第二章課件隨機(jī)變量分布數(shù)字特征

第二章隨機(jī)變量及其數(shù)字特點(diǎn)一、教課要求理解隨機(jī)變量的觀點(diǎn)，掌握失散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的描繪方法，理解概率散布列和概率密度函數(shù)的觀點(diǎn)和性質(zhì)；理解散布函數(shù)的觀點(diǎn)和性質(zhì)，會(huì)利用概率散布計(jì)算有關(guān)事件的概率；會(huì)利用散布函數(shù)計(jì)算失散和連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特點(diǎn)；嫻熟掌握退化散布、兩點(diǎn)散布、二項(xiàng)散布、幾何散布、超幾何散布、泊松散布和正態(tài)散布、指數(shù)散布、均勻散布等常用概率散布及其數(shù)字特點(diǎn)的計(jì)算和有關(guān)概率的求解；應(yīng)用公式會(huì)求簡單隨機(jī)變量函數(shù)的概率散布及數(shù)字特點(diǎn)。二、要點(diǎn)與難點(diǎn)本章的要點(diǎn)是隨機(jī)變量概率散布及其性質(zhì)，常有的幾種散布，隨機(jī)變量函數(shù)的散布、數(shù)學(xué)希望和方差的計(jì)算；難點(diǎn)是隨機(jī)變量函數(shù)的散布及數(shù)學(xué)希望的計(jì)算。2.1隨機(jī)變量及其散布一、隨機(jī)變量1．引入隨機(jī)變量的必需性1）在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系。如：產(chǎn)品查驗(yàn)問題中，抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中某時(shí)刻正在工作的車床數(shù)；在電訊中，某段時(shí)間的話務(wù)量等等。2）有些初看起來與數(shù)值沒關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也經(jīng)常能聯(lián)系數(shù)值來描繪。如：擲硬幣問題中，記出現(xiàn)正面時(shí)為“1”，出現(xiàn)反面時(shí)為“0”。注：這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)字X來表示，這個(gè)數(shù)X是跟著試驗(yàn)的結(jié)果的不一樣而變化的，也即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，這類量此后稱為隨機(jī)變量。2．引例先看一個(gè)詳細(xì)的例子:例1袋中有3只黑球，2只白球，從中隨意拿出3只球，察看拿出的3只球中的黑球的個(gè)數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗(yàn)的樣本空間為1，2，31，2，41，2，51，3，41，3，51，4，52，3，42，3，52，4，53，4，5我們記拿出的黑球數(shù)為

X，則

X

的可能取值為

1，2，3．所以，

X是一個(gè)變量．可是，

X

取什么值依靠于試驗(yàn)結(jié)果，即

X的取值帶有隨機(jī)性，所以，我們稱

X為隨機(jī)變量．的取值狀況可由下表給出：樣本點(diǎn)黑球數(shù)X樣本點(diǎn)黑球數(shù)X1，2，331，4，511，2，422，3，421，2，522，3，521，3，422，4，511，3，523，4，51由上表能夠看出，該隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對應(yīng)著變量X的一個(gè)確立的取值，所以變量X是樣本空間上的函數(shù)：XX我們定義了隨機(jī)變量后，就能夠用隨機(jī)變量的取值狀況來刻劃隨機(jī)事件．比如：X2X2表示拿出2個(gè)黑球這一事件；2表示起碼拿出2個(gè)黑球這一事件，等等．3．定義1）描繪性定義：定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)稱為隨機(jī)變量,常用大寫X,Y,Z等表示；隨機(jī)變量的取值用小寫字母x,y,z等表示。2）嚴(yán)格定義：設(shè)(,,P)為一概率空間，XX( ),是定義在上的實(shí)值函數(shù)，若對任一實(shí)數(shù)x，{:X( )x}，則稱X為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的例子例2上午8:00～9:00在某路口察看，令：Y：該時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過的汽車數(shù)．則Y就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為0，1，．Y100表示經(jīng)過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件；50Y100表示經(jīng)過的汽車數(shù)大于50輛但不超出100輛這一隨機(jī)事件例3察看某生物的壽命（單位：小時(shí)），令：：該生物的壽命．則Z就是一個(gè)隨機(jī)變量．它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)．Z1500表示該生物的壽命不超出1500小時(shí)這一隨機(jī)事件．二、散布函數(shù)及其性質(zhì)1.散布函數(shù)的觀點(diǎn)定義設(shè)(,,P)為一概率空間，X為定義在其上的隨機(jī)變量,對隨意實(shí)數(shù)x,稱F(x)P(Xx)為隨機(jī)變量X的散布函數(shù),且稱X聽從F(x),記為X~F(x).有時(shí)也可用FX(x)表示是X的分布函數(shù).2.例子2r).例4向半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)拋一點(diǎn),求此點(diǎn)到圓心之距離X的散布函數(shù)F(x),并求P(X>3解事件“Xx”表示所拋之點(diǎn)落在半徑為x(0xr)的圓內(nèi)，故由幾何概率知F(x)P(Xx)x2(x)2.進(jìn)而P(X>2r)=1-P(X2r)=1-(2)25.r2r33393.散布函數(shù)的性質(zhì)定理：任一散布函數(shù)F(x)都有以下三條基天性質(zhì):（1）單一性:F(x)是定義在整個(gè)實(shí)數(shù)軸(,)上的單一非減函數(shù)，即對隨意的x1x2，有F(x1)F(x2)；（2）規(guī)范性:F()=limF(x)0；xF()=limF(x)1。x（3）右連續(xù)性:F(x)是x的右連續(xù)函數(shù)，即對隨意的x0，有l(wèi)imF(x)F(x0)，xx0即F(x00)F(x0)。證明略。注（1）上述三條能夠作為判斷一個(gè)函數(shù)能否為散布函數(shù)的充要條件。（2）有了散布函數(shù)的定義，能夠計(jì)算：P(a

