2019版數(shù)學(xué)（理）高分計(jì)劃一輪高分講義：第10章　計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 10.9　離散型隨機(jī)變量的均值、方差和正態(tài)分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精10．9離散型隨機(jī)變量的均值、方差和正態(tài)分布[知識梳理］1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1）均值:稱E(X）＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2）D(X)＝eq\i\su（i＝1,n,)（xi－E(X）)2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E（X）的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r（DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1）E(aX＋b)＝aE(X)＋b;（2)D(aX＋b）＝a2D（X）（a,b為常數(shù))．3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差XX服從兩點(diǎn)分布X～B（n,p）E（X)pnpD(X）p（1－p)np(1－p）4．正態(tài)曲線（1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）＝eq\f(1，\r（2π）·σ)eeq\s\up15（－eq\f(x－μ2，2σ2)),x∈（－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ〉0)為參數(shù)，稱φμ，σ（x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線（μ是正態(tài)分布的期望,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差）．(2）正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方,與x軸不相交；②曲線是單峰的,關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f（1,σ\r(2π)）；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定,σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．5．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a,b(a<b),隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b）＝eq\i\in(a，b，)φμ，σ(x）dx(即x＝a，x＝b,正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積），則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．（2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①P（μ－σ<X〈μ＋σ）＝0。6826；②P（μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544;③P(μ－3σ〈X〈μ＋3σ）＝0.9974。［診斷自測］1．概念思辨（1）隨機(jī)變量不可以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量所對應(yīng)的概率可以是負(fù)數(shù)，隨機(jī)變量的均值不可以是負(fù)數(shù)．（）（2)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．（)(3）隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小。(）（4）一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．(）答案(1)×（2）√(3)√(4）√2．教材衍化（1)（選修A2－3P68T1）已知X的分布列為X－101Peq\f(1,2)eq\f(1，3)eq\f(1,6）設(shè)Y＝2X＋3，則E（Y）的值為(）A.eq\f(7,3）B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝－eq\f（1,2）＋eq\f(1,6)＝－eq\f（1，3），E（Y)＝E（2X＋3）＝2E（X)＋3＝－eq\f（2,3）＋3＝eq\f（7,3）.故選A。（2)(選修A2－3P75A組T1)φμ，σ（x）＝eq\f(1,\r(8π)）eeq\s\up15（－eq\f（x2，8)），x∈(－∞,＋∞）,則總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（)A．0和8B．0和4C．0和2D．0和eq\r（2)答案C解析根據(jù)已知條件可知μ＝0，σ＝2，故選C。3．小題熱身(1)（2015·山東高考）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6）內(nèi)的概率為（)(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68。26%，P（μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44％。)A．4.56%B．13.59％C．27.18％D．31。74%答案B解析P（－3<ξ<3）＝68.26％，P（－6<ξ<6）＝95.44％，則P（3<ξ〈6）＝eq\f(1,2）×（95.44%－68.26%）＝13。59％。故選B.(2)（2018·張掖檢測)如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后,從中隨機(jī)取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E（X)＝（)A。eq\f(126，125）B。eq\f（6，5）C.eq\f(168，125)D。