北師大九上數(shù)學(xué)線段的垂直平分線導(dǎo)學(xué)案

線段的垂直平分線學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】線段垂直平分線的性質(zhì)定理；線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理；作已知線段的垂直平分線；三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理；2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理；3、三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理.知識(shí)概覽圖線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離等線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上畫法：尺規(guī)作圖三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理：三角形二條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等新課導(dǎo)引如右圖所示，在一條河的同一側(cè)有A，B兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，如果要在河岸邊建一個(gè)碼頭，使兩倉(cāng)庫(kù)到碼頭的距離相等，那么應(yīng)該怎樣確定碼頭C的位置呢?【問(wèn)題鏈接】連接AB，作出線段AB的垂直平分線，與河岸的交點(diǎn)（圖中的點(diǎn)C）為碼頭位置．【解析】線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)到線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B的距離相等．教材精華知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖1－53所示，MN丄AB于點(diǎn)O，P是直線MN上任意一點(diǎn)，若AO=BO，則PA=PB可敘述為：∵M(jìn)N丄AB，AO=BO，∴PA=PB.定理的證明：∵M(jìn)N丄AB，∴∠POA=∠POB=90°∵AO=BO，PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS）∴PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．定理的作用：證明兩條線段相等．拓展對(duì)于線段的垂直平分線，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）線段的垂直平分線簡(jiǎn)稱中垂線，它可以看成是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．（2）線段是軸對(duì)稱圖形，中垂線是它的一條對(duì)稱軸．知識(shí)點(diǎn)2線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖l－54所示，∵直線MN是線段AB的垂直平分線，PA＝PB，∴點(diǎn)P在直線MN上．定理的證明．過(guò)點(diǎn)P作直線丄AB于O，則∠POA=∠POB=90°.∵PA=PB，PA=PB，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）.∴AO=BO.∴平分AB.∴直線是線段AB的垂直平分線．又∵線段AB只有一條垂直平分線.∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線MN上．定理的作用：證明一點(diǎn)在某條線段的垂直平分線上．拓展要注意定理與逆定理的區(qū)別，且在應(yīng)用時(shí)不要缺少條件知識(shí)點(diǎn)3三角形三邊垂直平分線的的性質(zhì)定理三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖1－55所示，∵直線MN，EF，PQ分別垂直平分BC，AB，AC，∴直線MN，EF，PQ相交于點(diǎn)O，且OA＝OB＝OC．定理的證明．如圖1－56所示，在△ABC中，設(shè)AB，BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，BP，CP．∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴PA＝PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．同理PB=PC．∴PA=PB＝PC．∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）．定理的作用：證明點(diǎn)在線段的垂直平分線上或證明一條直線是一條線段的垂直平分線．知識(shí)點(diǎn)4作已知線段的垂直平分線已知線段AB，如圖1－57所示，求作線段AB的垂直平分線．作法如下：（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)．（2）作直線CD．則直線CD就是所求作的線段AB的垂直平分線．（如圖1－58所示）證明如下．如圖1－58所示，連接AC，BC．∵AC＝BC，∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線上．同理，點(diǎn)D也在線段AB的垂直平分線上，∴直線CD是線段AB的垂直平分線．作用：作已知線段的中點(diǎn)．規(guī)律方法小結(jié)轉(zhuǎn)化思想：在證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆定理時(shí)，都是轉(zhuǎn)化為三角形全等來(lái)解決的．探究交流三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三角形的外心，一個(gè)三角形的外心一定在三角形的內(nèi)部嗎？找?guī)讉€(gè)三角形試一試．解析不一定．銳角三角形的外心在其內(nèi)部，直角三角形的外心在其斜邊上，鈍角三角形的外心在其外部．課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、如圖l－59所示，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分線交AC于D.求證AD=DC.2、如圖1－60所示，AD是∠BAC的平分線，DE丄AB，DF丄AC，垂足分別喂E，F(xiàn)，連接EF，EF與AD交于點(diǎn)G，求證AD垂直平分EF.