2019版文科數(shù)學(xué)大第十三章 系列4選講13.1 第1課時(shí) 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§13。1坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1課時(shí)坐標(biāo)系最新考綱考情考向分析1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況．2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程。會(huì)求伸縮變換，求點(diǎn)的極坐標(biāo)和應(yīng)用直線、圓的極坐標(biāo)方程是重點(diǎn)，主要與參數(shù)方程相結(jié)合進(jìn)行考查,以解答題的形式考查，難度中檔。1．平面直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P(x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝λ·x,λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下,點(diǎn)P（x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′），稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換．2．極坐標(biāo)系(1）極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸．平面內(nèi)任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ）稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角．一般認(rèn)為ρ≥0。當(dāng)極角θ的取值范圍是［0，2π）時(shí)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))就與極坐標(biāo)（ρ，θ）(ρ≠0）建立一一對應(yīng)的關(guān)系．我們設(shè)定，極點(diǎn)的極坐標(biāo)中,極徑ρ＝0，極角θ可取任意角．（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面內(nèi)的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為（x，y)，極坐標(biāo)為(ρ,θ）．由圖可知下面關(guān)系式成立：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ））或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，，tanθ＝\f(y，x)x≠0))，這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式．3．常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓ρ＝r（0≤θ〈2π)圓心為（r,0），半徑為r的圓ρ＝2rcosθeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ〈\f(π,2）))圓心為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（r,\f(π，2）))，半徑為r的圓ρ＝2rsinθ（0≤θ〈π)過極點(diǎn)，傾斜角為α的直線θ＝α（ρ∈R)或θ＝π＋α（ρ∈R)過點(diǎn)（a，0)，與極軸垂直的直線ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π，2）<θ<\f（π,2)）)過點(diǎn)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a，\f（π，2）)),與極軸平行的直線ρsinθ＝a（0〈θ<π）題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊?或“×”）（1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系．(×）(2）若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,－eq\r（3））,則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π，3）))。（√）(3)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的．（√）(4）極坐標(biāo)方程θ＝π（ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(×)題組二教材改編2．［P15T3]若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為()A．ρ＝eq\f(1，cosθ＋sinθ），0≤θ≤eq\f(π,2）B．ρ＝eq\f(1，cosθ＋sinθ），0≤θ≤eq\f(π，4)C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤eq\f(π，2）D．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤eq\f（π,4)答案A解析∵y＝1－x(0≤x≤1),∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1）；∴ρ＝eq\f(1,sinθ＋cosθ)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f（π,2）））。3．［P15T4］在極坐標(biāo)系中,圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（π,2）)) B。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f（π,2）））C．(1，0) D．(1，π)答案B解析方法一由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1）2＝1，圓心坐標(biāo)為（0，－1），其對應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π，2)）).方法二由ρ＝－2sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，2)）)，知圓心的極坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，－\f(π,2)））,故選B.題組三易錯(cuò)自糾4．在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(π，6））),則過點(diǎn)P且平行于極軸的直線方程是（)A．ρsinθ＝1 B．ρsinθ＝eq\r（3）C．ρcosθ＝1 D．ρcosθ＝eq\r（3)答案A解析先將極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)表示，Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2,\f（π,6)））轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為x＝ρcosθ＝2coseq\f(π，6)＝eq\r（3)，y＝ρsinθ＝2sineq\f（π，6)＝1，即(eq\r(3)，1)，過點(diǎn)(eq\r(3）,1）且平行于x軸的直線為y＝1,再化為極坐標(biāo)為ρsinθ＝1。5．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為．答案x2＋y2－2y＝0解析由ρ＝2sinθ,得ρ2＝2ρsinθ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0。6．在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓ρ＝4sinθ和直線ρsinθ＝a相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)△AOB是等邊三角形時(shí)，求a的值．解由ρ＝4sinθ可得圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4y，即x2＋（y－2)2＝4.由ρsinθ＝a可得直線的直角坐標(biāo)方程為y＝a(a>0)．設(shè)圓的圓心為O′，y＝a與x2＋（y－2）2＝4的兩交點(diǎn)A，B與O構(gòu)成等邊三角形，如圖所示．由對稱性知∠O′OB＝30°，OD＝a。在Rt△DOB中，易求DB＝eq\f（\r(3)，3)a，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3),3)a，a)).又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3）,3)a))2＋a2－4a＝0,即eq\f（4，3）a2－4a＝0,解得a＝0（舍去)或a＝3。題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1．(2016·北京改編)在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1：ρcosθ－eq\r（3）ρsinθ－1＝0,C2:ρ＝2cosθ.