X

b)F(b)

F(a)

，

P(X

a)F(a)

F(a

)

，P(X

b)1F(b

)

等。三、失散隨機(jī)變量及其散布列1．失散型隨機(jī)變量的觀點(diǎn)若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無窮多個(gè)，則稱這個(gè)隨機(jī)變量為失散型隨機(jī)變量。議論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道失散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一定且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率。2．散布列設(shè)X是一個(gè)失散隨機(jī)變量，假如X的所有可能取值是x1,x2,xn，則稱X取xi的概率pip(xi)P(Xxi),i1,2,n,為X的概率散布列或簡稱為散布列，記為X~pi。散布列也可用以下形式表示：x1x2xnp(x1)p(x2)或p(xn)Xx1x2Pp1p23.散布列的基天性質(zhì)(1)非負(fù)性：p(xi)0,i1,2,;(2)正則性：p(xi)1.i1注1）失散隨機(jī)變量的散布函數(shù)為：F(x)p(xi)。xix2）設(shè)失散型隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為Fx，xk為此中斷點(diǎn)，k=1,2,,則X的散布律為pkPXxkFxkFxk0,k1,2,4.例子例5設(shè)失散隨機(jī)變量X的散布列為1230.250.5，0.25試求P(X0.5),P(1.5X2.5)，并寫出X的散布函數(shù)。解略。例6從1～10這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)拿出5個(gè)數(shù)字，令：X：拿出的5個(gè)數(shù)字中的最大值．試求X的散布列．解：X的取值為5，6，7，8，9，10．而且PXkCk41k5，6，，10C105詳細(xì)寫出，即可得X的散布列：X5678910P15153570126252252252252252252例7設(shè)隨機(jī)變量X的散布列為nPXn1n，，,試求常數(shù)．4解：由散布列的性質(zhì)，得1n141PXncc，所以c3．n1n14114四、連續(xù)隨機(jī)變量及其密度函數(shù)1.連續(xù)型隨機(jī)變量的觀點(diǎn)定義設(shè)隨機(jī)變量Ｘ的散布函數(shù)為F(x)，假如存在實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)p(x)，使得對隨意ｘ，有F(x)xp(t)dt，則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量，稱p(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)。2.密度函數(shù)的基天性質(zhì)（１）非負(fù)性：p(x)0；（２）正則性：反過來，若已知一個(gè)函數(shù)的概率密度函數(shù)．

p(x)dx1；p(x)知足上述性質(zhì)(1)和(2),則p(x)必定是某連續(xù)型隨機(jī)變量此外，對連續(xù)型隨機(jī)變量X的散布，還擁有以下性質(zhì)：,,(),()( )( )b（1）。abRabPaXbFbFapxdxa更一般的，對一般的區(qū)間B，有P(XB)p(x)dx.B（2）連續(xù)型隨機(jī)變量X的散布函數(shù)F(x)是連續(xù)的,但反之不真；（3）連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一確立值的概率為0；即對于隨意實(shí)數(shù)c，P(Xc)0；h0,0P(Xc)P(chXc)cp(x)dx.事實(shí)上，chc()0,即得P(X=c)=0。令pxdxch注：因?yàn)檫B續(xù)型隨機(jī)變量取任一確立值是可能的，所以,概率為零的事件未必是不行能事件；概率為1的事件也不必定是必定事件。(4)若P(x)在x0處連續(xù)，則有F(x)xx0p(x0)3．例子例8設(shè)X~p(x)解(1)由性質(zhì)~p(x)X的散布函數(shù)為

