2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課3第一章空間向量與立體幾何新（定義文化）高觀點(diǎn)必刷必過題Word版含解析

3第一章空間向量與立體幾何新（定義，文化）高觀點(diǎn)必刷必過題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，還在反復(fù)思考一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由圖可知，點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.2．（2021·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)高二期中）空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋势浞ㄏ蛄繛?，因?yàn)橹本€的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為，故選：B.3．（2022·湖北·襄陽市襄州區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】平面的方程為，平面的法向量可取平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，，所以，則直線與平面所成角的大小為，．故選：A．4．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）日晷是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（）A．20°B．40°C．50°D．90°【答案】B【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B5．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）?？阽姌堑臍v史悠久，最早是為適應(yīng)對(duì)外通商而建立，已成為?？诘淖钪匾臉?biāo)志性與象征性建筑物之一，如圖所示，?？阽姌堑闹黧w結(jié)構(gòu)可以看做一個(gè)長(zhǎng)方體，四個(gè)側(cè)面各有一個(gè)大鐘，則從到這段時(shí)間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)分針長(zhǎng)為，設(shè)矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，考查到這個(gè)時(shí)間段，設(shè)時(shí)刻，側(cè)面、內(nèi)的鐘的分針的針點(diǎn)的位置分別為、，設(shè)，其中，則，，由已知可得，則，因?yàn)?，故的取值為、、、，即在到這個(gè)時(shí)間段，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為，因此，從到這段時(shí)間內(nèi)，相鄰兩面鐘的分針?biāo)山菫榈拇螖?shù)為.故選：D.6．（多選）（2022·福建·廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）給定兩個(gè)不共線的空間向量與，定義叉乘運(yùn)算：．規(guī)定：①為同時(shí)與，垂直的向量；②，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義空間向量的叉乘運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.詳解】在長(zhǎng)方體中，AB=AD=2，，A：同時(shí)與垂直，，又因?yàn)?，所以，且，?gòu)成右手系，故成立，故A正確；B：根據(jù)三個(gè)向量構(gòu)成右手系，可知，，則，故B錯(cuò)誤；C：，且與同向共線，，且與同向共線，又，且與同向共線，即與同向共線，所以，且與同向共線，所以，故C正確；D：長(zhǎng)方體的體積，，所以，故D正確.故選：ACD7．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在三維空間中，叫作向量與的外積，它是一個(gè)向量，且滿足下列兩個(gè)條件：①，，且，，三個(gè)向量構(gòu)成右手系（如圖所示）；②.在正方體中，已知其表面積為S，下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．與共線【答案】ACD【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，如圖.對(duì)于A，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，故，連接，因?yàn)?，，為等邊三角形，所以，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)定義，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，而平面，所以，則平面，又平面，所以，又，，，所以平面，所以，結(jié)合外積的定義可知與共線，故D正確.故選：ACD.8．（多選）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則以下命題正確的是（）A．與成角的余弦值為B．，，，四點(diǎn)不共面C．弧上存在一點(diǎn)，使得D．以點(diǎn)為球心，為半徑的球面與曲池上底面的交線長(zhǎng)為【答案】AD【詳解】圓弧的圓心的原點(diǎn)，CD為x軸，BA為y軸過圓心O垂直于底面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：則，故，所以，A正確；對(duì)于B，連接，則有則，∴與BC共面，即四點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)在圓弧存在一點(diǎn)，使得，則有，，此方程組無解，即E點(diǎn)不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，做如下俯視圖：，即以C為球心，為半徑的球剛好過A點(diǎn)是球面與底面ABCD唯一的交點(diǎn)，因?yàn)椋谇蛎嫔?，設(shè)與圓弧的交點(diǎn)為，則，解得，故，球面與上底面的交線是以為圓心，半徑為1的圓弧，則，圓心角，由圖知：，得.，故D正確；故選：AD.9．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)近代數(shù)學(xué)家蘇步青主要從事微分幾何學(xué)和計(jì)算幾何學(xué)等方面的研究，在仿射微分幾何學(xué)和射影微分幾何學(xué)等研究方面取得了出色成果．他的主要成就之一是發(fā)現(xiàn)了四次代數(shù)錐面：對(duì)于空間中的點(diǎn)P（x，y，z），若其坐標(biāo)滿足關(guān)于x，y，z的四次代數(shù)方程式，稱點(diǎn)P的軌跡為四次代數(shù)曲面．若點(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，則k＝___．【答案】2【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)K（1，k，0）是四次曲面：上的一點(diǎn)，所以，得，解得，故答案為：210．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）設(shè)Ox，Oy，Oz是空間中兩兩夾角都為θ的三條數(shù)軸，分別是與x，y，z軸正方向同向的單位向量，若，x，y，z∈R，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，則下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為___________.（1）若，，則；（2）若，則；（3）若，則當(dāng)且僅當(dāng)x∶y=3∶1時(shí),向量與的夾角取得最小值；（4）若，，，則三棱錐O-ABC的表面積為6+2.【答案】1【詳解】解：在（1）中，，可得，故（1）正確；在（2）中，，故（2）錯(cuò)誤；在（3）中，顯然當(dāng)x∶y=3∶1時(shí)，與共線，此時(shí)夾角為0或π，故（3）錯(cuò)誤；在（4）中，由題可知，當(dāng)，，時(shí)，三棱錐O-ABC為以2為棱長(zhǎng)的正四面體，表面積為，故（4）錯(cuò)誤.綜上，真命題的個(gè)數(shù)為1.故答案為：1.11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為，點(diǎn)到平面的距離，則在底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于________．【答案】【詳解】如圖，以底面中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的方程為，將坐標(biāo)代入計(jì)算得解得，，，，即，．故答案為：12．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）兩個(gè)非零向量，，定義．若，，則___________．【答案】【詳解】因?yàn)?，，所以，故，所以，故答案為?3．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期末）已知，空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.