積分方法綜述

PAGE2積分方法綜述-.z.積分方法綜述學(xué)生：李攀指導(dǎo)教師：*鳳艷**師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)摘要：文章給出了五種不定積分的求解方法：直接積分法換元積分法分部積分法，利用對(duì)稱(chēng)性和拉普拉斯變換計(jì)算廣義積分，結(jié)合實(shí)例討論了這些方法在不定積分求解中的可行性，對(duì)快速正確求解不定積分有一定的意義.關(guān)鍵詞：不定積分；積分方法；微積分.IntegralmethodsummaryStudent:Lipan

Teacher:LiuFeng-yanDepartmentofMathematicsandputationalScience,HuainanNormaluniversity.Abstract:Therearefivesolutionsofindefiniteintegrationinthispaper:directintegration,E*cha-ngeableintegration,parcelintegration,usingsymmetryandthegeneralizedLaplacetransformtoc-alculate.biningwithreale*ampleswediscussedthefeasibilitywhichthesewaysinthesol-utionofindefiniteintegration.Itishelpfultosolveindefiniteintegrationquicklyandcorrectly.Keywords:indefiniteintegral;indefiniteintegration；calculus前言數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容是微積分，在微積分中，討論了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題而其積分是其逆問(wèn)題在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，對(duì)積分的方法進(jìn)展歸納和總結(jié)是有益的．本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，對(duì)積分方法進(jìn)展了歸納總結(jié)．1直接積分法通過(guò)簡(jiǎn)單變形，利用根本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法．例1求.解：分析：可利用不定積分的性質(zhì)和根本積分公式直接積分．逐項(xiàng)積分后，每個(gè)不定積分都含有任意常數(shù)，由于任意常數(shù)之和仍為任意常數(shù)，所以只需寫(xiě)一個(gè)任意常數(shù)．2換元積分法2.1第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)我們將復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則反過(guò)來(lái)，用于不定積分，就得出換元積分法.第一類(lèi)換元積分的思路是：把所求的被積函數(shù)通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化成積分公式中的*一形式，然后再求出積分結(jié)果，這種積分法在解決積分問(wèn)題中經(jīng)常用到.根本步驟如下：第一類(lèi)換元積分法關(guān)鍵是：將被積表達(dá)式湊成兩局部，即從而形成一局部是的函數(shù)，將另一局部湊成微分，這樣就可從積分公式中求出積分，再回代，就完成了積分．湊微分時(shí)經(jīng)常對(duì)被積表達(dá)式的系數(shù)進(jìn)展調(diào)整，但要注意它必須是等值變換．例2求.解：將d*湊為，則2.2第二類(lèi)換元積分法(去根號(hào)法).第二類(lèi)換元積分法是通過(guò)適中選擇置換式，使代換后的積分易于積出．它主要用來(lái)解決幾種簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)的積分問(wèn)題．第二類(lèi)換元積分法經(jīng)常用來(lái)解決被積函數(shù)中含似的積分問(wèn)題，旨在去掉根號(hào)，使其化成可以用第一類(lèi)換元積分法或直接積分法求解．因此第二類(lèi)換元積分法也稱(chēng)為去根號(hào)法．第二類(lèi)換元積分法是直接進(jìn)展換元，分為代數(shù)代換和三角代換兩種形式．代數(shù)代換：求形如〔為正整數(shù)〕的積分，可令=；求形如(為正整數(shù))的積分，可令.三角代換：求形如的積分可令;求形如的積分可令;求形如的積分可求.例3求〔a>0〕.