eq\f（7，5）答案B解析設(shè)涂0個面的小正方體有x個，涂1個面的小正方體有y個，涂2個面的小正方體有z個，涂3個面的小正方體有w個，則有0·x＋1·y＋2·z＋3·w＝25×6＝150,所以E（X）＝0·eq\f（x，125)＋1·eq\f（y,125）＋2·eq\f（z，125）＋3·eq\f(w，125）＝eq\f(150，125）＝eq\f（6，5)。故選B.題型1與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差eq\o（\s\up7（），\s\do5(典例））（2017·山西太原模擬)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種，方案a：從裝有2個紅球、3個白球(僅顏色不同）的甲袋中隨機(jī)摸出2個球,若都是紅球,則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個紅球、2個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機(jī)摸出2個球,若都是紅球，則獲得獎金15元;否則，沒有獎金,兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件:顧客購買商品的金額滿100元，可根據(jù)方案a抽獎一次;滿150元，可根據(jù)方案b抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為260元,則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a、b各抽獎一次)．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．（1)若顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎,求其所獲獎金的期望；（2)要使所獲獎金的期望值最大,顧客A應(yīng)如何抽獎?解(1）按方案a抽獎一次，獲得獎金的概率P＝eq\f（C\o\al(2，2),C\o\al（2,5)）＝eq\f(1，10)。顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎,則其可以按方案a抽獎三次．此時中獎次數(shù)服從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(1，10）)).設(shè)所得獎金為w1元，則E（w1)＝3×eq\f（1，10）×30＝9.即顧客A所獎資金的期望為9元．（2）按方案b抽獎一次，獲得獎金的概率P1＝eq\f（C\o\al(2，3),C\o\al(2,5）)＝eq\f（3,10)。若顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，則由方案a中獎的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B1eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f(1,10)）)，由方案b中獎的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1,\f（3,10)))，設(shè)所得獎金為w2元，則E（w2)＝2×eq\f(1，10）×30＋1×eq\f(3,10）×15＝10.5.若顧客A按方案b抽獎兩次，則中獎的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B3eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(3,10）））。設(shè)所得獎金為w3元，則E(w3)＝2×eq\f(3,10）×15＝9。結(jié)合（1)可知，E（w1)＝E（w3）<E（w2)．所以顧客A應(yīng)該按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次．方法技巧與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望、方差的求法1．求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布，如果ξ～B(n，p)，則用公式E（ξ)＝np，D（ξ）＝np(1－p）求解，可大大減少計(jì)算量．2．有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時，可以綜合應(yīng)用E（aξ＋b）＝aE(ξ)＋b以及E(ξ）＝np求出E（aξ＋b),同樣還可求出D（aξ＋b）．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2014·遼寧高考）一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X)．解（1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”．因此P（A1)＝(0。006＋0.004＋0.002）×50＝0.6，P（A2）＝0。003×50＝0.15，P(B）＝0.6×0.6×0。15×2＝0.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P（X＝0)＝Ceq\o\al(0，3)·(1－0。6）3＝0.064，P（X＝1)＝Ceq\o\al(1,3）·0.6（1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0。62（1－0.6）＝0。432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216.分布列為X0123P0.0640。2880。4320。216因?yàn)閄～B(3，0。6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1。8，方差D（X)＝3×0.6×（1－0。6)＝0.72。