Kx20x25Kx2x3，求:(1)常數(shù)；(2)X的散布函數(shù)；(3)P(1X2其余2362p(x)dx1,得KxdxKxdx1。解之得K.0231316x20x2316x2x3。其余0x00x2dtF(x)0316t0x2321x322xF(x)3246631x31dt2x3031t231tdt11x3

x00x22x3x35)F(5)F(1)3(5)24213835（3）P(1X2p(x)dx。22312313112412.2隨機(jī)變量的數(shù)字特點(diǎn)概率散布能完好、全面地刻畫隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可是：在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中概率散布經(jīng)常難以精準(zhǔn)地求出；在實(shí)質(zhì)問題中,有時(shí)關(guān)懷的問題僅是隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)，而不是隨機(jī)變量全面的變化規(guī)律,如丈量偏差的均勻偏差,評定射擊手的穩(wěn)固性的失散度等；對好多重要散布，只需知道它的某些數(shù)字特點(diǎn)，就能夠完好確立其概率散布。數(shù)字特點(diǎn)往常是指與隨機(jī)變量有關(guān)的，固然不可以完好地刻劃隨機(jī)變量，但卻能較為集中地反應(yīng)隨機(jī)變量某些方面的重要特點(diǎn)的一些數(shù)值。一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望1．引例某人參加一個(gè)擲骰子游戲，規(guī)則以下：擲得點(diǎn)數(shù)1點(diǎn)2，3點(diǎn)4，5，6點(diǎn)獲?。ㄔ?24求：一次游戲均勻得多少錢？解：假定做了n次游戲，n1—得1元次數(shù)，n2—得2元次數(shù)，n3—得4元次數(shù)，則n1n2n3n,獲?。?n12n24n3。每次均勻得：1n12n24n31n1n24n3.當(dāng)n很大時(shí)，nn2nn1p12p24p311224317.66662.失散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望1）定義設(shè)失散隨機(jī)變量X的散布列為pip(xi)P(Xxi),i1,2,n,假如|xi|p(xi)，i1則稱E(X)xip(xi)i1為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望，或稱為該散布的數(shù)學(xué)希望，簡稱希望或均值。若級數(shù)|xi|p(xi)i1不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)希望不存在。注：失散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望由散布律獨(dú)一決定，其與X取值次序沒關(guān)。2）例子例9設(shè)聽從幾何散布，P(ξ=k)=(1-p)k-1p,(k=1,2,),求E.解：Ek(1p)k1ppk(1p)k1.k1k1''因?yàn)閗xk1xk1x(11,故k1k1xx)2k(1p)k11E1p2,pk1例10設(shè)X取xk(1)k2k(k=1,2,)對應(yīng)的概率為pxk1k，證明E(X)不存在。k2證明px10且px11。但級數(shù)k2kk12kk1kxkpxk2k11發(fā)散kkkk1k12k1所以E(X)不存在，但級數(shù)xkp(1)k2k1(1)kln2(交織級數(shù)知足Leibniz條件)(收斂)k1xkk1k2kk1k要注意數(shù)學(xué)希望的條件：“絕對收斂”。2．連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望1）定義設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x),假如|x|p(x)dx，則稱E(X)xp(x)dx為X的數(shù)學(xué)希望，或稱為該散布的數(shù)學(xué)希望，簡稱希望或均值。若|x|p(x)dx不收斂，則稱X的數(shù)學(xué)希望不存在。2）例子例11設(shè)隨機(jī)變量1(-∞<x<+∞)試議論E(X)。此散布稱為X聽從p(x)x2)(1Cauchy散布。xf(x)dxxx2dx1ln(1x2)|0,解2dx20(1x)(1x)即xf(x)dx不停對收斂，所以數(shù)學(xué)希望E(X)不存在。設(shè)X聽從區(qū)間(a,b)上的均勻散布，求E(X)。例12設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：x,0x1(x)2x,1x20,其余求數(shù)學(xué)希望EX。解：012EXx(x)dxx0dxxxdxx(2x)dxx0dx01277336例13設(shè)X為僅取非負(fù)整數(shù)的失散型隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)希望存在，證明：E(X)P(Xk).k1證明：因?yàn)镋(X)kP(Xk).而k1P(Xk)P(Xj)k1k1jkP(X1)P(X2)P(X3)P(X2)P(X3)P(X3)kP(Xk)E(X).k1例14設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為F(x),且數(shù)學(xué)希望存在，證明E(X)[1F(x)]dx0F(x)dx.0證明：E(X)xdF(x)0xdF(x)xdF(x)0xdF(x)xd(1F(x))00xF(x)|0F(x)dxx(1F(x))|0(1F(x))dx.0由均值存在得|x|dF(x),于是有0AF(A)A0(當(dāng)A)|x|dF(x)0B(1F(B))|x|dF(x)0(當(dāng)B).B以此代入EX的計(jì)算式即得()[1()]0( ).EX0FxdxFxdx二、隨機(jī)變量函數(shù)的散布及數(shù)學(xué)希望1.