八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新版新人教版

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)新版新人教版第1頁/共18頁等腰(等邊)三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用例1

如圖所示,BD和CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,連接AD.(1)求證∠BDC=BAC；(2)若AB=AC,請(qǐng)判斷△ABD的形狀,并證明你的結(jié)論；(3)在(2)的條件下,若AF=BF,求∠EBA的大小.

牛牛文庫(kù)文檔分享第2頁/共18頁〔解析〕

(1)根據(jù)角平分線的定義得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC,等量代換即可得到結(jié)論；(2)作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N，DH⊥BE于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DM=DH,DN=DH,等量代換得到DM=DN,根據(jù)平角定義和三角形的內(nèi)角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB,等量代換得到∠GAD=∠ABC,推出AD∥BC,由平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC,證得∠ABD=∠ADB,即可得到結(jié)論；(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠ABF=∠ABC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解.

牛牛文庫(kù)文檔分享第3頁/共18頁(3)∵AF=BF,∴∠BAF=∠ABF=∠ABC,∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,∴

∠ABC=180°,∴∠ABC=72°,即∠EBA=72°.證明:(1)∵BD,CD分別平分∠EBA,∠ECA,BD交AC于F,∴∠BDC+∠ABC=∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC,∴∠BDC=∠BAC.解:(2)△ABD為等腰三角形,證明如下:作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H,∵BD,CD分別平分∠EBA,∠ECA,∴DM=DH,DN=DH,∴DM=DN,∴AD平分∠CAG,即∠GAD=∠CAD,∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠GAD=∠ABC,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,又∵∠ABD=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴△ABD為等腰三角形.【規(guī)律方法】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì),角平分線的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和,三角形的外角的性質(zhì),正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

牛牛文庫(kù)文檔分享第4頁/共18頁1.如圖所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,過O點(diǎn)作EF∥BC,交AB于E,交AC于F.(1)判斷△BEO的形狀,并說明理由;(2)若BE=5cm,CF=3cm,求EF的長(zhǎng).解:(1)△BEO是等腰三角形,理由:∵BO平分∠ABC,∴∠EBO=∠CBO,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∴∠EBO=∠EOB,∴BE=EO,∴△BEO是等腰三角形.(2)∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠EBO=∠CBO,∠OCB=∠FCO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO,∴BE=EO,CF=FO.∵EO+OF=EF,∴EF=BE+CF=8cm.

牛牛文庫(kù)文檔分享第5頁/共18頁考查角度1

關(guān)于等腰三角形中角的問題例2等腰三角形中討論問題

等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,那么這個(gè)等腰三角形的底角為

.

【解題歸納】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),知道等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,有兩種情況,一種是高在三角形內(nèi)部,另一種是高在三角形外部,讀懂題意,是解答本題的關(guān)鍵.70°或20°〔解析〕分兩種情況:①如圖13-58(1)所示,∵△ABC是等腰三角形,BD⊥AC,即∠ADB=90°,∠ABD=50°,∴在Rt△ABD中,∠A=90°-50°=40°,∴∠C=∠ABC==70°;②如圖13-58(2)所示,∵△ABC是等腰三角形,BD⊥AC,即∠ADB=90°,∠ABD=50°,∴在Rt△ABD中,∠BAD=90°-50°=40°,又∵∠BAD=∠ABC+∠C,∠ABC=∠C,∴∠C=∠ABC==20°.

牛牛文庫(kù)文檔分享第6頁/共18頁2.已知等腰三角形ABC,由頂點(diǎn)A所引BC邊上的高線長(zhǎng)等于BC邊長(zhǎng)的一半,求∠BAC的度數(shù).解:∵AD是BC邊上的高線,若BC是底邊,即AB=AC,如圖(1)所示,∴BD=DC,∠BAD=∠CAD,∵AD=BC,∴AD=BD,∴∠B=∠BAD=45°,∴∠BAC=2∠BAD=90°.若BC是腰,BC=BA,①若點(diǎn)D在BC邊上,如圖(2)所示,則在Rt△BAD中,易知BA=2AD,∴∠B=30°,∴∠BAC=75°②若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,如圖

(3)所示,類似地,得:∠DBA=30°,則∠ABC=150°,∴∠BAC=15°.

