三角形內角和綜合習題精選(含答案)

可編輯版/三角形內角和綜合習題精選一．解答題〔共12小題1．如圖〔1,△ABC中,AD是角平分線,AE⊥BC于點E．〔1．若∠C=80°,∠B=50°,求∠DAE的度數(shù)．〔2．若∠C＞∠B,試說明∠DAE=〔∠C﹣∠B．〔3．如圖〔2若將點A在AD上移動到A′處,A′E⊥BC于點E．此時∠DAE變成∠DA′E,〔2中的結論還正確嗎？為什么？2．如圖,DB是△ABC的高,AE是角平分線,∠BAE=26°,求∠BFE的度數(shù)．3．如圖,AD為△ABC的中線,BE為三角形ABD中線,〔1∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度數(shù)；〔2在△BED中作BD邊上的高；〔3若△ABC的面積為60,BD=5,則點E到BC邊的距離為多少？4．如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,P為線段AD上的一個動點,PE⊥AD交直線BC于點E．〔1若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度數(shù)；〔2當P點在線段AD上運動時,猜想∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關系,寫出結論無需證明．5．〔1如圖1,有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經過點B、C．△ABC中,∠A=30°,則∠ABC+∠ACB=_________,∠XBC+∠XCB=_________．〔2如圖2,改變直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經過B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化,請舉例說明；若不變化,請求出∠ABX+∠ACX的大小．6．如圖1,△ABC中,∠A=50°,點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點．〔1求∠P的度數(shù)；〔2猜想∠P與∠A有怎樣的大小關系？〔3若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點,∠P與∠A又有怎樣的大小關系？〔4若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點,∠P與∠A又有怎樣的大小關系？[〔2、〔3、〔4小題只需寫出結論,不需要證明]8．如圖,A、B兩點同時從原點O出發(fā),點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動,點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動．〔1若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,試分別求出1秒鐘后A、B兩點的坐標；〔2設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P,問：點A、B在運動的過程中,∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請求出其值；若發(fā)生變化,請說明理由；〔3如圖,延長BA至E,在∠ABO的內部作射線BF交x軸于點C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G,過點G作BE的垂線,垂足為H,試問∠AGH和∠BGC的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由．9．如圖所示,點E在AB上,CE,DE分別平分∠BCD,∠ADC,∠1+∠2=90°,∠B=75°,求∠A的度數(shù)．10．如圖,∠AOB=90°,點C、D分別在射線OA、OB上,CE是∠ACD的平分線,CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．〔1當∠OCD=50°〔圖1,試求∠F．〔2當C、D在射線OA、OB上任意移動時〔不與點O重合〔圖2,∠F的大小是否變化？若變化,請說明理由；若不變化,求出∠F．11．如圖,△ABC中,AE、BF是角平分線,它們相交于點O．〔∠ABC＞∠C,〔1試說明∠BOA=90°+∠C；〔2當AD是高,判斷∠DAE與∠C、∠ABC的關系,并說明理由．12．已知△ABC中,∠BAC=100°．〔1若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O,如圖1所示,試求∠BOC的大?。弧?若∠ABC和∠ACB的三等分線〔即將一個角平均分成三等分的射線相交于O,O1,如圖2所示,試求∠BOC的大??；〔3如此類推,若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O,O1,O2…,如圖3所示,試探求∠BOC的大小與n的關系,并判斷當∠BOC=170°時,是幾等分線的交線所成的角．答案與評分標準一．解答題〔共12小題1．如圖〔1,△ABC中,AD是角平分線,AE⊥BC于點E．〔1．若∠C=80°,∠B=50°,求∠DAE的度數(shù)．〔2．若∠C＞∠B,試說明∠DAE=〔∠C﹣∠B．〔3．如圖〔2若將點A在AD上移動到A′處,A′E⊥BC于點E．此時∠DAE變成∠DA′E,〔2中的結論還正確嗎？為什么？考點：三角形的角平分線、中線和高；角平分線的定義；垂線；三角形內角和定理。專題：動點型。分析：〔1先根據三角形內角和定理求出∠BAC的度數(shù),再根據角平分線的定義求得的度數(shù),在△ADC中,利用三角形內角和求出∠ADC的度數(shù),從而可得∠DAE的度數(shù)．