隨機(jī)變量函數(shù)的散布1）失散型隨機(jī)變量函數(shù)的散布列設(shè)X一個(gè)隨機(jī)變量，散布列為X~P(Xxk)pk,k＝1,2,則當(dāng)Y＝g(X)的所有取值為yj(j＝1,2,)時(shí)，隨機(jī)變量Y有以下散布列：P(Yyj)qj,j＝1,2,此中qj是所有知足g(xi)yj的xi對應(yīng)的X的概率P(Xxi)pi的和，即P(Yyj)P(Xxi)g(xi)yj例15設(shè)失散型隨機(jī)變量X有以下散布列，試求隨機(jī)變量Y(X3)21的散布列。X1357P50.25解Y的所有可能取值為1，5，17P(Y1)P((X3)211)P(X3)0.1，P(Y5)P((X3)215)P(X1)P(X5)5，P(Y17)P((X3)2117)P(X7)0.25。故Y的散布列為Y1517P0.10.650.252）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的散布一般方法設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為pXxY=g(X)為隨機(jī)變量X的( )，(-<x<+),函數(shù)，則Y的散布函數(shù)為FY(y)P(Yy)P(g(X)y)p(x)dx。g(x)y進(jìn)而Y的概率密度函數(shù)( )為PYypY(y)dFY(y).dy例162x,0x1,設(shè)隨機(jī)變量X~pX(x)其余求Y=3X+5的概率密度。0,解先求Y=3X+5的散布函數(shù)FY(y)。y5)y5FY(y)P(Yy)P(3X5y)P(X3pX(x)dx30,y5,1(y5)2,5y8,91,y8.的概率密度函數(shù)為d2(y5),5y8,9pY(y)dyFY(y)其余.0,例17設(shè)XU(-1,1),求YX2的散布函數(shù)與概率密度。11x1yg(x)x2解pXx2其余FyP(Yy)P(X2y)pXxdxYx2y當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)0；當(dāng)y≥1時(shí)FY(y)1；y當(dāng)0≤y<1時(shí)FY(y)1dxy，y21y10pY(y)FY'(y)2y。其余(2）公式法一般地,若X~pX(x),yg(x)是嚴(yán)格單一可導(dǎo)函數(shù)，則Yg(X)~pY(y)pX[h(y)]|h(y)|此中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù)。注：1、只有當(dāng)g(x)是x的單一可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；2、注意定義域的選擇。例18設(shè)X～U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0)解Y=ax+b對于x嚴(yán)格單一，反函數(shù)為h(yby)，a故pY(y)pX[h(y)]|h(y)|pX(yb)1，而aa10x110ybpX(x)pY(y)a10，所以a。其余0其余增補(bǔ)定理：若g(x)在不相疊的區(qū)間I1,I2,上逐段嚴(yán)格單一，其反函數(shù)分別為h1(y),h2(y),均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為pY(y)pX(h1(y))h1'(y)pX(h2(y))h2'(y)例19若X~N(0,1)，計(jì)算YX2的密度函數(shù)。解：yg(x)x2分段單一，在(,0)中反函數(shù)xh1(y)y,而在[0,)中反函數(shù)為xh2(y)y.故Y的密度函數(shù)為1111ypY(y)(y)|y2e2,y0.|(y)||22y2ypY(y)0,y0.即Y~2(1)。2.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)希望設(shè)已知隨機(jī)變量X的散布，我們需要計(jì)算的不是X的希望，而是X的某個(gè)函數(shù)g(X)的希望.那么應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算呢？定理設(shè)Yg(X)(g為連續(xù)函數(shù))⑴設(shè)X為失散型隨機(jī)變量，其散布律為P{Xxk}pk,(k1,2,3,)若級數(shù)g(xk)pk絕對收斂,則g(X)的數(shù)學(xué)希望為E(Y)E(g(X))g(xk)pk。k1k1⑵設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為p(x),若g(x)p(x)dx絕對收斂，則g(X)的數(shù)學(xué)希望為E(Y)E(g(X))g(x)p(x)dx注：該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不用知道g(X)的散布，而只需知道X的散布就能夠了。這給求隨機(jī)變量函數(shù)的希望帶來很大方便。例20設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p)，Ye2X，求E(Y).