數值分析第五(清華大學出社)第二重積分概念

三、二重積分的性質第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性四、曲頂柱體體積的計算二重積分的概念與性質第九章當前1頁，總共28頁。解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”當前2頁，總共28頁。1)“大化小”用任意曲線網分D為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體當前3頁，總共28頁。4)“取極限”令當前4頁，總共28頁。2.平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為,則若非常數,仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網分D為n個小區(qū)域相應把薄片也分為小區(qū)域.當前5頁，總共28頁。2)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第k小塊的質量當前6頁，總共28頁。兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:當前7頁，總共28頁。二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數積分表達式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數,當前8頁，總共28頁。引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標軸的直線來劃記作當前9頁，總共28頁。二重積分存在定理:若函數定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數在有界閉區(qū)域D上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.當前10頁，總共28頁。三、二重積分的性質(k為常數)為D的面積,則當前11頁，總共28頁。特別,由于則5.若在D上6.設D的面積為,則有當前12頁，總共28頁。7.(二重積分的中值定理)證:由性質6可知,由連續(xù)函數介值定理,至少有一點在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此當前13頁，總共28頁。例1.

比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上當前14頁，總共28頁。例2.判斷積分的正負號.解:分積分域為則原式=猜想結果為負

但不好估計.舍去此項當前15頁，總共28頁。例3.估計下列積分之值解:

D的面積為由于積分性質5即:1.96I2D當前16頁，總共28頁。8.設函數D位于x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于y軸對稱,函數關于變量x有奇偶性時,仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關于x軸對稱,則則有類似結果.在第一象限部分,則有當前17頁，總共28頁。四、曲頂柱體體積的計算設曲頂柱的底為任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的當前18頁，總共28頁。同樣,曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計算當前19頁，總共28頁。例4.求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:設兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為當前20頁，總共28頁。內容小結1.二重積分的定義2.二重積分的性質(與定積分性質相似)3.曲頂柱體體積的計算二次積分法當前21頁，總共28頁。被積函數相同,且非負,思考與練習解:

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關系:當前22頁，總共28頁。2.

設D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()提示:因0<y<1,故故在D上有當前23頁，總共28頁。3.計算解:當前24頁，總共28頁。4.證明:其中D為解:利用題中x,y位置的對稱性,有又D的面積為1,故結論成立.當前25頁，總共28頁。

P782，4，5P951(1),8作業(yè)當前