《等差數(shù)列的前n項和》第2課時示范課教案【高中數(shù)學(xué)蘇教版】

《等差數(shù)列的前n項和》教學(xué)設(shè)計第2課時教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.等差數(shù)列掌握等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用.2.會求等差數(shù)列前n項和的最值.教學(xué)重難點教學(xué)重難點教學(xué)重點：求等差數(shù)列前n項和的最值.教學(xué)難點：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用.

課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】問題1：閱讀課本，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點是什么？目標(biāo)是什么？師生活動：學(xué)生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應(yīng)問題．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的前n項和公式及其簡單應(yīng)用．（2）數(shù)列是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好題材．等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力．發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)．設(shè)計意圖：通過閱讀讀本，讓學(xué)生明晰本階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．問題2：等差數(shù)列的前n項和公式是什么？師生活動：學(xué)生回顧上節(jié)課所學(xué)知識，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：若知首項、末項與項數(shù)，可用公式；若知首項、公差與項數(shù)，可用公式．設(shè)計意圖：通過回顧等差數(shù)列的前n項和公式，溫故知新.問題3：數(shù)列是特殊的函數(shù)，那么等差數(shù)列前項和與函數(shù)是什么關(guān)系呢？師生活動：學(xué)生思考，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：不是!當(dāng)公差為零時，它是關(guān)于n的一次型函數(shù)．設(shè)計意圖：通過設(shè)置問題，引入新課．【探究新知】知識點1等差數(shù)列{an}的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列前項和公式又可化成式子：，當(dāng)，此式可看作二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為零的二次函數(shù)式；它的圖象是拋物線上的一群獨立點．追問：等差數(shù)列{an}的前n項和是不是可看成是定義域為正整數(shù)集或正整數(shù)集的子集上的二次函數(shù)？師生活動：學(xué)生口答，教師完善．設(shè)計意圖：通過等差數(shù)列{an}的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系的研究，進(jìn)一步體會數(shù)列特殊的函數(shù)．發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．知識點2等差數(shù)列前n項和的最值(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d<0時，有大值，使取到最值的n可由不等式組確定；當(dāng)a1<0，d>0時，Sn有小值，使Sn取到最值的n可由不等式組確定．(2)因為，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值；且n取最接近對稱軸的自然數(shù)時，取到最值.設(shè)計意圖：通過對等差數(shù)列前n項和的最值的探討，體會從不同角度去研究數(shù)列前n項和的最值．【鞏固練習(xí)】例1某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位.問第1排應(yīng)安排多少個座位？師生活動：與學(xué)生一起分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．由題意可知，{an}是等差數(shù)列，且公差及前20項和已知，所以可利用等差數(shù)列的前n項和公式求首項．預(yù)設(shè)的答案：設(shè)報告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由，可得；a1=21因此，第1排應(yīng)安排21個座位．設(shè)計意圖：本題屬于與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．通過等差數(shù)列前n項和公式在實際問題中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型.等差數(shù)列在實際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學(xué)方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實際問題中去，是用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一般過程.需要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.例2已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.師生活動：學(xué)生分組討論，派代表發(fā)言，教師完善．預(yù)設(shè)的答案：法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是遞減數(shù)列.由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12.可知，當(dāng)n＜6時，an＞0；當(dāng)n＝6時，an＝0；當(dāng)n＞6時，an＜0.所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是說，當(dāng)n＝5或6時，Sn最大.因為所以Sn的最大值為30.法2：因為由a1＝10，d＝－2，因為所以，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)，即5或6時，Sn最大，最大值為30.設(shè)計意圖：通過該典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力．發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：1.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項公式尋求正、負(fù)項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負(fù)項分界點的方法：(1)通過解不等式與解方程得到正、負(fù)項的分界點．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對稱軸距離最近的左側(cè)的一個正數(shù)或離對稱軸最近且關(guān)于對稱軸對稱的兩個整數(shù)對應(yīng)項即為正、負(fù)項的分界點．例3數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項公式；(2)問{an}的前多少項和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn′.師生活動：與學(xué)生一起分析，教師完善．經(jīng)分析可知：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項公式找到通項的變號點求解；(3)利用an判斷哪些項是正數(shù)，哪些項是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項的正負(fù)求解．預(yù)設(shè)的答案：(1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對稱軸為.距離最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時，an≥0，當(dāng)n≥18時，an<0，故數(shù)列{an}的前16項或前17項的和最大．(3)由(2)知，當(dāng)n≤17時，an≥0；當(dāng)n≥18時，an<0.所以當(dāng)n≤17時，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當(dāng)n≥18時，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故設(shè)計意圖：通過該典型例題，提高學(xué)生對等差數(shù)列求和公式的綜合運(yùn)用能力．發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：(1)在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正(負(fù))值或零，而它后面的各項皆取負(fù)(正)值，則從第1項起到該項的各項的和為最大(小)．由于Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，也可借助二次函數(shù)的圖象或性質(zhì)求解．(2)求等差數(shù)列{an}前n項的絕對值之和，關(guān)鍵是找到數(shù)列{an}的正負(fù)項的分界點，然后去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題．設(shè)計意圖：通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【課堂總結(jié)】1．板書設(shè)計：等差數(shù)列的前n項和（2）探索新知初步應(yīng)用1．等差數(shù)列的前n項和與函數(shù)關(guān)系例1知識講解1：例22．等差數(shù)列的前n項和的最值例3知識講解2：2．總結(jié)概括：(1)等差數(shù)列前n項和Sn與二次函數(shù)的關(guān)系；(2)等差數(shù)列前n項和Sn的最值求解．師生活動：學(xué)生總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充.設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力．【目標(biāo)檢測設(shè)計】1.數(shù)列｛an｝是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項為正，第七項為負(fù).(1)求數(shù)列的公差.(2)求前n項和Sn的最大值.(3)當(dāng)Sn＞0時，求n的最大值.設(shè)計意圖：通過該題進(jìn)一步鞏固等差數(shù)列的通項公式及前n項和最值的求解.2.某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？設(shè)計意圖：通過該題進(jìn)一步鞏固等差數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用.參考答案：1.(1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4；(2)∵d＜0，∴{an}是遞減數(shù)列，又a6＞0，a7＜0∴當(dāng)n=6時，Sn取得最大值，S6=6×23+(－4)=