（1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．解（1)∵C1：ρcosθ－eq\r（3)ρsinθ－1＝0,∴x－eq\r（3)y－1＝0，表示一條直線．由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x,即(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圓心為（1,0)，半徑為1的圓．（2）由（1）知，點(diǎn)（1,0）在直線x－eq\r(3）y－1＝0上，∴直線C1過圓C2的圓心．因此兩交點(diǎn)A,B的連線是圓C2的直徑．∴兩交點(diǎn)A，B間的距離｜AB｜＝2r＝2。2．（1)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求線段y＝1－x（0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程．（2）在極坐標(biāo)系中,曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1。以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)．解（1)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ，)）∴y＝1－x化成極坐標(biāo)方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝eq\f（1，cosθ＋sinθ).∵0≤x≤1，∴線段在第一象限內(nèi)(含端點(diǎn)）,∴0≤θ≤eq\f（π,2）.(2）∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρsin2θ＝cosθ，得ρ2sin2θ＝ρcosθ，∴曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2＝x.由ρsinθ＝1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y＝1。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝x，,y＝1，）)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝1，)）故曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（1，1)．思維升華（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;②極軸與x軸的正半軸重合；③取相同的單位長度．(2）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化簡即可;而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ,ρ2的形式,進(jìn)行整體代換．題型二求曲線的極坐標(biāo)方程典例將圓x2＋y2＝1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線l：2x＋y－2＝0與C的交點(diǎn)為P1，P2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與直線l垂直的直線的極坐標(biāo)方程．解（1）設(shè)（x1，y1)為圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)榍€C上的點(diǎn)（x，y)，依題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝x1，，y＝2y1.))由xeq\o\al(2，1)＋yeq\o\al(2,1）＝1，得x2＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y，2））)2＝1，即曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq\f（y2，4）＝1.（2)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋\f（y2，4）＝1,,2x＋y－2＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2。))不妨設(shè)P1(1，0),P2（0,2)，則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），1))，所求直線的斜率為k＝eq\f(1,2)，于是所求直線方程為y－1＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（1，2））），化為極坐標(biāo)方程,并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3,故所求直線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f（3,4sinθ－2cosθ）。思維升華求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟（1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P（ρ，θ)是曲線上任意一點(diǎn)．(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件,列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式．(3）將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡,得出曲線的極坐標(biāo)方程．跟蹤訓(xùn)練已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系中的長度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－2y＝0,直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1＋t,,y＝t）)（t為參數(shù)），射線OM的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(3π，4)。(1)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程；(2)已知射線OM與圓C的交點(diǎn)為O，P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．解(1)∵ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＋2x－2y＝0,∴ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,4)））.又直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋t，，y＝t)）(t為參數(shù))，消去t后得y＝x＋1，∴直線l的極坐標(biāo)方程為sinθ－cosθ＝eq\f(1，ρ）。(2）當(dāng)θ＝eq\f（3π，4）時(shí)，|OP|＝2eq\r（2）sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f（π,4）)）＝2eq\r(2）,∴點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(3π，4））），｜OQ|＝eq\f(1,\f(\r（2），2）＋\f(\r（2),2)）＝eq\f(\r（2)，2)，∴點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（2），2），\f（3π,4）)),故線段PQ的長為eq\f（3\r（2），2）。題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用典例(2017·全國Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4。(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；（2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(π，3)))，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解（1）設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)（ρ>0)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（ρ1，θ)(ρ1〉0）．由題意知|OP|＝ρ，｜OM｜＝ρ1＝eq\f（4,cosθ)。由|OM｜·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cosθ（ρ>0）．因此C2的直角坐標(biāo)方程為（x－2）2＋y2＝4(x≠0）．(2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB〉0）．