2021版北師大版文科數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)測評 三十八 8.3等 比 數(shù) 列含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2021版高考北師大版文科數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)測評三十八8.3等比數(shù)列含解析溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl，滑動鼠標滾軸,調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。核心素養(yǎng)測評三十八等比數(shù)列（30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共25分）1.已知數(shù)列a,a（1—a)，a（1-a）2,…是等比數(shù)列，則實數(shù)a滿足的條件是 （)A.｛a｜a≠1} B。{a|a≠0或a≠1}C.｛a|a≠0｝ D。｛a|a≠0且a≠1｝【解析】選D。由等比數(shù)列定義可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1。【變式備選】數(shù)列｛an｝滿足:an+1=λan-1（n∈N*，λ∈R且λ≠0）,若數(shù)列｛an—1}是等比數(shù)列，則λ的值等于 （）A。1B.—1C.12【解析】選D。由an+1=λan—1,得an+1—1=λan-2=λ（an—2λ)。由于數(shù)列{an-1｝是等比數(shù)列，所以2λ=1，2。公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍。當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領(lǐng)先他100米;當阿基里斯跑完下一個100米時,烏龜仍然領(lǐng)先他10米;當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然領(lǐng)先他1米……所以阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為10—2米時,A.104-1C.105-990【解析】選B.由題意知，烏龜每次爬行的距離(單位:米)構(gòu)成等比數(shù)列an，且首項a1=100，公比q=110,易知a5=10—2,則烏龜爬行的總距離(單位:米)為S5=100-10-3.已知各項不為0的等差數(shù)列{an}滿足a6—a72+a8=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7，則b2·b8·bA.1 B。2 C.4 【解析】選D.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a6+a8=2a7。由a6-a72+a8=0可得a7=2，所以b7=a7=2.由等比數(shù)列的性質(zhì)得b2b8b11=b2b7b12=b7【變式備選】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四個根組成以12為首項的等比數(shù)列，則mnA。32B.32C.23 D?！窘馕觥窟xB.設(shè)a，b,c,d是方程（x2—mx+2）(x2-nx+2)=0的四個根，不妨設(shè)a〈c<d〈b,則a·b=c·d=2，a=12，故b=4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到：c=1，d=2,則m=a+b=92，n=c+d=3或m=c+d=3，n=a+b=92，則mn=324。已知等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn=a·2n-1+16,則a的值為A。—13 B.13 C。—12【解析】選A.當n≥2時,an=Sn—Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,當n=1時,a所以a+16=a2，所以a=-【變式備選】已知數(shù)列{an｝的前n項和Sn=Aqn+B（q≠0),則“A=—B"是“數(shù)列{an｝是等比數(shù)列"的 （)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C。充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B。若A=B=0,則Sn=0，故數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；若數(shù)列{an｝是等比數(shù)列,則a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq，a3=Aq3—Aq2,由a3a2=a5.已知三角形的三邊構(gòu)成等比數(shù)列，它們的公比為q，則q的一個可能值為 世紀金榜導學號（)A。12 B.35 C.58【解析】選C.設(shè)三角形的三邊分別為a，aq，aq2，其中q>0。則由三角形三邊不等關(guān)系知:當q>1時。a+aq>a·q2，即q2—q-1〈0,所以1-52<q<1+52當0<q〈1時。a為最大邊.aq+a·q2>a,則q2+q—1〉0，所以q〉5-12或所以5-當q=1時,滿足題意,綜上知，C滿足題意?！咀兪絺溥x】在遞增的等比數(shù)列{an}中，已知a1+an=34，a3·an—2=64，且前n項和Sn=42，則n等于 (）A.3 B.4 C。5 【解析】選A。因為｛an｝為等比數(shù)列,所以a3·an—2=a1·an=64.又a1+an=34,所以a1，an是方程x2—34x+64=0的兩根，解得a1=2又因為｛an｝是遞增數(shù)列，所以a由Sn=a1-a解得q=4。由an=a1qn-1=2×4n-1=32，解得n=3.二、填空題（每小題5分,共15分）6.已知等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，且a1+a3=52,a2+a4=54,則Sn【解析】設(shè)｛an}的公比為q，因為a1+由①②可得1+q2q+q3=2，所以q=12，將q=所以an=2×12n-1=42n,所以Sn=2×1-1答案：2n-1【變式備選】在等比數(shù)列{an}中，已知a1=—1,a4=64，則q=,S4=。