綜合應(yīng)用題3、如圖1－63所示，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，求△AEC的周長(zhǎng)．4、如圖l－64所示，已知AB＝AC，BD=DC，AD，BC相交于點(diǎn)O，求證AD丄BC探索與創(chuàng)新題5、在△ABC中，AB＝AC≠BC，在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P（不與A，B，C任何一點(diǎn)重合），使△APC，△BPC，△APB都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)一共可以找到幾個(gè)?簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．體驗(yàn)中考1、如圖l－70所示，A，B，C分別表示三個(gè)村莊，AB＝1000米，BC＝600米，AC=800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，則活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在（）A．AB中點(diǎn)B．BC中點(diǎn)中點(diǎn)D．∠C的平分線2、如圖1－71所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中點(diǎn)，CE⊥BD．（1）求證BE＝AD；（2）求證AC是線段ED的垂直平分線；（3）△DBC是等腰三角形嗎?并說(shuō)明理由．學(xué)后反思 附：課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案課堂檢測(cè)1、分析連接BD，由線段垂直平分線的性質(zhì)定理，可得AD=BD，因此欲證AD=DC，只需證BD=DC.由題意可證∠A=∠C=30°，∠CBD＝90°，∴BD=DC，結(jié)論得證.證明：連接BD．∵AB的垂直平分線交AC于D，∴DA＝DB（線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）．∵BA=BC，∴∠A=∠C（等邊對(duì)等角）∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠DBC=90°在Rt△DBX中，∵∠C=30°，∴BA=DC（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），∴AD=DC【解題策略】解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把垂直平分線上的點(diǎn)和線段兩個(gè)端點(diǎn)連接起來(lái)，從而得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)解題．2、分析解決本題的關(guān)鍵是正確理解垂直平分線的含義．證明：AD平分∠BAC，DE丄ABDF丄AC，∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，又AD＝AD，∵△AED≌△AFD，∴AE=AF∴點(diǎn)A在EF的垂直平分線上．同理，點(diǎn)D也在EF的垂直平分線上．∴AD垂直平EF（兩點(diǎn)確定一條直線）．規(guī)律·方法線段垂直平分線的判定有兩種方法：定義法；應(yīng)用判定定理．其中應(yīng)用判定定理較為簡(jiǎn)單．3、分析由DE垂直平分AB，得AE=BE，所以△AEC的周長(zhǎng)=AE＋CE＋AC＝BE＋EC＋AC．解：∵DE為AB邊的垂直平分線，∴BE＝AE．∴△AEC的周長(zhǎng)＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC=BC＋AC＝8＋5=13．即△AEC的周長(zhǎng)為13．【解題策略】線段的垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成了等腰三角形，因此，等腰三角形的性質(zhì)（如兩腰相等，兩底角相等，“三線合一”等）的應(yīng)用顯得極其重要，應(yīng)引起高度重視．4、分析此題證法比較多，可利用等腰三角形的性質(zhì)或線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理來(lái)證明，這里我們選用線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理來(lái)證明．證明：∵AB＝AC，∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．同理，點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，∴AD是線段BC的垂直平分線．∴AD丄BC．【解題策略】一條線段的垂直平分線只有一條，又兩點(diǎn)確定一條直線，因此只要能夠確定一條線段的垂直平分線上的兩點(diǎn)，就能夠確定它的垂直平分線．5、解：如圖l－67所示，在平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)P的位置有四個(gè)，其中一個(gè)是△ABC各邊垂直平分線的交點(diǎn)，另外三個(gè)在BC的垂直平分線上．理由如下．∵P1M為AC的垂直平分線，∴P1A＝P1C∵P1N是AB的垂直平分線，∴P1A＝P1B，即點(diǎn)P1也在線段BC的垂直平分線l1上．以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交l1于P2，P3，兩點(diǎn)，連接BP2，CP2，BP3，CP3，則△P2AB，△P2BC，△P2AC，△P3AB，△P3BC，△P3AC都是等腰三角形．以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫弧，交l1于點(diǎn)P4，連接P4B，P4C.則△P4AB，△P4AC，△P4BC也都是等腰三角形，∴當(dāng)AB=AC≠BC時(shí)，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)．體驗(yàn)中考1、分析由三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)定理可得，三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．又已知長(zhǎng)度，由勾股定理知△ABC為直角三角形，而直角三角形的外心與其斜邊中點(diǎn)重合．故選A．2、分析判定△BAD與△CBE全等是解決本題的關(guān)鍵．證明：（1）∵∠A6C＝90°，BD⊥CE，∴∠1與∠3互余，∠2與∠3互余，∴∠1＝∠2．∵∠ABC=∠DAB＝90°，AB＝BC，∴△BAD≌△CBE，∴AD=BE．（2）∵E是AB中點(diǎn)，∴EB=EA．又∵AD＝BE