解X~B(n,p)，散布列為P(Xk)Cnkpkqnk,k0,1,2,nnnE(Y)E(e2X)e2kCnkpkqnkCnk(pe2)kqnk(pe2q)n.k0k0此中p+q=1例21設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為p(x)xex2x0，求E(1/X)。其余解：E(1)1p(x)dx1xex2dxex2dx.Xx0x02三、數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)性質(zhì)1.若C是常數(shù)，則E(C)=C.性質(zhì)2.對隨意的常數(shù)a，E(aX)=aE(X)．性質(zhì)3.對隨意的兩個(gè)函數(shù)g1(x)，g2(x)，有E(g1(X)g2(X))E(g1(X))E(g2(X))。四、隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義1）引例甲乙兩部機(jī)床生產(chǎn)同一種機(jī)軸，軸的直徑為10mm，公差為0.2mm，即直徑在9.8mm到10.2mm的為合格品，高出范圍的均為廢品。現(xiàn)從甲乙兩機(jī)床的產(chǎn)品中各隨機(jī)地抽取6件進(jìn)行測試，機(jī)軸的直徑的測試尺寸以下：(mm)甲9.89.910.010.010.110.2乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量明顯差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無差異，質(zhì)量的差異的原由在于兩組產(chǎn)品對于均值的失散程度不一樣。甲組失散程度小，質(zhì)量較穩(wěn)固，乙組的失散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)固。為權(quán)衡一個(gè)隨機(jī)變量X對于均值的失散程度，可用|X-EX|的均值來表示，稱為X的絕對離差，記作E|X-EX|，這在實(shí)質(zhì)統(tǒng)計(jì)中有必定的作用。但因?yàn)榻^對值得均值不易計(jì)算，常用隨機(jī)變量與均值差的平方的均值來描繪失散程度。2）定義若隨機(jī)變量E{[XE(X)]2}的數(shù)學(xué)希望存在，則稱E{[XEX]2}為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X)。D(X)Var(X)E(XEX)2(xiE(X))2p(xi),在失散場合；i1(xE(X))2p(x)dx,在連續(xù)場合。稱方差的正平方根D(X)為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為(X)或X。注：在實(shí)質(zhì)計(jì)算中，往常使用以下公式D(X)EX2EX22XE(X)E(X)2E(X)E(X2)2E(X)E(X)E(X)2E(X2)2E(X).3）例子例22已知隨機(jī)變量X的散布列以下，求D(X)。-2-1012X2/163/162/16.1/168/16解數(shù)學(xué)希望E(X)=7/8，E(X2)(2)21(1)220231222285，16161616162D(X)E(X2)(EX)25(7)216049111。286464例23設(shè)隨機(jī)變量X~p(x)1x1x0，求D(X)。1x0x1解E(X)0x)dx1x)dx0，x(1x(110011，E(X2)1x2(1x)dx0x2(1x)dx6D(X)E(X2)(EX)21。62.方差的基天性質(zhì)性質(zhì)1D(c)0,此中c為常數(shù);性質(zhì)2D(aXb)a2D(X),a,b是常數(shù)。性質(zhì)3（方差最小性）X為隨機(jī)變量，方差存在，則對隨意不等于EX的常數(shù)C,都有D(X)E(XEX)2E(XC)2.證明由數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)，有E(XC)2E[(XEX)(EXC)]2E[(XEX)22(EXC)(XEX)(EXC)2]E(XEX)2E(EXC)22(EXC)E(XEX)DXE(EXC)2DX(EXC)2,因?yàn)镃EX，所以(EXC)20,故DXE(XC)2.五、隨機(jī)變量的矩和切比雪夫不等式1．原點(diǎn)矩與中心矩1）若E(Xk)存在，則稱AkE(Xk)為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩，簡稱k階矩(k=1,2,)，而E|X|k稱為X的k階絕對原點(diǎn)矩；2）若E{[X-E(X)]k}存在，則稱Bk=E{[X-E(X)]k為}隨機(jī)變量X的k階中心矩(k=1,2,)，而E{|X-E(X)|k}稱為X的k階絕對中心矩。注：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)希望；X的二階中心矩就是X的方差。例24設(shè)隨機(jī)變量X~N0，2，試求EXn．XEXX，則Y~N0，1．所以，解：令YDXny2EXnnEYnnynpydyyne2dy。Y2(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)楸环e函數(shù)是奇函數(shù)，所以EXn0．(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)，所以2ny2EXnyne2dy20y22111則y2t,dyt2dt22t2dt令：t,222nnn1EXn221etdt2t20nnn1nnnn1222t222(n1)2n1,此中(t)xt1exdxetdt0220利用函數(shù)的性質(zhì)：r1rr，得nnEXn22nn222.矩不等式