題型2離散型隨機(jī)變量的均值與方差角度1求離散型隨機(jī)變量的均值與方差eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例)）(2016·山東高考)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中，如果兩人都猜對,則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對,則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對的概率是eq\f（3，4），乙每輪猜對的概率是eq\f（2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動，求：(1）“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率;(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X）．解（1)記事件A:“甲第一輪猜對”,記事件B：“乙第一輪猜對”,記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對3個成語”．由題意，E＝ABCD＋eq\x\to(A)BCD＋Aeq\x\to（B）CD＋ABeq\x\to(C）D＋ABCeq\x\to（D），由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P（E）＝P（ABCD）＋P(eq\x\to(A）BCD)＋P(Aeq\x\to(B）CD)＋P（ABeq\x\to(C）D)＋P（ABCeq\x\to（D））＝P（A）P（B）P(C)P(D）＋P（eq\x\to（A））P(B)P（C)P(D）＋P（A)P（eq\x\to(B）)P(C)P(D)＋P(A)P（B）P(eq\x\to（C））P(D)＋P（A)P(B）P（C）P(eq\x\to（D))＝eq\f(3，4)×eq\f(2,3)×eq\f(3，4）×eq\f(2,3）＋2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1（)）eq\f（1,4）×eq\f（2,3）×eq\f(3,4)×eq\f(2，3)＋eq\f(3,4）×eq\f（1，3）×eq\f（3,4）×eq\f(2，3）eq\b\lc\\rc\）（\a\vs4\al\co1())＝eq\f（2，3).所以“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率為eq\f(2，3）。(2）由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6.由事件的獨(dú)立性與互斥性,得P（X＝0）＝eq\f(1,4)×eq\f（1,3）×eq\f（1,4）×eq\f(1,3）＝eq\f(1，144)，P（X＝1）＝2×eq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1(）)eq\f（3,4)×eq\f(1,3）×eq\f(1，4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f（2，3）×eq\f(1，4）×eq\f（1，3)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1())＝eq\f(10，144）＝eq\f（5，72），P（X＝2）＝eq\f(3，4)×eq\f（1，3）×eq\f（3，4）×eq\f（1，3）＋eq\f(3,4)×eq\f(1，3)×eq\f（1,4）×eq\f（2,3）＋eq\f(1，4）×eq\f（2，3）×eq\f(3,4)×eq\f（1，3）＋eq\f（1，4）×eq\f（2,3)×eq\f(1，4)×eq\f（2,3）＝eq\f(25,144），P（X＝3)＝eq\f（3,4）×eq\f(2,3）×eq\f（1，4）×eq\f(1，3）＋eq\f(1，4）×eq\f（1，3）×eq\f（3，4）×eq\f(2，3）＝eq\f(12，144)＝eq\f(1，12)，P(X＝4）＝2×eq\b\lc\（\rc\(\a\vs4\al\co1(））eq\f(3,4）×eq\f(2，3）×eq\f（3，4）×eq\f(1，3）＋eq\f（3，4）×eq\f（2,3）×eq\f(1，4）×eq\f（2,3)eq\b\lc\\rc\)（\a\vs4\al\co1（）)＝eq\f（60,144)＝eq\f（5，12），P（X＝6）＝eq\f（3,4)×eq\f（2,3)×eq\f（3,4）×eq\f（2,3)＝eq\f(36,144）＝eq\f(1,4).可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346Peq\f(1，144）eq\f（5，72)eq\f(25,144）eq\f(1，12)eq\f(5,12）eq\f（1,4）所以數(shù)學(xué)期望E(X）＝0×eq\f（1，144)＋1×eq\f（5，72）＋2×eq\f(25,144)＋3×eq\f（1，12）＋4×eq\f（5，12）＋6×eq\f(1,4）＝eq\f（23,6)。角度2均值與方差的應(yīng)用問題eq\o（\s\up7（）,\s\do5（典例)）（2016·全國卷Ⅰ）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)．(1）求X的分布列；(2)若要求P(X≤n）≥0。5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？解（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9，10,11的概率分別為0。2,0.4，0。2，0.2?？芍猉的所有可能取值為16、17、18、19、20、21、22，P（X＝16）＝0。2×0。2＝0.04；P(X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16；P（X＝18）＝2×0。2×0。2＋0。4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0。2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24;P(X＝20)＝2×0。2×0.4＋0.2×0。2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0。2＝0.08;P（X＝22）＝0。2×0。2＝0.04。所以X的分布列為X16171819202122P0.040。160。240。240。20.080。04（2）由（1）知P(X≤18）＝0。44，P(X≤19）＝0。68,故n的最小值為19.(3）記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元)．當(dāng)n＝19時，E（Y）＝19×200×0。68＋(19×200＋500）×0。2＋(19×200＋2×500）×0。