2022屆云南省西雙版納州高三下學(xué)期4月第二次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

絕密★啟用前西雙版納州2022屆高三下學(xué)期4月第二次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文科）注意事項(xiàng)：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．考生作答時(shí)請(qǐng)將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．2．已知i是虛數(shù)單位，若，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．若是鈍角且，則（）A．B．C．D．4．先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)，則第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率為（）A．B．C．D．5．若正四棱錐PABCD的所有棱長(zhǎng)均相等，E為PD中點(diǎn)，則異面直線PB與CE所成角的余弦值為（）A．B．C．D．6．《孫子算經(jīng)》一書中有如下問(wèn)題：“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆．問(wèn)：五人各得幾何？”其大意為“有5個(gè)人分60個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，問(wèn)5人各得多少個(gè)橘子？”根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件，則分得橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)為（）A．15B．16C．18D．217．設(shè)a，，則“”是“”的（）A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件8．已知圓：，圓：，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓、圓的切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)），使得，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（）A．B．C．D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S是30，則判斷框內(nèi)的條件可以是（）A．B．C．D．10．已知F是橢圓E：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若且，則橢圓E的離心率為（）A．B．C．D．11．牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度T將滿足，其中是環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯85℃的熱茶，放置在25℃的房間中，如果熱茶降溫到55℃，需要分鐘，則欲降溫到45℃，大約需要多少分鐘？（）（，）A．12B．14C．16D．1812．已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)．14．若函數(shù)，的最小正周期為，則正實(shí)數(shù)．15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，．則．16．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和2，母線長(zhǎng)為2，AB是下底圓面直徑，若點(diǎn)C是下底面圓周上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是上底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則四面體CABD的體積最大值為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）在①；②；從①②中選取一個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的劃線處，并解決該問(wèn)題．已知△ABC中內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c．若．（1）求內(nèi)角A的大??；（2）設(shè)，，求△ABC的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題滿分12分）我國(guó)是一個(gè)水資源嚴(yán)重缺乏的國(guó)家，2021年全國(guó)約有60%的城市供水不足，嚴(yán)重缺水的城市高達(dá)16.4%．某市政府為了減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃通過(guò)階梯式水價(jià)制度鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，即確定一戶居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)x（單位：t），用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．現(xiàn)通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得了100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：t），并將數(shù)據(jù)按照，，…，分成5組，制成了如下頻率分布直方圖．