n1n1nnn1n3n32222222n1n3112nnn1!!2nn1!!n222222定理1（馬爾可夫不等式）設(shè)X的k階矩存在，即E|X|k,則對隨意的0，有kP(|X|)E|X|.k證明：僅對連續(xù)型隨機(jī)變量的情況證之。設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為p(x),則|X|k1k1P(|X|)p(x)dxp(x)dxk}kk|x|p(x)dxkE|X|.{|X|}{|X|定理2（切比雪夫不等式）設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)希望和方差都存在，則對隨意的常數(shù)0，有P(|XE(X)|Var(X))2，或P(|XE(X)|)1Var(X)2。證明令YXEX，利用馬爾可夫不等式即得。推論若隨機(jī)變量X的方差存在，則Var(X)0的充要條件是X幾乎到處為某個(gè)常數(shù)，即P(Xa)1。證明充分性：P(Xa)1，也就是X~a，進(jìn)而1EXa1a,EX2a21a2,故DXEX2(EX)20.必需性：P(XEX)P(|XEX|0)P({|X1})P(|X1EX|EX|),n1nn1n由切比雪夫不等式，有P(|XEX|1)DX20,n1n故P(XEX)0,進(jìn)而P(XEX)1.2.3常用概率散布本節(jié)主要內(nèi)容包含二項(xiàng)散布、泊松散布、超幾何散布、幾何散布與負(fù)二項(xiàng)散布正態(tài)分布、均勻散布、指數(shù)散布、散布、2-散布和對數(shù)正態(tài)散布。主要介紹二項(xiàng)散布、泊松散布、正態(tài)散布、均勻散布和指數(shù)散布。一、失散型隨機(jī)變量退化散布a若隨機(jī)變量X以概率1取某個(gè)常數(shù)a，即X~，則稱X聽從a處的退化散布。12．0－1散布．若隨機(jī)變量X的散布列為：P(X=k)=pk(1p)1k，k=0，1，(0<p<1)則稱