08＋(19×200＋3×500)×0。04＝4040.當(dāng)n＝20時，E(Y）＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0。08＋（20×200＋2×500)×0。04＝4080.可知當(dāng)n＝19時所需費(fèi)用的期望值小于n＝20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19。方法技巧1．求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟（1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．（2）求ξ取每個值的概率．(3）寫出ξ的分布列．（4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ）．2．由均值與方差情況求參數(shù)問題的求解思路先根據(jù)題設(shè)條件將均值、方差用待求參數(shù)表示，再由已知均值與方差構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程(組），然后求解．3．利用均值、方差進(jìn)行決策的方法：均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平"，因此，當(dāng)均值不同時，兩個隨機(jī)變量取值的水平可見分曉，由此可對實(shí)際問題作出決策判斷；若兩個隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，方差越小，則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策．提醒:均值E(X）由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E（X)是不變的，它描述X值的取值的平均水平．沖關(guān)針對訓(xùn)練（2017·全國卷Ⅲ）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）［15,20）[20,25）[25,30)［30,35）［35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1）求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶）為多少時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？解（1)由題意知,X所有可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知P(X＝200)＝eq\f(2＋16，90）＝0.2，P(X＝300)＝eq\f（36,90）＝0.4，P（X＝500)＝eq\f(25＋7＋4，90）＝0.4.因此X的分布列為X200300500P0。20.40。4(2）由題意知,這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25,則Y＝6n－4n＝2n;若最高氣溫位于區(qū)間［20，25），則Y＝6×300＋2（n－300）－4n＝1200－2n;若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200）－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n）×0。4＋(800－2n)×0。2＝640－0.4n.當(dāng)200≤n＜300時,若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20,則Y＝6×200＋2（n－200）－4n＝800－2n，因此E（Y)＝2n×(0.4＋0。4)＋（800－2n）×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時,Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元。題型3正態(tài)分布eq\o(\s\up7(）,\s\do5(典例）)（2015·湖南高考)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N（0，1)的密度曲線）的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為()(附：若X～N(μ，σ2），則P（μ－σ<X≤μ＋σ）＝0。6826，P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝0.9544）A．2386B．2718C．3413D．4772答案C解析由曲線C為正態(tài)分布N(0,1）的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P（0<X≤1）＝eq\f(1,2）×0。6826＝0.3413,又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.3413，故落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為0。3413×10000＝3413。故選C.［條件探究]若將本典例中條件“曲線C為正態(tài)分布N（0，1)的密度曲線”變?yōu)椤扒€C為正態(tài)分布N(－1，1）的密度曲線”,則結(jié)果如何？解對于正態(tài)分布N（－1,1）,可知μ＝－1,σ＝1,正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝－1對稱，故題圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2）×［P(－3〈X≤1)－P(－2<X≤0)］＝eq\f(1,2）×［P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)－P（μ－σ<X≤μ＋σ)］＝eq\f(1，2)×（0。9544－0。6826）＝0.1359，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝eq\f（0.1359,1）＝0.1359，投入10000個點(diǎn)，落入陰影部分的個數(shù)約為10000×0.1359＝1359。方法技巧正態(tài)分布下兩類常見的概率計(jì)算1．