（1）設(shè)該市共有20萬(wàn)戶居民用戶，試估計(jì)全市居民用戶月均用水量不高于12（t）的用戶數(shù)；（2）若該市政府希望使85%的居民用戶月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（t），試估計(jì)x的值（精確到0.01）；（3）假設(shè)該市最終確定三級(jí)階梯價(jià)制如下：級(jí)差水量基數(shù)x（單位：t）水費(fèi)價(jià)格（元/t）第一階梯1.4第二階梯2.1第三階梯2.8小明家上個(gè)月需支付水費(fèi)共28元，試求小明家上個(gè)月的用水量．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且，，，E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：平面ACE；（2）求四棱錐PABCD的側(cè)面積．20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0．（1）求b的值；（2）若函數(shù)的極大值為，證明：．21．（本小題滿分12分）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)曲線：上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB，，求△OAB的面積的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做則按所做第一題記分。22．（本小題滿分10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程；（2）若曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，求實(shí)數(shù)a的值．23．（本小題滿分10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，解不等式；（2）若函數(shù)的最小值是2，證明：．西雙版納州2022屆高三下學(xué)期4月第二次適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)（文科）參考答案1．【答案】D【解析】依題意，，所以，故選D．2．【答案】D【解析】依題意，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，故選D．3．【答案】A【解析】因?yàn)槭氢g角，所以．則．4．．【答案】B【解析】不妨用表示兩次投擲的基本事件，其中x代表第一次投擲的點(diǎn)數(shù)，y代表第二次投擲的點(diǎn)數(shù)．故所有投擲的結(jié)果所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），……，（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36種，其中滿足第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)基本事件（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1）（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15種．所以第一次點(diǎn)數(shù)大于第二次點(diǎn)數(shù)的概率．故選B．5．【答案】D【解析】如圖，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，則O為BD中點(diǎn)．又E為PD中點(diǎn)所以．因此CEO或其補(bǔ)角為所求角．設(shè)正四棱錐棱長(zhǎng)為2，則，，，所以，故選D．6．【答案】C【解析】設(shè)第一個(gè)人分得橘子最少的人分到的橘子個(gè)數(shù)為，則．解得，．故分得橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是18．7．【答案】A【解析】在R上遞減．若，則，故，充分性成立；若，則，故，故．故必要性成立，即“”是“”的充要條件，故選A．8．【答案】B【解析】由得．因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，則，則即．所以點(diǎn)P的軌跡方程為．所以點(diǎn)P的軌跡方程為．9．【答案】A【解析】由程序框圖，其執(zhí)行結(jié)果如下：（1），：，，執(zhí)行循環(huán)體；（2），：，，執(zhí)行循環(huán)體；（3），：，，執(zhí)行循環(huán)體；（4），：，，執(zhí)行循環(huán)體；（5），：，，跳出循環(huán)體，輸出；則框內(nèi)條件應(yīng)為．10．【答案】C【解析】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)?，可得．所以，則，．由余弦定理可得即，故橢圓的離心率，故選C．11．【答案】C【解析】依題意可令，，，，代入式子得：，解得．又把代入式子得，則，∴．故選C．12．【答案】B【解析】依題意函數(shù)，，則函數(shù)在上遞增，在上遞減．因此在上，．故選B．13．【答案】【解析】易得，因?yàn)椋越獾茫?4．【答案】2【解析】，所以解得．故答案為：2．15．【答案】160【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，兩式相減化簡(jiǎn)得：．當(dāng)時(shí)，，，解得．則．16．