X聽從以p為參數(shù)的0-1散布(或兩點(diǎn)散布)，記為若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品能否合格，

X~B(1,p)。試驗(yàn)?zāi)芊癯晒?，擲硬幣能否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為

{1,

2},我們總能定義一個(gè)聽從

0-1散布的隨機(jī)變量X

1當(dāng)1發(fā)生時(shí)，當(dāng)2發(fā)生時(shí)。即它們都可用0-1散布來描繪，只可是對不一樣的問題參數(shù)p的值不一樣而已。易知EXp,DXp(1p)。3．超幾何散布若隨機(jī)變量X的概率散布為P{Xk}CMkCNnkM(k=0,1,,min(n,M)).則稱X聽從參數(shù)為M,N,n的超幾何散布。CNn記作X～H(n,M,N).由(1)M(1)NM(1)N知xxxnP(Xk)nCMkCNnkMCNn1.CNnCNnk0k0設(shè)有N個(gè)產(chǎn)品，此中M個(gè)不合格品。若從中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)，則此中含有的不合格品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，由古典概率計(jì)算公式有X聽從參數(shù)為M、N和n的超幾何散布。EXnM,DXnM(NM)(Nn).NN2(N1)4．二項(xiàng)散布i）定義若隨機(jī)變量X的散布列為P(Xk)Cnkpkqnk,k0,1,...,n,此中p+q=1，則稱X聽從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)散布，記為X~B(n,p)。能夠證明：P(Xk)Cnkpkqnk0,k0,1,2,,n,nnCnkpkqnk(pq)nP(Xk)1.k0k0Cnkpkqnk正好是二項(xiàng)式(pq)n睜開式的一般項(xiàng)，故稱二項(xiàng)散布。特別地，當(dāng)n=1時(shí)P(Xk)pkq1k(k=0,1)即為0-1散布。ii）二項(xiàng)散布的概率背景進(jìn)行n重Bernoulli試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中PAp，PA1pq,令X：在這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)．則X~Bn，p.iii）二項(xiàng)散布的散布形態(tài)若則PXkn1pkkkqPX1由此可知，二項(xiàng)散布的散布PXk先是跟著k的增大而增大，達(dá)到其最大值后再跟著k的增大而減少．這個(gè)使得PXk達(dá)到最大值的k0稱為該二項(xiàng)散布的最可能次數(shù)?？梢宰C明：假如n1p不是整數(shù)，則k0n1p；假如n1p是整數(shù)，則k0n1p或n1p1.二項(xiàng)散布是超幾何散布的極限散布設(shè)隨機(jī)變量X聽從超幾何散布H(n,M,N),則當(dāng)N時(shí)，X近似的聽從二項(xiàng)散布B(n,p),即下邊的近似等式建立:CMkCNnkMkknk.（*）CNnCnpq此中pM,q1pNM.NNM(Mk1)(NM)[NM(nk)1]CMkCNnkMk!(nk)!證明：CNnN(N1)(Nn1)n!CnkM(Mk1)(NM)[NM(nk)1]N(N1)(Nn1)(Mk1)CnkNNN(1

NM(NMnk1)NNN1)(1n1)NNp(pk1)q(qnk1)kNN,Cn1)n1)(1(1NN此中pM,q1pNM.當(dāng)N時(shí)，得NNCMkCNnkMkknk.limnCnpqNCN所以，當(dāng)N充分大時(shí)，近似等式（*）建立。v)例子例25對同一目標(biāo)進(jìn)行300次獨(dú)立射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？解：對目標(biāo)進(jìn)行300次射擊相當(dāng)于做