利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，曲線與x軸之間的面積為1.2．利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ),（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ,μ＋3σ）中的哪一個．沖關(guān)針對訓(xùn)練(2014·全國卷Ⅰ）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to（x)和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2。①利用該正態(tài)分布，求P(187。8<Z<212。2）;②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187。8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)．利用①的結(jié)果，求E（X）．附：eq\r（150）≈12。2.若Z～N(μ，σ2），則P（μ－σ<Z≤μ＋σ）＝0。6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ）＝0.9544.解(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\x\to(x）和樣本方差s2分別為eq\x\to(x)＝170×0.02＋180×0。09＋190×0。22＋200×0。33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0。02＝200,s2＝（－30）2×0.02＋（－20)2×0。09＋（－10）2×0.22＋0×0。33＋102×0。24＋202×0。08＋302×0。02＝150。（2)①由(1）知,Z～N(200,150)，從而P(187。8〈Z<212.2)＝P(200－12。2<Z〈200＋12.2)＝0。6826。②由①知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B(100,0。6826)，所以E（X)＝100×0。6826＝68.26.1．(2017·浙江高考)已知隨機(jī)變量ξi滿足P（ξi＝1）＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f（1,2），則()A．E(ξ1)〈E（ξ2)，D(ξ1）<D（ξ2）B．E（ξ1)〈E(ξ2),D(ξ1）>D（ξ2)C．E（ξ1）>E（ξ2）,D(ξ1)<D（ξ2）D．E(ξ1)>E(ξ2)，D（ξ1）>D（ξ2)答案A解析∵E(ξ1）＝0×(1－p1）＋1×p1＝p1,同理,E（ξ2)＝p2，又0〈p1<p2,∴E（ξ1）<E(ξ2）．D（ξ1）＝(0－p1)2(1－p1)＋(1－p1）2·p1＝p1－peq\o\al（2,1），同理，D（ξ2)＝p2－peq\o\al(2,2).D(ξ1）－D(ξ2)＝p1－p2－(peq\o\al(2，1）－peq\o\al（2，2））＝（p1－p2）(1－p1－p2）．∵0〈p1<p2<eq\f(1,2）,∴1－p1－p2>0，∴(p1－p2）(1－p1－p2）〈0?！郉（ξ1）〈D（ξ2)．故選A。2．(2015·湖北高考）設(shè)X～N（μ1，σeq\o\al(2,1)），Y~N(μ2，σeq\o\al(2，2）），這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（）A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t）≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P（X≥t）≥P（Y≥t）答案C解析由題圖可知μ1〈0〈μ2,σ1〈σ2，∴P(Y≥μ2）〈P（Y≥μ1),故A錯誤；P（X≤σ2）>P（X≤σ1),故B錯誤；當(dāng)t為任意正數(shù)時，由題圖可知P（X≤t)≥P（Y≤t)，而P(X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t)＝1－P(Y≥t）,∴P（X≥t)≤P（Y≥t),故C正確，D錯誤．故選C。3．(2018·安徽模擬）某小區(qū)有1000戶，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300，102），則用電量在320度以上的戶數(shù)約為（）(參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P（μ－σ<ξ≤μ＋σ）＝68。26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ〈ξ≤μ＋3σ)＝99.74%）A．17B．23C．34D．46答案B解析P（ξ〉320）＝eq\f（1，2）×［1－P(280〈ξ≤320）]＝eq\f(1，2）×(1－95。44%)＝0。0228，0．0228×1000＝22。8≈23,∴用電量在320度以上的戶數(shù)約為23.故選B。4．（2017·全國卷Ⅱ）一批產(chǎn)品的二等品率為0。02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D（X)＝________。答案1.96解析由題意得X~B(100，0。02）,∴D(X）＝100×0。02×（1－0。02）＝1.96.[重點(diǎn)保分兩級優(yōu)選練]A級一、選擇題1．已知ξ的分布列為ξ－101Peq\f（1，2)eq\f(1，3）eq\f（1，6）則在下列式中：①E(ξ）＝－eq\f(1，3)；②D（ξ）＝eq\f(23，27)；③P（ξ＝0)＝eq\f（1,3）。正確的個數(shù)是（)A．0B．1C．2D．3答案C解析E(ξ）＝（－1）×eq\f(1，2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f（1，3），故①正確．D(ξ)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－1＋\f(1,3）））2×eq\f(1,2）＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,3)）)2×eq\f（1,3)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，3)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9），故②不正確．