【解析】因為a4=a1·q3,所以q3=-64，q=—4,S4=-1×[答案:—4517。（2019·全國卷Ⅰ）記Sn為等比數(shù)列｛an}的前n項和。若a1=13，a42=a6，則S5【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知a1=13，a42=a6,所以13q32=13q5,又q≠0，所以q=3，所以S答案:121【變式備選】等比數(shù)列｛an｝的各項均為實數(shù),其前n項和為Sn.已知S3=74，S6=634,則a8=【解析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,則由S6≠2S3得q≠1，則S3=a1(1-q3)1-q=74，S6=a1(1-q6)1-q答案：328.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且a1a5=4，則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a5=a2a4=a32,于是由a1a5=4得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,則log2a1+log2a2+log2a3+log2答案:5三、解答題（每小題10分,共20分)9.(2018·全國卷Ⅲ）等比數(shù)列an中,a1=1,a5=4a3. （1)求an的通項公式（2）記Sn為an的前n項和.若Sm=63,求【解析】(1）設(shè)｛an｝的公比為q，由題設(shè)得an=qn—1。由已知得q4=4q2，解得q=0(舍去），q=-2或q=2.故an=(—2）n—1或an=2n-1。(2）若an=（-2）n-1，則Sn=1-(-由Sm=63得（-2）m=-188,此方程沒有正整數(shù)解。若an=2n—1，則Sn=2n—1。由Sm=63得2m=64，解得綜上,m=6。10。設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,a1=1，且數(shù)列｛Sn}是以2為公比的等比數(shù)列。 世紀金榜導學號(1)求數(shù)列｛an}的通項公式。(2）求a1+a3+…+a2【解析】（1)因為S1=a1=1,且數(shù)列｛Sn｝是以2為公比的等比數(shù)列，所以Sn=2n-1,又當n≥2時,an=Sn—Sn-1=2n-1—2n—2=2n-2。當n=1時，a1=1，不適合上式.所以an=1（2)a3，a5，…，a2n+1是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列,所以a3+a5+…+a2n+1=2(1-4n)1-4=2（15分鐘35分)1。（5分）中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之粟五斗.羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰：“我馬食半牛?！苯裼斨?，問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟。羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半."打算按此比率償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還粟a升，b升,c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B。a,b,c成公比為2的等比數(shù)列，且c=50C。a，b，c成公比為12的等比數(shù)列,且a=D。a,b,c成公比為12的等比數(shù)列,且c=【解析】選D.由題意可得，a,b,c成公比為12的等比數(shù)列,b=12a，c=12b，三者之和為50升,故4c+2c+c=50,【變式備選】已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=2,前100項和為S100=90，則其偶數(shù)項a2+a4+…+a100為 ()A。15B.30C。45D.60【解析】選D.S100=a1+a2+…+a100=90，設(shè)S=a1+a3+…+a99,則2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60。2.(5分）在等比數(shù)列{an｝中，a2,a16是方程x2—6x+2=0的根，則a2a16A.—2+22 C。2 D。-2或2【解析】選D。由題意可得a2a16=2,又由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a16=a92=2,所以a9=±2，所以a2a16【變式備選】在等比數(shù)列{an｝中,a3，a15是方程x2+6x+2=0的兩根，則a2aA?！?+22C.2 D?！?或2【解析】選B。設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，因為a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a92=2，a3+a15=-6,所以a3〈0,a15<0，則a9=-2，所以a2a16a93。（5分）（2019·全國卷Ⅰ）記Sn為等比數(shù)列｛an｝的前n項和.若a1=1，S3=34,則S4=【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34，即q2+q+1解得q=—12，所以S4=a1(1-答案:5【變式備選】設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和,若{Sn｝是等差數(shù)列,則q為.