由題設(shè)知｜OA｜＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝eq\f(1，2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3）))）)＝2eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2α－\f(π，3）））－\f(\r(3），2）))≤2＋eq\r（3）。當(dāng)α＝－eq\f（π，12）時(shí)，S取得最大值2＋eq\r（3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r（3).思維升華極坐標(biāo)應(yīng)用中的注意事項(xiàng)(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;②極軸與x軸正半軸重合；③取相同的長度單位．(2）若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角θ時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)P所在的象限(即角θ的終邊的位置），以便正確地求出角θ。利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．（3)由極坐標(biāo)的意義可知平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)不是唯一的，如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π)，平面上的點(diǎn)(除去極點(diǎn))與極坐標(biāo)（ρ，θ)（ρ≠0)建立一一對應(yīng)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練（2017·廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線ρsineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4)））＝2被圓ρ＝4截得的弦長．解由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4)）)＝2，得eq\f(\r（2）,2)（ρsinθ＋ρcosθ)＝2，可化為x＋y－2eq\r(2)＝0。圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16,圓心（0,0）到直線x＋y－2eq\r（2)＝0的距離d＝eq\f（|2\r（2)｜,\r(2)）＝2，由圓中的弦長公式，得弦長l＝2eq\r(r2－d2）＝2eq\r(42－22)＝4eq\r（3）.故所求弦長為4eq\r（3)。1．(2018·武漢模擬)在極坐標(biāo)系下，已知圓O:ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π，4））)＝eq\f（\r(2)，2)。（1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．解（1）圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直線l:ρsineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,4）))＝eq\f（\r(2)，2），即ρsinθ－ρcosθ＝1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1，即x－y＋1＝0。（2)由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－x－y＝0，，x－y＋1＝0,)）得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，）)故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（π,2)）).2．在極坐標(biāo)系(ρ,θ）（0≤θ＜2π)中，求曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．解曲線ρ(cosθ＋sinθ）＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ（sinθ－cosθ）＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1。聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，，y－x＝1,））得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，,y＝1，）)則交點(diǎn)為(0,1）,對應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1,\f(π，2)）).3．在極坐標(biāo)系中，求曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝eq\f（π，4)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程．解以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線ρ＝2cosθ的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，且圓心為（1，0）．直線θ＝eq\f(π，4)的直角坐標(biāo)方程為y＝x，因?yàn)閳A心（1,0)關(guān)于y＝x的對稱點(diǎn)為(0,1)，所以圓(x－1）2＋y2＝1關(guān)于y＝x的對稱曲線為x2＋(y－1)2＝1.所以曲線ρ＝2cosθ關(guān)于直線θ＝eq\f（π，4）對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.4．（2017·貴陽調(diào)研)在以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,已知曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(2，1－sinθ）.（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2)過極點(diǎn)O作直線l交曲線于點(diǎn)P，Q，若|OP｜＝3|OQ｜，求直線l的極坐標(biāo)方程．解（1)∵ρ＝eq\r（x2＋y2），ρsinθ＝y(tǒng)，∴ρ＝eq\f(2，1－sinθ）化為ρ－ρsinθ＝2，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y＋4。(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝θ0（ρ∈R)，根據(jù)題意eq\f(2，1－sinθ0)＝3·eq\f(2,1－sinθ0＋π)，解得θ0＝eq\f（π，6）或θ0＝eq\f（5π，6），∴直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π，6）（ρ∈R)或θ＝eq\f(5π，6）(ρ∈R)．5．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r（2）ρsineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4))）－4＝0，求圓C的半徑．解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy。圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2eq\r(2）ρeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r(2)，2）sinθ－\f（\r(2)，2)cosθ）)－4＝0，化簡，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y－4＝0,即(x－1）2＋(y＋1)2＝6，所以圓C的半徑為eq\r(6）.6．在極坐標(biāo)系中，P是曲線C1:ρ＝12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線C2：ρ＝12coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，6)))上的動(dòng)點(diǎn),求|PQ｜的最大值．解對曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，∵ρ＝12sinθ，∴ρ2＝12ρsinθ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36。對曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,∵ρ＝12coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6))），∴ρ2＝12ρeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（cosθcos\f(π,6）＋sinθsin\f(π，6））），∴x2＋y2－6eq\r（3)x－6y＝0，∴(x－3eq\r(3））2＋（y－3)2＝36，∴｜PQ|max＝6＋6＋eq\r（3\r(3)2＋32）＝18。7．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的方程為ρsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（2π，3))）＝－eq\r（3)，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ＋2sinθ。