用以上知識(shí)解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【詳解】由，解得，即直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為平面的方程為，可得所以平面的法向量為平面的法向量為，的法向量為設(shè)直線的方向向量為，則，即取，設(shè)直線與平面所成角則故答案為：14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)構(gòu)．構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為______．【答案】【詳解】如圖示，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，∴，．，∴原子連線BF與所成角的余弦值為．故答案為：15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑（bienao）是指四個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，AD為斜邊BC上的高，，，現(xiàn)將沿AD翻折，使得四面體為一個(gè)鱉臑，則二面角的余弦值是___________．【答案】【詳解】解：在直角中，AD為斜邊BC上的高，，，則，，，，即在四面體中，，，，，，則，要使四面體ADB′C為鱉臑，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，可知需要B′C⊥平面ADB′，此時(shí)∠ADB′，∠ADC，∠DB′C，∠AB′C為直角，滿足四面體AB'CD為一個(gè)鱉臑，則，如圖在長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體中作出四面體ADB′C，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)向量為平面的一條法向量，向量為平面的一條法向量，則，可取，同理可取，，又因二面角銳角，所以二面角的余弦值是.故答案為：.16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長(zhǎng)都為，則正確的是_______________________________①⊥平面；②該二十四等邊體的體積為；③該二十四等邊體外接球的表面積為；④與平面所成角的正弦值為.【答案】②③④【詳解】將幾何體補(bǔ)成正方體，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于①，，，，，，，則，A錯(cuò)；對(duì)于②，該二十四等邊體是在正方體上截去個(gè)全等的三棱錐而成，且三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，三棱錐的高為，故該二十四等邊體的體積為，②對(duì)；對(duì)于③，易知正方體的中心為該二十四等邊體外接球的球心，且該球的半徑為，因此，該二十四等邊體外接球的表面積為，③對(duì)；對(duì)于④，易知平面的一個(gè)法向量為，，，，，故與平面所成角的正弦值為，④對(duì).故答案為：②③④.17．（2022·湖南·周南中學(xué)高二期末）某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是正方形的三邊AB、CD、AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB、CG就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）．(1)若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；(2)若二面角是直二面角，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)（1）證明：取線段中點(diǎn)，連接、，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，且，在圖1中知且，且，所以在圖2中，且，且，∴四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，∴平面.（2）解：由圖1，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，∴設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，取，則于是平面的一個(gè)法向量點(diǎn)B到平面的距離為.18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”.我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸?y軸?z軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作.(1)若，，求的斜60°坐標(biāo)；(2)在平行六面體中，AB=AD=2，AA1=3，，如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”.①若，求向量的斜坐標(biāo)；②若，且，求.【答案】(1)(2)①；②2（1）解：由，，知，，所以，所以；（2）解：設(shè)分別為與同方向的單位向量，則，①②由題，因?yàn)?，所以，由知?jiǎng)t19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在空間直角坐標(biāo)系中，已知平面的法向量，且平面經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：.（2）我們稱（1）中結(jié)論為平面的點(diǎn)法式方程，若平面過點(diǎn)，求平面的點(diǎn)法式方程.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn).,為平面的法向量（2）設(shè)平面的法向量為，，則，令則，平面的法向量為由（1）可知，平面的點(diǎn)法式方程為：即20．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知頂點(diǎn)為S的圓錐面（以下簡(jiǎn)稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點(diǎn)S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點(diǎn)為F，直線l與平面α交點(diǎn)為A，直線AF與圓錐S交點(diǎn)為O，圓錐S的母線OS與球T的切點(diǎn)為M，，．(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．【答案】(1)證明見解析；；(2)證明見解析.（1）∵平面AOS截球T的截面圓與直線AO相切于F，∴，記P是平面內(nèi)不在直線OA上的點(diǎn)，平面TFP截球T的截面圓與直線FP相切于點(diǎn)F，∴，∵平面內(nèi)直線AO，F(xiàn)P相交于點(diǎn)F，∴TF⊥平面，∵直線TF平面AOS，∴平面AOS⊥平面，∴．連TO，TM，∴，，∴球T的半徑且，∴.（2）在平面AOS內(nèi)圓錐的另一條母線與球T的切點(diǎn)記為N點(diǎn)∵，∴以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過O與TF平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.∵OM，OF與球T相切，∴，∴，，設(shè)交線C上任意點(diǎn)，記圓錐S的母線SP與球T相切于E．∵PF與球T相切于點(diǎn)F，∴，，∴，即（1），兩邊平方整理得：（2），兩邊平方整理得：（3），易知：（3）（2）（1），∴交線C在坐標(biāo)平面xOy中方程為，∴交線C是以F為焦點(diǎn)，O為頂點(diǎn)的拋物線.21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵中，，M是的中點(diǎn)，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點(diǎn)H，則___________，___________.【答案】

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-42【詳解】如圖，延長(zhǎng)MG，交的延長(zhǎng)線于K，連接KN，顯然平面，平面，因此，平面MNG與AB的交點(diǎn)H，即為KN與AB交點(diǎn)，在塹堵中，，則，即，又，則，而，于是得，所以，因，，所以.故答案為：6；-4222．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．該羨除是一個(gè)多面體，如圖，四邊形，均為等腰梯形，，平面平面，梯形，的高分別為3，7，且，，，則______，______．【答案】

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【詳解】過分別作，的垂線，垂足分別為，，如圖所示．由，可得，又平面平面，，平面平面，平面，∴平面，∴，．又，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，，∴，故答案為：；23．（2022