〔2結合第〔1小題的計算過程進行證明即可．〔3利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE,再根據三角形的內角和定理可證明∠DA′E=〔∠C﹣∠B．解答：解：〔1在△ABC中,∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分線,∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中,∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中,∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．〔2∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣〔180°﹣∠C﹣∠DAC=90°﹣〔180°﹣∠C﹣∠BAC=90°﹣[180°﹣∠C﹣〔180°﹣∠B﹣∠C]=〔∠C﹣∠B．〔3〔2中的結論仍正確．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+〔180°﹣∠B﹣∠C=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中,∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣〔90°+∠B﹣∠C=〔∠C﹣∠B．點評：本題考查了三角形的角平分線和高,三角形的內角和定理,垂線等知識,注意綜合運用三角形的有關概念是解題關鍵．2．如圖,AD為△ABC的中線,BE為三角形ABD中線,〔1∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度數(shù)；〔2在△BED中作BD邊上的高；〔3若△ABC的面積為60,BD=5,則點E到BC邊的距離為多少？考點：三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積；三角形內角和定理。分析：〔1利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和即可求∠BED的度數(shù)；〔2△BED是鈍角三角形,所以BD邊上的高在BD的延長線上；〔3先根據三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個小三角形,結合題意可求得△BED的面積,再直接求點E到BC邊的距離即可．解答：解：〔1∵∠BED是△ABE的一個外角,∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．〔2如圖所示,EF即是△BED中BD邊上的高．〔3∵AD為△ABC的中線,BE為三角形ABD中線,∴S△BED=S△ABC=×60=15；∵BD=5,∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6,即點E到BC邊的距離為6．點評：本題主要考查了三角形的高、中線、角平分線,三角形的面積和三角形的內角和等知識,注意全面考慮問題,熟記三角形的中線把三角形分成的兩個小三角形面積一定相等．3．如圖,DB是△ABC的高,AE是角平分線,∠BAE=26°,求∠BFE的度數(shù)．考點：三角形內角和定理；角平分線的定義。分析：由角平分線的性質知,∠FAD=∠BAE=26°,而∠AFD與∠FAD互余,與∠BFE是對頂角,故可求得∠BFE的度數(shù)．解答：解：∵AE是角平分線,∠BAE=26°,∴∠FAD=∠BAE=26°,∵DB是△ABC的高,∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°,∴∠BFE=∠AFD=64°．點評：本題利用了角平分線的性質和直角三角形的性質求解．4．如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,P為線段AD上的一個動點,PE⊥AD交直線BC于點E．〔1若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度數(shù)；〔2當P點在線段AD上運動時,猜想∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關系,寫出結論無需證明．考點：三角形內角和定理；角平分線的定義。專題：動點型。分析：〔1中,首先根據三角形的內角和定理求得∠BAC的度數(shù),再根據角平分線的定義求得∠DAC的度數(shù),從而根據三角形的內角和定理即可求出∠ADC的度數(shù),進一步求得∠E的度數(shù)；〔2中,根據第〔1小題的思路即可推導這些角之間的關系．解答：解：〔1∵∠B=35°,∠ACB=85°,∴∠BAC=60°,∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=30°,∴∠ADC=65°,∴∠E=25°；〔2或．點評：運用了三角形的內角和定理以及角平分線的定義．特別注意第〔2小題,由于∠B和∠ACB的大小不確定,故表達式應寫為兩種情況．5．〔1如圖1,有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上,恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經過點B、C．△ABC中,∠A=30°,則∠ABC+∠ACB=150°,∠XBC+∠XCB=90°．〔2如圖2,改變直角三角板XYZ的位置,使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經過B、C,那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化,請舉例說明；若不變化,請求出∠ABX+∠ACX的大?。