(1)求直線l和⊙C的直角坐標(biāo)方程；（2)若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn),求弦AB的長．解（1）直線l：ρsineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（2π,3）））＝－eq\r（3），∴ρeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sinθcos\f(2π，3）－cosθsin\f(2π,3）））＝－eq\r(3)，∴y·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1,2)））－x·eq\f（\r(3)，2)＝－eq\r(3)，即y＝－eq\r（3)x＋2eq\r(3).⊙C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，ρ2＝4ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝4x＋2y,即x2＋y2－4x－2y＝0.(2）⊙C：x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋（y－1）2＝5?！鄨A心C(2,1)，半徑R＝eq\r(5)，∴⊙C的圓心C到直線l的距離d＝eq\f（|1＋2\r（3)－2\r（3）|，\r（\r（3)2＋12））＝eq\f（1,2）,∴|AB｜＝2eq\r(R2－d2）＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））2）＝eq\r（19）.∴弦AB的長為eq\r（19).8．（2016·全國Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝acost，，y＝1＋asint）)（t為參數(shù)，a>0）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.（1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0,其中α0滿足tanα0＝2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a。解（1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1）2＝a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓．將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的直角坐標(biāo)方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0。(2）曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，,ρ＝4cosθ.））若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去)，a＝1.當(dāng)a＝1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上．所以a＝1。9．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(3,\f(π，3)）），半徑r＝3。（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在OQ的延長線上，且eq\o（OQ，\s\up6(→))＝2eq\o(QP，\s\up6（→）），求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解（1)設(shè)M(ρ，θ)是圓C上除極點(diǎn)外的任意一點(diǎn)．在△OCM中，∠COM＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，3）))，由余弦定理，得|CM|2＝｜OM｜2＋|OC｜2－2｜OM|·|OC｜c(diǎn)oseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,3))),化簡得ρ＝6coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))）?！邩O點(diǎn)也適合上式，∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，3))）.(2）設(shè)點(diǎn)Q(ρ1，θ1），P（ρ,θ）,由eq\o（OQ,\s\up6（→)）＝2eq\o（QP,\s\up6（→))，得eq\o（OQ,\s\up6（→))＝eq\f(2,3）eq\o(OP，\s\up6（→）),∴ρ1＝eq\f(2，3)ρ，θ1＝θ，代入圓C的方程，得eq\f(2,3）ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,3)）)，即ρ＝9coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，3))）。10．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2:(x－1)2＋（y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f（π,4）（ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N，求△C2MN的面積．解（1）因?yàn)閤＝ρcosθ,y＝ρsinθ，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝－2，C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0。（2）將θ＝eq\f(π,4)代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3eq\r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq\r（2），ρ2＝eq\r（2）.故ρ1－ρ2＝eq\r(2），即｜MN｜＝eq\r（2).由于C2的半徑為1，所以△C2MN為等腰直角三角形，所以△C2MN的面積為eq\f（1,2).11．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0,θ∈[0，2π］，曲線C2：ρ＝eq\f（3,4sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，6）－θ)））,θ∈［0，2π]．(1）求曲線C1的一個(gè)參數(shù)方程；(2）若曲線C1和曲線C2相交于A,B兩點(diǎn)，求｜AB｜的值．解（1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0，可得x2＋y2－4x＋3＝0?！啵▁－2)2＋y2＝1。令x－2＝cosα，y＝sinα,∴C1的一個(gè)參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα,,y＝sinα)）(α為參數(shù)，α∈R）．(2）C2：4ρeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f（π，6)cosθ－cos\f（π，6)sinθ))＝3，∴4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)x－\f（\r(3),2)y))＝3，即2x－2eq\r(3)y－3＝0。∵直線2x－2eq\r(3）y－3＝0與圓（x－2）2＋y2＝1相交于A,B兩點(diǎn)，且圓心到直線的距離d＝eq\f(1,4），∴｜AB｜＝2×eq\r（1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，4））)2)＝2×eq\f(\r(15)，4）＝eq\f(\r（15），2）.12．已知曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(5)cosα，,y＝1＋\r（5）sinα))（α為參數(shù)）,以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2）若直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ＋cosθ）＝1，求直線l被曲線C截得的弦長．解（1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\r（5）cosα,，y＝1＋\r（5)sinα))(α為參數(shù)），∴曲線C的普通方程為(x－2）2＋(y－1)2＝5.將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝ρcosθ,，y＝ρsinθ）)代入并化簡得ρ＝4cosθ＋2sinθ，即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ＋2sinθ.(2）∵l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－1＝0，∴圓心C（2，1）到直線l的距離d＝eq\f（2,\r(2)）＝eq\r（2)，∴弦長為2eq\r（5－2)＝2eq\r(3).13．在極坐標(biāo)系中，曲線C:ρ＝2acosθ(a〉0)