解這個(gè)積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來(lái)?yè)Q元,設(shè),則=.于是有：第一類(lèi)換元積分法和第二類(lèi)換元統(tǒng)稱(chēng)換元積分法，他們的區(qū)別在于積分變量所處的不同，前者令，是中間變量.關(guān)于換元法的問(wèn)題：不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的根底上得出來(lái)的，我們應(yīng)根據(jù)具體的事例來(lái)選擇所用的方法，求不定積分不像求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依，因此想要熟練的求出*函數(shù)的不定積分，要作大量的練習(xí)．3分部積分法分部積分法是乘積的微分公式的逆運(yùn)算.設(shè)，連續(xù)可微，在使用分部積分法時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x擇和，否則就會(huì)南轅北轍．選取和一般考慮兩點(diǎn)：(1)要容易求得；(2)要比容易積出．例4求.解設(shè)于是.分部積分法的應(yīng)用范圍較有限，主要用于解決被積函數(shù)是兩類(lèi)不同類(lèi)型函數(shù)乘積形式的積分，的選擇一般的可總結(jié)為："指三冪對(duì)反，誰(shuí)在后面誰(shuí)為〞，即被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)中的兩類(lèi)函數(shù)乘積形式，誰(shuí)在后面誰(shuí)為，按此方法選擇是十分有效的．總之，不定積分的積分方法比擬靈活技巧多，在做題中抓住被積函數(shù)的特征，以便選擇適當(dāng)?shù)姆e分方法．以上我們論述了三種比擬常見(jiàn)的積分方法，下面我們?cè)诮榻B兩種簡(jiǎn)易積分法〔即利用對(duì)稱(chēng)性和拉普拉斯變換計(jì)算廣義積分〕這兩中方法是對(duì)以上三種積分方法的補(bǔ)充，完善和推廣.利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算積分.定理1設(shè)在上可積，則證明.計(jì)算.解：因?yàn)?所以;定理2設(shè)在上可積,1)假設(shè)關(guān)于*=a奇對(duì)稱(chēng)，則;2)假設(shè)關(guān)于*=a偶對(duì)稱(chēng)，.證明:假設(shè)關(guān)于*=a奇對(duì)稱(chēng)是=，則，令,則,所以.同理可證假設(shè)關(guān)于*=a偶對(duì)稱(chēng)的情形.例6計(jì)算.因?yàn)榧矗宏P(guān)于*=偶對(duì)稱(chēng)所以定理3設(shè)在G上可積，且G=,其中是對(duì)稱(chēng)圖形，，是任一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn):1)假設(shè)=，則;2)假設(shè)=，則.證明:對(duì)任取一種分割〔i=1,2...,n〕,使〔i=1,2,...,n〕和〔i=1,2...,n〕是對(duì)稱(chēng)圖形，且，對(duì)于任意一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，.1)假設(shè)=，則所以;2)假設(shè)=，則所以.例7計(jì)算三重積分，其中為橢球域解：被z=0分成的上.下兩局部，這兩個(gè)局部是關(guān)于的對(duì)稱(chēng)圖形.任取,則有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記則有=,所以=0.例8計(jì)算曲面積分，其中為球面上的局部.解：記在4個(gè)卦限的局部依次是;;由于關(guān)于軸是對(duì)稱(chēng)圖形，，有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)由,可得到.由于也是對(duì)稱(chēng)圖形，，有對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由得，得.定理4奇函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且對(duì)任意取定的實(shí)數(shù)廣義積分和都收斂，則廣義積分。例9求廣義積分.分析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且滿足定理4的條件，所以廣義積分求廣義積分.分析：為奇函數(shù)，但不滿足條件要求，對(duì)取定的實(shí)數(shù)c=0,廣義積分都發(fā)散,所以不能說(shuō)等于0，是發(fā)散的.5.