【解析】若q=1,則Sn=na1,所以｛Sn｝是等差數(shù)列;若q≠1,則當{Sn}是等差數(shù)列時，一定有2S2=S1+S3，所以2·a1(1-q即q3-2q2+q=0，故q(q—1）2=0，所以q=0或q=1,而q≠0，q≠1，所以此時不成立.綜上可知，q=1.答案：14。(10分)已知數(shù)列{an｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a2a4=16. （1)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列｛bn}的通項公式。（2)求數(shù)列{an·bn｝的前n項和Sn.【解析】（1）因為a1=1,a2·a4=16,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a2·a4=a32=16且a所以a3=4,所以q2=a3a1=4，所以q=2或所以an=2n—1,因為bn=log2an=log22n—1=n-1，所以bn=n-1。（2）由（1）得an·bn=（n-1）·2n-1，Sn=0·20+1·21+2·22+…+(n-1）·2n—1①2Sn=0·21+1·22+…+（n—2）·2n-1+（n-1)·2n②①-②得—Sn=2+22+23+…+2n—1—(n—1)·2n=2-2n1=2n(2—n）-2所以Sn=（n—2)·2n+2.5。（10分)已知數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，且an=Sn+n2(n∈(1）若數(shù)列{an+t｝是等比數(shù)列,求t的值.（2)求數(shù)列｛an}的通項公式.【解析】（1)當n=1時，由a1=S1+12=a1當n≥2時，an=Sn—Sn-1=2an—n-2an—1+（n—1)，即an=2an-1+1,所以a2=3,a3=7.依題意得（3+t）2=（1+t）(7+t），解得t=1，當t=1時，an+1=2（an-1+1),n≥2，即｛an+1}為等比數(shù)列成立，故實數(shù)t的值為1.(2)由(1)知當n≥2時，an+1=2（an—1+1）,又因為a1+1=2,所以數(shù)列｛an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列,所以an+1=2×2n—1=2n，所以an=2n-1?！咀兪絺溥x】1.已知在正項數(shù)列{an}中，a1=2,點An（an,an+1）在雙曲線y2—x2=1上，數(shù)列{bn｝中,點（bn,Tn）在直線y=-12x+1上，其中Tn是數(shù)列{bn}（1）求數(shù)列｛an}的通項公式.（2)求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列?！窘馕觥浚?)由點An在y2—x2=1上知an+1—an=1，所以數(shù)列{an｝是一個以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,所以an=a1+(n—1)d=2+n—1=n+1。(2）因為點（bn，Tn)在直線y=-12x+1上所以Tn=-12bn所以Tn—1=-12bn-1+1（n≥①—②得bn=—12bn+12bn—1(n所以32bn=12bn—1，所以bn=13bn-1在①式中令n=1，得T1=b1=-12b1+1,所以b1=23,所以｛bn}是一個以23為首項,以2.已知首項為32的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn(n∈N＊),且-2S2，S3,4S4成等差數(shù)列（1）求數(shù)列{an｝的通項公式。（2）證明：Sn+1Sn≤136(n∈【解析】（1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,因為-2S2，S3,4S4成等差數(shù)列，所以2S3=4S4—2S2,即S3=2S4-S2，即S4-S3=S2—S4,可得2a4=-a3，于是q=a4a3又a1=32，所以等比數(shù)列｛an｝an=32×-12n-(2）由（1）知，Sn=1—-1Sn+1Sn=1--=2+當n為奇數(shù)時，Sn+1Sn隨n所以Sn+1Sn≤S1+1S當n為偶數(shù)時，Sn+1Sn隨n所以Sn+1Sn≤S2+1S故對于n∈N*,有Sn+1Sn≤1.“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一