由分布列知③正確．故選C。2．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，則E（Y)，D（Y)分別是(）A．6和2.4 B．2和2。4C．2和5。6 D．6和5。6答案B解析由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以Y＝8－X.因此，求得E（Y）＝8－E(X）＝8－10×0。6＝2，D(Y）＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2。4。故選B。3．(2018·廣東茂名模擬)若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Peq\f（a,2）eq\f（a2,2）則X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝（)A．2B．2或eq\f（1，2)C。eq\f（1，2）D．1答案C解析因?yàn)榉植剂兄懈怕屎蜑?，所以eq\f（a,2)＋eq\f(a2，2）＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去）或a＝1,所以E（X）＝eq\f(1,2）.故選C.4．（2017·青島質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ不存在零點(diǎn)的概率為(）A.eq\f（1，2）B。eq\f（2，3）C.eq\f（3，4）D.eq\f（4，5)答案A解析函數(shù)f（x）＝x2＋2x＋ξ不存在零點(diǎn)的條件是Δ＝22－4×1×ξ〈0，解得ξ〉1.又ξ～N（1，σ2），所以P（ξ〉1）＝eq\f（1，2），即所求事件的概率為eq\f（1,2)。故選A.5．（2018·山東聊城重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知服從正態(tài)分布N（μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間（μ－σ，μ＋σ),(μ－2σ，μ＋2σ）和(μ－3σ，μ＋3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%，95.4%和99.7％.某校為高一年級1000名新生每人定制一套校服，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，學(xué)生的身高（單位：cm)服從正態(tài)分布（165,52），則適合身高在155~175cm范圍內(nèi)的校服大約要定制()A．683套B．954套C．972套D．997套答案B解析P(155〈ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2）＝P(μ－2σ〈ξ<μ＋2σ）＝95。4％。因此服裝大約定制1000×95.4%＝954套．故選B。6．(2018·皖南十校聯(lián)考）在某市1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(98，100)．已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約9450人．某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第多少名?（)A．1500B．1700C．4500D．8000答案A解析因?yàn)閷W(xué)生的數(shù)學(xué)成績X~N（98,100),所以P（X≥108)＝eq\f（1,2）［1－P（88<X<108）]＝eq\f（1,2)［1－P(μ－σ<X〈μ＋σ)]＝eq\f（1,2）（1－0。6826）＝0。1587，故該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第0。1587×9450≈1500名,故選A。7．（2017·銀川一中一模)一個籃球運(yùn)動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b,不得分的概率為c,（a，b,c∈(0,1)），已知他投籃得分的數(shù)學(xué)期望是2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b）的最小值為（）A。eq\f（32，3)B。eq\f(28,3）C。eq\f(14，3)D。eq\f（16，3）答案D解析由數(shù)學(xué)期望的定義可知3a＋2b＝2，所以eq\f（2,a）＋eq\f(1，3b）＝eq\f(1,2)（3a＋2b）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,a）＋\f(1，3b）))＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\（\a\vs4\al\co1（)）6＋eq\f(2，3)＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b）eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(）)≥eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(6＋\f（2，3）＋4))＝eq\f（16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（4b,a）＝eq\f(a,b)即a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f（1,4)時取得等號．故選D.8．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2，3),P（X＝x2)＝eq\f（1,3），且x1<x2，又已知E(X）＝eq\f（4,3)，D（X)＝eq\f（2，9)，則x1＋x2的值為（)A。eq\f（5，3）B.eq\f（7,3)C．3D.eq\f（11，3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f（2,3）＋x2·\f(1，3）＝\f（4,3),，\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x1－\f（4，3））)2·\f(2，3)＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x2－\f（4，3)）)2·\f(1，3)＝\f(2,9)，）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f（5，3），,x2＝\f（2，3））)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝1，,x2＝2。))