利用拉普拉斯變換求無(wú)窮積分在高等數(shù)學(xué)中，求解無(wú)窮限的廣義積分使用常規(guī)方法只能處理一些較簡(jiǎn)單的被積函數(shù)的積分，一但被積函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，假設(shè)仍運(yùn)用常規(guī)方法難度很大，本文針對(duì)高等數(shù)學(xué)中無(wú)窮限的廣義積分的一種特殊形式，來(lái)運(yùn)用拉普拉斯變換的定義及拉普拉斯變換的性質(zhì)〔象函數(shù)的積分〕進(jìn)展求解5.1定義：拉普拉斯變換的定義：設(shè)是定義在[0,+∞]上的實(shí)值函數(shù)，如果對(duì)于復(fù)參數(shù)s=β+iω，積分在復(fù)平面s的*一域內(nèi)收斂，則稱(chēng)F(s)為f(t)的拉普拉斯變換，并且我們稱(chēng)F(s)為f(t)的象函數(shù).5.2性質(zhì)：拉普拉斯變換的積分性質(zhì)〔象函數(shù)的積分〕：設(shè)L[f(t)]=F(s)，則有：=，一般地，有.證明:.現(xiàn)我們反復(fù)的運(yùn)用上式的推導(dǎo)過(guò)程，就可以得到一般情況.例11求解積分.分析：該題目如果使用高等數(shù)學(xué)的方法求解很困難，要使用分部積分法，現(xiàn)在如果我們使用拉普拉斯變換的定義，把問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單，我們只要求出的拉普拉斯變換后，令即可.解：，〔該結(jié)果是常規(guī)要記住的〕對(duì)照要求積分，令，即：.例12求解積分.分析：該題目要比例1復(fù)雜些，因?yàn)楸环e函數(shù)復(fù)雜，使用拉普拉斯變換的定義，求出的拉普拉斯變換后，令s=1即可，但是的拉普拉斯變換求解較困難，我們要借助拉普拉斯變換的性質(zhì)———象函數(shù)的積分.解：由象函數(shù)的積分有：即：現(xiàn)令：得由此方法我們可以看出，利用復(fù)變函數(shù)中的拉普拉斯變換來(lái)求解實(shí)變函數(shù)中該模型類(lèi)型的廣義積分，為我們計(jì)算無(wú)窮限型的廣義積分提供了一種新的的解決方法.計(jì)算型積分n=-1時(shí)，由函數(shù)的積分性質(zhì)可得，其中.例13求廣義積分.分析：因?yàn)?，所以?4求廣義積分其中為第一類(lèi)零階Bessel函數(shù).分析：因?yàn)橛晌灰菩再|(zhì)所以=完畢語(yǔ)：通過(guò)積分方法的綜述，我們認(rèn)識(shí)到解決問(wèn)題的方法和巧妙，使我們的思路更加開(kāi)闊，對(duì)課本知識(shí)總結(jié)的同時(shí)有添加了兩種解題方法，解題思路，給以后的學(xué)習(xí)做題帶來(lái)了方便，但是我們要注意利用后兩種方法的條件，才能正確的解題，不能想當(dāng)然.通過(guò)這個(gè)課題的研究我也認(rèn)識(shí)到做題方法能更快更好的解題，在以后的學(xué)習(xí)生活中我們要看開(kāi)拓自己的思維找到最好的解題方法.致謝語(yǔ)：我要感謝，非常感謝我的指導(dǎo)教師*鳳艷。她為人隨和熱情，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)心。在閑聊中她總是能像知心朋友一樣鼓勵(lì)你，在論文的寫(xiě)作和措辭等方面她也總會(huì)以"專(zhuān)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)〞嚴(yán)格要求你，從選題、定題開(kāi)場(chǎng)，一直到最后論文的反復(fù)修改、潤(rùn)色，*教師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，幫助我開(kāi)拓研究思路，精心點(diǎn)撥、熱忱鼓勵(lì)。正是*教師的無(wú)私幫助與熱忱鼓勵(lì)，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成，謝謝*教師。參考文獻(xiàn)：【1】孫立卓’孫輝．談不定積分運(yùn)算中的一些靈活性[M]．高等數(shù)學(xué)研究，2002，．【2】*緒緒邰軍．應(yīng)用數(shù)學(xué)根底[M]．**科技大學(xué)，2000．【3】吉米多維奇．?dāng)?shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M]．**：**大學(xué)，1999．【4】同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)[M]．**：高等教育，2005．【5】**高校工科數(shù)學(xué)協(xié)作紐．高等數(shù)學(xué)通報(bào)[J]．，2002．【6】彭