300重Bernoulli

試驗(yàn)．令：X

表示

300次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)。則由題意X~B300，0.44．因?yàn)?0010.44132.44，它不是整數(shù)所以，最可能射擊的命中次數(shù)為k0[132.44]132.其相應(yīng)的概率為PX132C3001320.441320.561680.04636.例26某廠長有7個(gè)顧問，假定每個(gè)顧問貢獻(xiàn)正確建議的概率為0.6，且設(shè)顧問與顧問之間能否貢獻(xiàn)正確建議互相獨(dú)立?，F(xiàn)對某事可行與否個(gè)別征采各顧問的建議，并按多半顧問的意見作出決議，試求作出正確決議的概率。解設(shè)X=k表示事件“7個(gè)顧問中貢獻(xiàn)正確建議的人數(shù)”，則X可能取值為0，1，2，，7。（視作7重貝努里實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生，k個(gè)顧問貢獻(xiàn)出正確建議）,X~B(7,0.6)。所以X的散布列為P(Xk)C7k0.6k0.47k,k0,1,2,...,7，所求概率為7P(X4)P(X4)P(X5)P(x6)P(X7)C7k(0.6)k(0.4)7k0.7102.k4VI)二項(xiàng)散布的數(shù)學(xué)希望與方差nnkCnkpkqnknn!pkqnkE(X)kp(Xk)kk0k0k0k!(nk)!nn!pkqnknn!pk1qnkk(knpk(k1)![(n(kk11)!(nk)!k11)1)]!ntk1n1npCnk11pk1q(n1)(k1)npCnk11ptqn1tnp(pq)n1npk1t0D(X)E(X2)(EX)2EX(X1)X(EX)2EX(X1)E(X)(EX)2n(n1)p2np(np)2npnp2npq此中n1)Cnkpkqnknn!pkqnkEX(X1)k(kk(k1)k)!k0k0k!(nn(n2)!n(n1)p22(k2)!pk2q(n2)(k2)k(n2)(k2)!n2(n2)!n(n1)p2t!tptqn2tt0(n2)!n2n(n1)p2Cnt2ptqn2tt0n(n1)p2(pq)n2n(n1)p25．泊松散布1）定義假如隨機(jī)變量X的散布列為kP(Xk)k!e,k0,1,...，此中參數(shù)0，則稱這個(gè)散布為泊松散布，記為X~P()。易知：kP(Xk)e0,k0,1,2,;k!kkP(Xk)eeee1.k0k0k!k0k!2）泊松散布舉例單位時(shí)間內(nèi)的電話呼喊次數(shù)；候車室候車的人數(shù)；1平方米上的砂眼數(shù)等。3）二項(xiàng)散布的極限散布泊松(Poisson)定理設(shè)>0，n是正整數(shù)，若limnpn0,，則有nCnkpnk(1pn)nkklimk!e,k0,1,2,.n即當(dāng)隨機(jī)變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,)，n很大，p很小且np適中(0.1np10時(shí)較好)時(shí)，記=np，則k)Cnkpk(1p)nkkP(Xe,k0,1,2,...,nk!對稱的，若n很大而q=1-p很小且nq適中時(shí)，有P(Xk)CkpkqnkCnkqnkpn(nk)(nq)nkenq,k0,1,2,...,nnn(nk)!例27設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求起碼命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson散布近似計(jì)算）．解：設(shè)B={600次射擊起碼命中3次目標(biāo)}進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn).X：600次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)則X~B600，0.012．用Poisson散布近似計(jì)算，取6000.0127.2.則PBPX31PX31PX0PX1PX21e7.27.2e7.27.22e7.20.9745.2例28一批二極管的次品率為0.01,問一盒中起碼裝多少只這樣的二極管才能使得起碼有100個(gè)正品的概率在95%以上?解：設(shè)每箱應(yīng)裝n100s件二極管，s是一個(gè)小整數(shù)，進(jìn)而np(100s)0.011,由題條件知X~B(100s,0.01),據(jù)題意應(yīng)有0.95P(Xs)s1e1,查表知k0k!31e10.9810,21e10.9197.k0k!k0k!故s取3切合題意，也就是說每箱應(yīng)起碼裝103只二極管才能以95％以上的概率正品有100個(gè)。4）泊松散布的數(shù)學(xué)希望與方差kkE(X)kP(Xk)kk!eek1(k1)!k0k0k1tek1(k1)!et!eet0D(X)E(X2)(EX)2E(X(X1))EX(EX)2E(X(X1))222此中k2k2E(X(X1))k(k1)eek2(k2)!k0k!2t22.et!eet06.幾何散布1）定義設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是1,2,3,,且P(Xk)qk1p,k1,2,此中0<p<1是參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X聽從參數(shù)p為的幾何散布。記作XG(p).2）幾何散布背景隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2種，A與A試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功。3）幾何散布的希望與方差由例9知E(X)1，pD(X)E(X(X1))E(X)(EX)2EX(X1)k(k1)qk1ppqk(k1)qk2k1k2pq(qk)q2pq2pqq)3k21q(1D(X)2pq112(1p)111p(1q)3pp2p2pp2p2例29進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的散布列。解m=1時(shí),P(Xk)(1p)k1p,k1,2,...m>1時(shí)，X的所有取值為：m,m+1,m+2,P(Xk)Ckm11pm1(1p)kmpkm,m1,m2,...二、連續(xù)型隨機(jī)變量1．均勻散布１）定義若隨機(jī)變量Ｘ的密度函數(shù)為p(x)1,axb;ba0,其余。則稱Ｘ聽從區(qū)間(a,b)上的均勻散布，記為X~U(a,b)。均勻散布U(a,b)的散布函數(shù)為0,xa;F(x)xa,axb;ba1,xb.2）均勻散布的數(shù)學(xué)希望與方差若X~U(a,b)，則E(X)ab,Var(X)(ba)2.2122．指數(shù)散布1）定義若隨機(jī)變量Ｘ的密度函數(shù)為：p(x)ex,x0;0,x0.則稱Ｘ聽從指數(shù)散布，記作X~Exp()。此中，參數(shù)0。指數(shù)散布的散布函數(shù)為：1ex,x0;F(x)0,x0.生活中，指數(shù)散布應(yīng)用很廣．像電子元件的使用壽命、電話的通話時(shí)間、排隊(duì)時(shí)所需的等候時(shí)間都可用指數(shù)散布描繪．所以，指數(shù)散布在生計(jì)剖析、靠譜性理論和排隊(duì)論中有寬泛的應(yīng)用．２）指數(shù)散布的數(shù)學(xué)希望與方差若X~Exp(1,Var(X)1)，則E(X)2。這里為無效率，無效率