【答案】【解析】由題意得圓臺(tái)高為，所以動(dòng)點(diǎn)D到圓面的距離為定值，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)C到AB的最大距離為2，則．17．（本小題滿分10分）解：（1）若選①由正弦定理及【說(shuō)明】①寫出正弦定理正確形式，判1分②正弦定理形式錯(cuò)誤0分得【說(shuō)明】①直接得到邊角互化的正確等式判1分，②邊角互化的其他錯(cuò)誤結(jié)論判0分則．【說(shuō)明】①寫清楚判1分，②邊角互化的其他錯(cuò)誤結(jié)論判0分得．【說(shuō)明】①寫清楚，判2分，②或者其他錯(cuò)誤結(jié)論判0分因?yàn)?，所以．【說(shuō)明】①結(jié)論正確得到，判結(jié)論分1分，②結(jié)論正確得到等其他錯(cuò)誤答案判結(jié)論分1分．若選③由得．由正弦定理【說(shuō)明】①寫出正弦定理正確形式，判1分②不寫得，只寫正弦定理判1分。得．【說(shuō)明】①邊角互化得到．判1分②邊角互化錯(cuò)誤判0分因?yàn)樗裕菊f(shuō)明】①不寫清楚，或者，只要化簡(jiǎn)得到，判1分②化簡(jiǎn)得不到或者等價(jià)形式判0分即．【說(shuō)明】①能體現(xiàn)輔助角公式得到，判2分；②得其他形式例如或者其他錯(cuò)誤結(jié)論判0分。因?yàn)?，所以得．【說(shuō)明】①書寫規(guī)范：因?yàn)椋缘?判1分；②不寫因?yàn)椋灾苯酉陆Y(jié)論得到．判1分；③只寫．判1分（2）由，及正弦定理且，得．【說(shuō)明】①第二問(wèn)只寫對(duì)正弦定理公式不帶入具體數(shù)據(jù)，判0分；②直接帶入數(shù)據(jù)得到正確表達(dá)式，判1分化簡(jiǎn)得．【說(shuō)明】①化簡(jiǎn)得到，判1分；②化簡(jiǎn)得到其他非的正確等價(jià)形式判0分因?yàn)椋瑒t或．【說(shuō)明】①不寫因?yàn)?，寫?duì)了或，判1分②只寫或其中一個(gè)判0分．若則．則.若則．則．所以△ABC的面積為或．【說(shuō)明】①寫對(duì)了三角形面積公式判1分；②分類討論后能得到兩個(gè)正確答案并作答正確判3分；③分類討論過(guò)程正確，結(jié)論正確，未作答△ABC面積為或．扣結(jié)論分1分，判2分。18．（本小題滿分10分）解：（1）由頻率分布直方圖可得．解得．【第1、2分說(shuō)明】①寫清楚（頻率/組距）*組距之和等于1或體現(xiàn)概率和為1的其他等價(jià)形式，結(jié)果正確判2分②概率之和為1的式子列正確，結(jié)果錯(cuò)誤判1分。③若以“”形式書寫：列式和結(jié)果都正確判2分；列式正確結(jié)果錯(cuò)判1分，列式錯(cuò)結(jié)果錯(cuò)判0分。居民用戶月均用水量不超過(guò)12（t）的頻率為．所以估計(jì)全市20萬(wàn)居民用戶中月均用水量不高于12（t）的用戶數(shù)為：（萬(wàn)）；【第3、4分說(shuō)明】①第一個(gè)列式結(jié)果0.8正確，結(jié)果寫了16不寫單位判2分②若書寫為“”：結(jié)果正確判2分，列式對(duì)結(jié)果錯(cuò)判1分③第一個(gè)結(jié)果“0.8”正確，“16”的結(jié)果錯(cuò)判1分④第一個(gè)結(jié)果“0.8”錯(cuò)誤判0分（2）由頻率分布直方圖知居民用戶月均用水量不超過(guò)12（t）的頻率為：0.80．月均用水量不超過(guò)16（t）的頻率為0.92．【第5分說(shuō)明】①過(guò)程中只體現(xiàn)正確答案“0.92”或其正確的分式形式，不體現(xiàn)“0.8”判1分。②過(guò)程中只體現(xiàn)正確答案“0.8”，不體現(xiàn)“0.92”判0分。則85%的居民用戶月均用水量不超過(guò)的標(biāo)準(zhǔn)．故．【第6、7分說(shuō)明】．①過(guò)程中不說(shuō)明“”．直接列出“”、“”、“”等正確式子判2分。②過(guò)程中體現(xiàn)了“”，列式錯(cuò)誤判1分。③過(guò)程中不體現(xiàn)“”，列式錯(cuò)誤判0分。解得，即x的值為13.67（t）．【第8分說(shuō)明】①答案不寫單位不扣分。②“13.67（t），13.67”以外的其他結(jié)果判0分。（3）因?yàn)椋镜?分說(shuō)明】①過(guò)程中體現(xiàn)了“19.6”及“32.2”或正確的分式形式，判1分。②只體現(xiàn)“19.6”或“32.2”的單邊數(shù)據(jù)的判0分③“19.6”、“32.2”兩個(gè)數(shù)據(jù)都沒(méi)有的判0分所以小明家上個(gè)月的用水量達(dá)到第二階梯收費(fèi)．設(shè)小明家上個(gè)月的用水量為m（t），由．【第10、11分說(shuō)明】①過(guò)程中不說(shuō)明“在第二階梯收費(fèi)”．直接列出正確式子的判2分。②過(guò)程中體現(xiàn)了“在第二階梯收費(fèi)”，但列式錯(cuò)誤判1分。③過(guò)程中不說(shuō)明“在第二階梯收費(fèi)”，且列式錯(cuò)誤判0分。得（t）．所以小明家上個(gè)月的用水量為18（t）．【第12分說(shuō)明】①答案正確得小明家上個(gè)月的用水量為18（t），18，判1分；②結(jié)果錯(cuò)誤，判0分。19．（本小題滿分10分）解：（1）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OE，【說(shuō)明：作圖，給1分】因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)．【說(shuō)明：說(shuō)出O為BD中點(diǎn)，給1分】又E為PD中點(diǎn)，所以．【說(shuō)明：能寫出即可給這2分】又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．