键c：三角形內角和定理。分析：本題考查的是三角形內角和定理．已知∠A=30°易求∠ABC+∠ACB的度數(shù)．又因為x為90°,所以易求∠XBC+∠XCB．解答：解：〔1∵∠A=30°,∴∠ABC+∠ACB=150°,∵∠X=90°,∴∠XBC+∠XCB=90°,∴∠ABC+∠ACB=150°；∠XBC+∠XCB=90°．〔2不變化．∵∠A=30°,∴∠ABC+∠ACB=150°,∵∠X=90°,∴∠XBC+∠XCB=90°,∴∠ABX+∠ACX=〔∠ABC﹣∠XBC+〔∠ACB﹣∠XCB=〔∠ABC+∠ACB﹣〔∠XBC+∠XCB=150°﹣90°=60°．點評：此題注意運用整體法計算．關鍵是求出∠ABC+∠ACB．6．如圖1,△ABC中,∠A=50°,點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點．〔1求∠P的度數(shù)；〔2猜想∠P與∠A有怎樣的大小關系？〔3若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點,∠P與∠A又有怎樣的大小關系？〔4若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點,∠P與∠A又有怎樣的大小關系？[〔2、〔3、〔4小題只需寫出結論,不需要證明]考點：三角形內角和定理。專題：探究型。分析：根據"三角形的外角等于與其不相鄰的兩內角和"和角平分線性質．〔1利用角平分線的性質和三角形內角和是180度以及外角的性質求算即可；〔2先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關系,再列出∠BPC、∠PBC、∠PCB的關系,然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACB和∠PCB的關系；〔3利用P為△ABC兩外角平分線的交點,∠DBC=∠A+∠ACB,同理可得：∠BCE=∠A+∠ABC,再利用三角形內角和定理以及外角和定理求出即可；〔4列出∠A、∠ABC、∠ACF的關系,再列出∠PBC、∠P、∠PCF的關系,然后列出∠ABC和∠PBC、∠ACF和∠PCF的關系．解答：解：〔1∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°,∴∠PBC+∠PCB=〔∠ABC+∠ACB=×130°=65°,∴∠BPC=180°﹣65°=115°；〔2∠BPC=∠A+90．∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,在△BOC中,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,∵BP,CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線,∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,∴∠BPC+∠ABC+∠ACB=180°,又∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠BPC=∠A+90°；〔3∵∠DBC=∠A+∠ACB,∵P為△ABC兩外角平分線的交點,∴∠DBC=∠A+∠ACB,同理可得：∴∠BCE=∠A+∠ABC,∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∴〔∠ACB+∠ABC=90°﹣∠A,∵180°﹣∠BPC=∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC,∴180°﹣∠BPC=∠A+∠ACB+∠ABC,180°﹣∠BOC=∠A+90°﹣∠A,∴∠BPC=90°﹣∠A；〔4若P為∠ABC和∠ACB外角的平分線BP,CP的交點,則∠BPC與∠A的關系為：∠BPC=∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACF,∠PBC+∠BPC=∠PCF,BP,CP分別是∠ABC和∠ACF的平分線,∵∠ABC=2∠PBC,∠ACF=2∠PCF,由以上各式可推得∠BPC=∠A．點評：此題主要考查了角平分線及三角形的內角和定理和三角形外角和等知識,熟練地應用其性質得出等量關系,再進行等量代換是解決問題的關鍵．7．如圖,已知△ABC中,∠B=∠E=40°,∠BAE=60°,且AD平分∠BAE．〔1求證：BD=DE；〔2若AB=CD,求∠ACD的大?。键c：三角形內角和定理；角平分線的定義。專題：計算題；證明題。分析：〔1要求證：BD=DE可以證明△ABD≌△AED,根據角角邊定理就可以證出；〔2求∠ACD=∠AFC﹣∠DAF,本題可以轉化為求∠AFC,∠DAF的度數(shù)．解答：〔1證明：∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD=30°∵AD=AD∵∠B=∠E=40°∴△ABD≌△AED∴BD=ED；〔2解：∵∠ADE=∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=110°,∵∠ADC=70°,∴∠EDC=110°﹣70°=40°．∴∠EDC=∠E．∴FD=FE．∵AE=AB=CD,∴CF=AF．∵∠AFC=100°,∴∠ACD=40°．點評：證明線段相等的問題比較常用的方法是證明所在的三角形全等．8．如圖,A、B兩點同時從原點O出發(fā),點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動,點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動．