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若等腰三角形一腰上的中線將其周長(zhǎng)分為9cm和12cm兩部分,則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為

.

考查角度2關(guān)于等腰三角形中邊的問題例38cm或6cm【解題歸納】注意結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三邊關(guān)系的知識(shí)〔解析〕設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,底長(zhǎng)為ycm,根據(jù)題意可知x-y=12-9=3(cm)或y-x=3(cm),且x+x+y=21,當(dāng)x-y=3時(shí),可解得x=8,此時(shí)三角形的三邊為8cm,8cm,5cm,滿足三角形的三邊關(guān)系;當(dāng)y-x=3時(shí),可解得x=6,此時(shí)三角形的三邊為6cm,6cm,9cm,滿足三角形的三邊關(guān)系.綜上可知,三角形的腰長(zhǎng)為8cm或6cm.

牛牛文庫(kù)文檔分享第8頁/共18頁3.等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm,一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為

.

8cm

牛牛文庫(kù)文檔分享第9頁/共18頁(2)證明滿足①和③的情形,理由如下:在△BOE和△COD中,∴△BOE≌△COD.∴OB=OC.∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.

某校八(3)班在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中,探究“一般三角形具備哪些條件,就能斷定其是等腰三角形”的過程中,其中一個(gè)小組提出下列問題:如圖所示,△ABC中,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列四個(gè)條件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四個(gè)條件中,哪兩個(gè)條件組合可判定△ABC是等腰三角形?(用序號(hào)寫出所有情況)(2)選擇第(1)問中的一種情況,證明△ABC是等腰三角形.

等腰三角形與全等三角形的綜合問題例4解:(1)①和③,①和④,②和③,②和④四種情況,均可判定△ABC是等腰三角形.

牛牛文庫(kù)文檔分享第10頁/共18頁4.(杭州中考)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點(diǎn)P.求證PB=PC,并請(qǐng)直接寫出圖中其他相等的線段.證明:在△ABF與△ACE中,∴△ABF

≌△ACE(SAS),∴∠ABF=∠ACE,又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABC-∠ABF=∠ACB-∠ACE,即∠FBC=∠ECB,∴PB=PC.相等的線段還有:PE=PF,CE=BF,BE=CF.

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如圖所示,△ABC為等邊三角形,AE=CD,AD,BE相交于點(diǎn)P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1,求AD的長(zhǎng).等邊三角形與全等三角形的綜合問題例5〔解析〕由已知條件易知△ABE≌△CAD,從而可得AD=BE,故只需求BP的長(zhǎng).由BQ⊥AD知在Rt△BPQ中,若有∠PBQ=30°,就可以求出BP的長(zhǎng),于是將求證∠BPQ=60°作為問題的突破口.解:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.又AE=CD,∴△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,BE=AD,∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°.又BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7.

牛牛文庫(kù)文檔分享第12頁/共18頁5.如圖所示,D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),DB=DA,BP=AB,∠DBP=∠DBC,求證∠P=30°.證明:連接DC,由題意知在△BPD和△BCD中,∴△BPD≌△BCD(SAS),∴∠P=∠BCD.在△ADC和△BDC中,

∴△ADC≌△BDC(SSS),∴∠BCD=∠ACD=ACB=30°,∴∠P=30°.

牛牛文庫(kù)文檔分享第13頁/共18頁等腰三角形與含有30°角的直角三角形的綜合問題

如圖所示,在等邊三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,且CE=1,求BC的長(zhǎng).例5解:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC=AC,∵DE⊥BC,∴∠CDE=30°,∵EC=1,∴CD=2EC=2,∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,∴AD=CD=2,∴BC=AC=AD+CD=4.【解題歸納】在解決與等邊三角形相關(guān)的問題時(shí),除利用它的特殊性質(zhì)外,還應(yīng)結(jié)合“在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”來求解.

牛牛文庫(kù)文檔分享第14頁/共18頁6.如圖所示,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC

交BC于點(diǎn)D,求證BC=3AD.證明:在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,又∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∵∠C=30°,∴CD=2AD,易知∠BAD=∠B=30°,∴AD=DB,∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3AD.

牛牛文庫(kù)文檔分享第15頁/共18頁最短路徑的問題

如圖13