【說(shuō)明：如果沒(méi)有寫出平面ACE，扣1分；只缺平面ACE，不扣分】（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，又底面ABCD是矩形，，且，所以平面PAB．所以．同理，平面PAD．所以．所以側(cè)面均為直角三角形．【說(shuō)明：只要考生能說(shuō)清楚這幾個(gè)側(cè)面三角形是直角三角形，有過(guò)程（不一定完整）即可給這3分；如果不能全對(duì)，寫對(duì)兩個(gè)給1分，寫對(duì)三個(gè)給2分】因?yàn)?，，，所以．【說(shuō)明】這兩條線段長(zhǎng)求對(duì)1條給1分，如果考生沒(méi)直接寫出，但是在計(jì)算面積時(shí)用對(duì)了也不扣分。所以四棱錐P-ABCD側(cè)面積【說(shuō)明：結(jié)論正確，給1分】【第（2）問(wèn)另一寫法】（2）因?yàn)榈酌鍭BCD，所以，又底面ABCD是矩形，，且，所以平面PAB．所以．同理，平面PAD．所以．所以側(cè)面均為直角三角形【說(shuō)明】只要考生能寫清楚這四個(gè)側(cè)面三角形是直角三角形，有過(guò)程（不一定完整）即可給這3分；如果不能全對(duì)，寫對(duì)兩個(gè)給1分，寫對(duì)三個(gè)給2分。因?yàn)椋?，，所以，，，，【說(shuō)明】如果考生分別求4個(gè)側(cè)面的面積，對(duì)兩個(gè)或三個(gè)給1分，對(duì)四個(gè)給2分。所以四棱錐P-ABCD側(cè)面積．【說(shuō)明】結(jié)論正確，給1分。20．（本小題滿分10分）解：（1）依題意，【說(shuō)明】求導(dǎo)全對(duì)給2分，在求導(dǎo)不全對(duì)的情況下，以下情況可以給1分：①寫對(duì)冪函數(shù)法則公式或按冪函數(shù)法則計(jì)算正確；②寫對(duì)以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則公式或按以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算正確．由題設(shè)知【說(shuō)明】沒(méi)有出現(xiàn)這個(gè)式子，出現(xiàn)這個(gè)式子也給1分．解得．（Ⅱ）的定義域?yàn)?，由（Ⅰ）知．證明：①若，則當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．故在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減．【說(shuō)明】單調(diào)區(qū)間和對(duì)應(yīng)的單調(diào)性全對(duì)就得1分，沒(méi)有寫不扣分．此時(shí)有唯一極大值．令，解得與矛盾，故舍去．【說(shuō)明】這一分給在能利用函數(shù)的極大值說(shuō)明矛盾．不一定要出現(xiàn)“”．②若，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【說(shuō)明】①單調(diào)區(qū)間和對(duì)應(yīng)的單調(diào)性全對(duì)就得1分，沒(méi)有寫不扣分．②此處不能出現(xiàn)并集符號(hào)，如、“或”，均不能給這1分．此時(shí)有唯一極大值．令，解得與矛盾，故舍去．【說(shuō)明】這一分給在能利用函數(shù)的極大值說(shuō)明矛盾．不一定要出現(xiàn)“”．③若，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增無(wú)極大值【說(shuō)明】單調(diào)區(qū)間和對(duì)應(yīng)的單調(diào)性全對(duì)即給1分，沒(méi)有寫不扣分．④若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時(shí)有唯一極大值．【說(shuō)明】這一分給在能得到函數(shù)的極大值“”令，化簡(jiǎn)得（*）【說(shuō)明】這一分給在建立方程“”．解法一：令，若，則．記函數(shù)，，則在其定義域上恒成立，所以在其定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)使得方程（）成立．所以，所以．【說(shuō)明】這一分給判斷的單調(diào)性及判定兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)正確．解法二：令，若，則．記函數(shù)，，則在其定義域上恒成立，所以在其定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)使得方程（）成立所以，所以．【說(shuō)明】這一分給判斷的單調(diào)性及判定兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)正確．21．（本小題滿分12分）解：（1）依題意得【說(shuō)明】只要在解答過(guò)程中體現(xiàn)了焦點(diǎn)坐標(biāo)均給這1分。設(shè)，由拋物線性質(zhì)，可得【說(shuō)明】得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo)就給這1分。因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心縱坐標(biāo)為1．由已知圓半徑也為1，據(jù)此可知該圓與x軸相切于點(diǎn)故圓心縱坐標(biāo)為1．則【說(shuō)明】只要寫對(duì)點(diǎn)M的坐標(biāo)就給這1分。代入拋物線方程得，所以．所以拋物線C的方程為．【說(shuō)明】出現(xiàn)拋物線方程就給這1分。（2）在曲線：上任取一點(diǎn)，設(shè)切