〔1若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,試分別求出1秒鐘后A、B兩點的坐標；〔2設∠BAO的鄰補角和∠ABO的鄰補角的平分線相交于點P,問：點A、B在運動的過程中,∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請求出其值；若發(fā)生變化,請說明理由；〔3如圖,延長BA至E,在∠ABO的內部作射線BF交x軸于點C,若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點G,過點G作BE的垂線,垂足為H,試問∠AGH和∠BGC的大小關系如何？請寫出你的結論并說明理由．考點：三角形內角和定理；非負數(shù)的性質：絕對值；角平分線的定義。專題：動點型。分析：〔1|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0,非負數(shù)的性質得,x+2y﹣5≥0,2x﹣y≥0；由此解不等式即可求得,A、B兩點同時從原點O出發(fā),點A以每秒x個單位長度沿x軸的負方向運動,點B以每秒y個單位長度沿y軸的正方向運動,∴A〔﹣1,0,B〔0,2；〔2不發(fā)生變化．要求∠P的度數(shù),只要求出∠PAB+∠PBA的度數(shù)．利用三角形內角和定理得,∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA；角平分線性質得,∠PAB=∠EAB,∠PBA=∠FBA,外角性質得,∠EAB=∠ABO+90°,∠FBA=∠BAO+90°,則可求∠P的度數(shù)；〔3試求∠AGH和∠BGC的大小關系,找到與它們有關的角．如∠BAC,作GM⊥BF于點M,由已知有可得∠AGH與∠BGC的關系．解答：解：〔1解方程組：得：〔3分∴A〔﹣1,0,B〔0,2；〔2不發(fā)生變化,∠P=180°﹣∠PAB﹣∠PBA=180°﹣〔∠EAB+∠FBA=180°﹣〔∠ABO+90°+∠BAO+90°=180°﹣〔180°+180°﹣90°=180°﹣135°=45°；〔3作GM⊥BF于點M．由已知有：∠AGH=90°﹣∠EAC=90°﹣〔180°﹣∠BAC=∠BAC,∠BGC=∠BGM﹣∠CGM=90°﹣∠ABC﹣〔90°﹣∠ACF=〔∠ACF﹣∠ABC=∠BAC∴∠AGH=∠BGC．注：不同于此標答的解法請比照此標答給分．點評：考查角平分線性質,三角形內角和定理,非負數(shù)的性質等知識．9．如圖所示,點E在AB上,CE,DE分別平分∠BCD,∠ADC,∠1+∠2=90°,∠B=75°,求∠A的度數(shù)．考點：三角形內角和定理；平行線的性質。專題：計算題。分析：延長DE交CB延長線于F,根據已知條件,證得AD∥FC；根據兩直線平行,內錯角相等求得∠A的鄰補角；再求出∠A的度數(shù)即可．解答：解：延長DE交CB延長線于F,∵∠1+∠2=90°,∴∠DEC=90°,即CE⊥ED,∴∠ECB+∠F=90°,∴∠2+∠F=90°．∵∠1=∠ADE,∴∠ADF=∠F,∴AD∥FC,∴∠A=∠EBF,∵∠B=75°,∴∠A=180°﹣75°=105°．點評：本題主要考查平分線的性質,由已知能夠注意到AD∥FC,這是解題的關鍵．10．如圖,∠AOB=90°,點C、D分別在射線OA、OB上,CE是∠ACD的平分線,CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．〔1當∠OCD=50°〔圖1,試求∠F．〔2當C、D在射線OA、OB上任意移動時〔不與點O重合〔圖2,∠F的大小是否變化？若變化,請說明理由；若不變化,求出∠F．考點：三角形內角和定理。分析：〔1根據三角形的內角和是180°,可求∠CDO=40°,所以∠CDF=20°,又由平角定義,可求∠ACD=130°,所以∠ECD=65°,又根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和,可求∠ECD=∠F+∠CDF,∠F=45度．〔2同理可證,∠F=45度．解答：解：〔1∵∠AOB=90°∠OCD=50°,∴∠CDO=40°．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線,∴∠ECD=65°∠CDF=20°．∵∠ECD=∠F+∠CDF,∴∠F=45°．〔2不變化,∠F=45°．∵∠AOB=90°,∴∠CDO=90°﹣∠OCD∠ACD=180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線,∴∠ECD=90°﹣∠OCD∠CDF=45°﹣∠OCD．∵∠ECD=∠F+∠CDF,∴∠F=45°．點評：本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩內角之和,以及三角形的內角和是180°的定理．題目難度由淺入深,由特例到一般,是學生練習提高的必備題．11．如圖,△ABC中,AE、BF是角平分線,它們相交于點O．〔∠ABC＞∠C,〔1試說明∠BOA=90°+∠C；〔2當AD是高,判斷∠DAE與∠C、∠ABC的關系,并說明理由．考點：三角形內角和定理；三角形的角平分線、中線和高。分析：〔1先利用三角形內角和定理可求∠BOA=180°﹣〔∠CAB+∠CBA,以及∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C,即可得出∠BOA=180°﹣〔180°﹣∠C整理得出即可；〔2根據角平分線定義可求∠CAE=∠BAE=〔180°﹣∠C﹣∠ABC,然后利用三角形外角性質,可先求∠AED,再次利用三角形外角性質,容易求出∠DAE即可．解答：解：〔1理由：∵△ABC中,AE、BF是角平分線,∴∠BOA=180°﹣〔∠CAB+∠CBA,∵∠CAB+∠CBA=180°﹣∠C,∴∠BOA=180°﹣〔180°﹣∠C=90°+∠C；〔2關系：∠DAE=〔∠ABC﹣∠C．理由：∵∠CAB=180°﹣∠C﹣∠ABC,∵AE是