuN和l:BuMuN 1 0 0 0 1 1 1分割為三個(gè)區(qū)域D,E,F(圖5-1).這表明能量攝入和運(yùn)動(dòng)消耗同時(shí)對(duì)減肥效果起作用，也就是說(shuō)減肥有效及效果如何是由控制飲食和增加消耗綜合作用、相互協(xié)調(diào)的結(jié)果.圖中區(qū)域D表明能量的攝取量B高于體重為u時(shí)的能量消耗量u(MN).這時(shí)體重不會(huì)從u減少.我們稱(chēng)之為非減肥區(qū). 0 0 0而當(dāng)能量的攝取B低于u(MN)時(shí)，即當(dāng)落入?yún)^(qū)域F時(shí)，這時(shí)體重將減少到臨界減肥指標(biāo)以下，此時(shí)雖然也可以達(dá)到減但這將危及人的身體健康，我們稱(chēng)F為危險(xiǎn)減肥區(qū).只有區(qū)域E所標(biāo)示的B與N的組合才能實(shí)現(xiàn)有效的減肥.故稱(chēng)E為有效減肥區(qū).圖5-1還表明只采取單一的措施減肥，無(wú)論是保持飲食不變，加大活動(dòng)量，還是活動(dòng)量不變，一味的節(jié)制飲食保持飲食都將產(chǎn)生不理想的減肥效果.因此飲食和消耗的適度，相互間的協(xié)調(diào)配合是我們達(dá)到理想減肥效果的重要措施.word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯word文檔可自由復(fù)制編輯l-M-MDEFB01lMu0Mu1圖5-1有效減肥區(qū)域模型的應(yīng)用前面我們對(duì)飲食情況進(jìn)行了分析，下面具體了解一下運(yùn)動(dòng)對(duì)減肥的影響.現(xiàn)從人群中隨機(jī)抽取五人，他們的身高，體重和BMI（人體體重指數(shù)）見(jiàn)表6-1，用已建立的數(shù)學(xué)模型為他們制定相應(yīng)的減肥計(jì)劃，使其體重減至理想目標(biāo)，并維持下去[8]：表6-1編號(hào)編號(hào)12345身高1.721.661.671.711.73體重101111112115123BMI34.6133.5135.2134.8235.61理想目標(biāo)7580808590減肥要求在每天攝入的能量保持下限的前提下，基本不運(yùn)動(dòng)，安排減肥計(jì)劃，使之達(dá)到目標(biāo)下面給出正常人參加以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，每小時(shí)每千克體重消耗的能量：表6-2各運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每千克體重消耗的熱量消耗運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車(chē)（中速）游泳（50m/min）熱量消耗/kg7.03.0問(wèn)題解析以天為時(shí)間的計(jì)量單位，則每天基礎(chǔ)代謝消耗的能量為M24a,但是人的運(yùn)動(dòng)一般不會(huì)是全天的(由于人自身?xiàng)l件的限制)，假設(shè)人每天的運(yùn)動(dòng)量為h小時(shí)，那么每天運(yùn)動(dòng)的能量消耗為Nsh，在時(shí)間段t,tt內(nèi)能量的變化基本規(guī)律為：u(tt)u(t)TB(MN)u(t)tdu取t0，可得bdudtu0u0其中bBT，d(MN)T即減肥問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型求解為：bu(t)uedt(1edt)(6-1)利用此方法可求解每.6.3不同運(yùn)動(dòng)達(dá)到理想目標(biāo)所需天數(shù)首先通過(guò)調(diào)查了解此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝所消耗的能量M，由于不運(yùn)動(dòng)，所以有N0，B根據(jù)公示(6-1)，得：M.這就知道了每千克體重由于基礎(chǔ)代謝所消耗的能量.u0從預(yù)備知識(shí)可知，這些人普遍屬于代謝消耗比較弱的人，另外吃得也比較多，并且不運(yùn)動(dòng)，所以會(huì)發(fā)胖，進(jìn)一步，由五人的理想體重,五人減肥前的體重,脂肪轉(zhuǎn)換系數(shù),根據(jù)公式(1)有: 1udb T u(MN)Btlnlndud