注冊電氣公基礎(chǔ)高數(shù)課件

1.8線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.階行列式概念1.8.1行列式全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)n階行列式的定義余子式與代數(shù)余子式2.n階行列式的性質(zhì)3.克拉默法則定理定理4.行列式計(jì)算二階、三階行列式用對角線法利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用展開定理降階P54例1-49,1-50例1解方程左端例2計(jì)算下列排排列的逆序序數(shù)，并討討論它們的的奇偶性.解此排列為偶排列.例31.8.2矩陣陣1.矩陣的的概念記作簡記為2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作同型矩陣與與矩陣相等等1）兩個矩矩陣的行數(shù)數(shù)相等,列列數(shù)相等時時,稱為同型矩陣.2.幾種特特殊矩陣(2)只有有一行的矩矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的的矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的的零矩陣是是不相等的的.例如(5)單位位陣：對角線線上全為1的對角陣陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(6)對稱稱矩陣定義設(shè)為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱陣的元元素以主對對角線為對對稱軸對應(yīng)應(yīng)相等等.說明定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.(7）伴隨隨矩陣1)加法法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為3.矩陣的的運(yùn)算2)數(shù)與與矩陣相乘乘矩陣相加與與數(shù)乘矩陣陣合起來,統(tǒng)稱為矩矩陣的線性運(yùn)算.并把此乘積記記作3)矩陣與與矩陣相乘設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有當(dāng)?shù)谝粋€個矩陣的列數(shù)數(shù)等于第二個個矩陣的行數(shù)時，兩兩個矩陣才能能相乘.例4注：（1）矩陣乘乘法一般不滿足交換律；（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單位矩陣E在矩陣乘法法中的作用類類似于數(shù)1））定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例4）矩陣的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)運(yùn)算性質(zhì)注：若A為對稱陣，則則5）方陣的行行列式定義由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)6）逆矩陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的逆逆矩陣用該公公式求，三階階及以上矩陣陣的逆矩陣用用初等變換求求。逆矩陣的運(yùn)算算性質(zhì)解：P57例例1-51定義1下面三種變換換稱為矩陣的的初等行變換換:5.矩陣的初初等變換定義2矩矩陣的初初等行變換與與初等列變換換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆逆變換仍為初初等變換,且且變換類型型相同．同理可定義矩矩陣的初等列列變換(所用記號是是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換初等變換的作作用1)求逆矩陣陣2)求矩陣和和向量組的秩秩3)解線性方方程組6.矩陣的秩秩求矩陣秩的方方法：把矩陣用初等等行變換變成成為行階梯形形矩陣，行階階梯形矩陣中中非零行的行行數(shù)就是矩陣陣的秩.例6解由階梯形矩陣陣有三個非零零行可知1.8.3n維向量若干個同維數(shù)數(shù)的列向量（（或同維數(shù)的的行向量）所所組成的集合合叫做向量組組．1.向量量及向量組的的概念2.向量組的的線性相關(guān)性性1)線性性組合2)一個向向量能由一個個向量組線性性表示3)兩個個向量組等價價定理1解：考慮定義則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)．由定義可得：：1、任一向量量組不是線性性相關(guān)就是線線性無關(guān)。2、含零向量的向向量組一定線線性相關(guān)。3、單個非零零向量一定是是線性無關(guān)。4、兩個向量量線性相關(guān)的的充分必要條條件是對應(yīng)分分量成比例。。定理2解例8定理（1）部分相相關(guān)整體相關(guān)關(guān)。（2）線性無無關(guān)的向量組組，將分量延長后仍然線線性無關(guān)。（3）m個n維向量，當(dāng)維維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相相關(guān)。3.最大無無關(guān)組與向量量組的秩定義注：只含零向量的的向量組沒有有最大無關(guān)組組，規(guī)定它的的秩為0.推論1推論21.8.4線線性方程程組1.線性方方程組有解的的判定條件基礎(chǔ)解系的定定義2.線性方方程組解的結(jié)結(jié)構(gòu)其中為對應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性方方程組的通解解非齊次線性方方程組Ax=b的通解為齊次線性方程程組：系數(shù)矩陣化化成行最簡形形矩陣，便可可寫出其通解解；非齊次線性方方程組：增廣矩陣化成成行階梯形矩矩陣，便可判判斷其是否有有解．若有解解，化成行最最簡形矩陣，，便可寫出其其通解；3.線性方方程組的解法法例9求解齊次線性性方程組解即得與原方程程組同解的方方程組由此即得例10求解非齊次方方程組的通解解解對增廣