又∵x1〈x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x1＝1,,x2＝2，)）∴x1＋x2＝3。故選C.9．（2018·廣州調(diào)研）已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N（μ，σ2)，且P（μ－2σ〈x≤μ＋2σ)＝0。9544，P（μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1,則P(5〈x〈6）等于()A．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.2718答案B解析由題知x~N(4,1),作出相應(yīng)的正態(tài)曲線,如圖，依題意P(2〈x≤6)＝0。9544,P(3〈x≤5）＝0。6826，即曲邊梯形ABCD的面積為0.9544，曲邊梯形EFGH的面積為0。6826，其中A,E，F(xiàn)，B的橫坐標(biāo)分別是2，3，5,6，由曲線關(guān)于直線x＝4對稱，可知曲邊梯形FBCG的面積為eq\f(0。9544－0。6826，2)＝0.1359，即P（5<x<6)＝0.1359，故選B.10．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是:每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功,則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)某學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0），發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X）〉1。75,則p的取值范圍是()A。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(7，12)）)B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（1,2）))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12），1)）D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，1））答案B解析根據(jù)題意，學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p，即P(X＝1)＝p，發(fā)球二次的概率P（X＝2)＝p（1－p)，發(fā)球三次的概率P（X＝3)＝(1－p）2，則E（X)＝p＋2p（1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依題意有E（X）>1.75，則p2－3p＋3>1。75，解得p〉eq\f(5，2)或p〈eq\f（1，2）,結(jié)合p的實(shí)際意義,可得0<p〈eq\f(1,2），即p∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（1,2）)).故選B.二、填空題11．某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f（2，3），得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若P(X＝0）＝eq\f(1，12）,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X）＝______。答案eq\f(5，3）解析∵P(X＝0)＝eq\f(1,3)×(1－p）2＝eq\f(1，12），∴p＝eq\f（1,2）.則P（X＝1)＝eq\f(2，3）×eq\f(1，2）×eq\f(1,2)＋eq\f(1，3）×eq\f(1,2)×eq\f（1,2)×2＝eq\f（4,12)＝eq\f(1,3)，P(X＝2）＝eq\f（2，3）×eq\f（1,2)×eq\f（1,2）×2＋eq\f(1,3)×eq\f（1,2)×eq\f（1，2）＝eq\f（5,12），P（X＝3)＝eq\f（2，3)×eq\f（1,2)×eq\f（1,2）＝eq\f（1,6).則E（X)＝0×eq\f（1,12)＋1×eq\f（1,3)＋2×eq\f（5，12)＋3×eq\f（1,6）＝eq\f(5,3）。12．某省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三共有學(xué)生600人,一次數(shù)學(xué)考試的成績(試卷滿分150分)服從正態(tài)分布N（100，σ2)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示學(xué)生考試成績在80分到100分之間的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的eq\f(1，3)，則此次考試成績不低于120分的學(xué)生約有________人．答案100解析∵數(shù)學(xué)考試成績ξ～N(100,σ2），作出正態(tài)分布圖象，可能看出，圖象關(guān)于直線x＝100對稱．顯然P(80≤ξ≤100)＝P（100≤ξ≤120）＝eq\f(1,3)；∴P（ξ≤80)＝P（ξ≥120）．又∵P（ξ≤80)＋P(ξ≥120）＝1－P(80≤ξ≤100)－P（100≤ξ≤120)＝eq\f(1，3)，∴P(ξ≥120）＝eq\f（1,2)×eq\f(1，3）＝eq\f（1,6）。∴成績不低于120分的學(xué)生約為600×eq\f(1，6)＝100人．13．(2018·滄州七校聯(lián)考)2017年中國汽車銷售量達(dá)到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響,各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升,并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2),已知耗油量ξ∈[7,9］的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有答案180解析由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸．又因?yàn)镻(7≤ξ≤9)＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P(8≤ξ≤9)＝0。7,所以P(8≤ξ≤9）＝0.35.而P(ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ〉9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝18014．（2017·安徽蚌埠模擬）賭博有陷阱．某種賭博游戲每局的規(guī)則是:參與者從標(biāo)有5，6,7,8,9的小球中隨機(jī)摸取一個(除數(shù)字不同外，其余均相同），將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)，然后放回該小球,再隨機(jī)摸取兩個小球,將兩個小球上數(shù)字之差的絕對值的2倍作為其獎金(單位:元)．若隨機(jī)變量ξ和η分別表示參與者在每一局賭博游戲中的賭金與獎金,則E(ξ）－E（η）＝________元．答案3解析ξ的分布列為ξ56789Peq\f（1,5)eq\f（1，5)eq\f（1，5）eq\f(1，5)eq\f（1,5)E(ξ)＝eq\f（1，5)×(5＋6＋7＋8＋9）＝7（元）．η的分布列為η2468Peq\f(2,5)eq\f（3，10)eq\f(1,5）eq\f（1,10)E（η）＝2×eq\f(2，5)＋4×eq\f（3，10)＋6×eq\f(1,5)＋8×eq\f（1，10)＝4(元)，∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元）．故答案為3。B級三、解答題15．(2018·湖北八校第二次聯(lián)考）某手機(jī)賣場對市民進(jìn)行國產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查，隨機(jī)抽取100名市民,按年齡（單位：歲)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下：分組（歲）頻數(shù)[25，30）x［30，35)y[35，40）35［40,45)30［45,50］10合計(jì)100(1)求頻率分布表中x、y的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2)在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加國產(chǎn)手機(jī)用戶體驗(yàn)問卷調(diào)查，現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈送精美禮品一份,設(shè)這2名市民中年齡在［35,40）內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解（1)由題意知，［25,30）內(nèi)的頻率為0。01×5＝0.05,故x＝100×0。05＝5.因［30，35）內(nèi)的頻率為1－（0。05＋0.35＋0.3＋0。1）＝1－0。8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且［30,35)這組對應(yīng)的eq\f(頻率，組距）＝eq\f（0。2,5)＝0.04.補(bǔ)全頻率分布直方圖略．（2)∵年齡從小到大的各層人數(shù)之間的比為5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年齡在[35,40)內(nèi)的人數(shù)為7.X可取0,1，2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,13），C\o\al（2，20)）＝eq\f（78,190）,P(X＝1)＝eq\f(C\o\al（1,13)C\o\al（1，7）,C\o\al（2，20)）＝eq\f（91,190)，P（X＝2）＝eq\f(C\o\al（2，7)，C\o\al(2,20)）＝eq\f(21，190)，故X的分布列為X012Peq\f(78，190)eq\f(91，190)eq\f(21，190）故E(X）＝eq\f（91,190)×1＋eq\f(21，190）×2＝eq\f(133，190）.16．新生兒Apgar評分，即阿氏評分，是對新生兒出生后總體狀況的一個評估，主要從呼吸、心率、反射、膚色、肌張力這幾個方面評分,評分在8～10分者為正常新生兒,評分在4～7分的新生兒考慮患有輕度窒息,評分在4分以下的新生兒考慮患有重度窒息,大部分新生兒的評分在7～10分之間．某醫(yī)院婦產(chǎn)科從9月份出生的新生兒中隨機(jī)抽取了16名,表格記錄了他們的評分情況．分?jǐn)?shù)段[0，7）［7，8)[8，9)［9,10］新生兒數(shù)1384（1）現(xiàn)從這16名新生兒中隨機(jī)抽取3名,求至多有1名新生兒的評分不低于9分的概率；（2)用這16名新生兒的Apgar評分來估計(jì)本年度新生兒的總體狀況，若從本年度新生兒中任選3名，記X表示抽到評分不低于9分的新生兒數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解(1）設(shè)Ai表示所抽取的3名新生兒中有i名的評分不低于9分，“至多有1名新生兒的評分不低于9分”記為事件A，則由表格中數(shù)據(jù)可知P（A）＝P(A0)＋P(A1)＝eq\f（C\o\al(3，12），C\o\al(3，16)）＋eq\f(C\o\al（1,4)C\o\al（2,12）,C\o\al（3，16）)＝eq\f(121,140）.（2）由表格數(shù)據(jù)知，從本年度新生兒中任選1名，評分不低于9分的概率為eq\f(4，16）＝eq\f(1，4），由題意知隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1，2，3，且P（X＝0）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，4））)3＝eq\f（27，64);P（X＝1）＝Ceq\o\al（1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,4)))1eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,4）)）2＝eq\f（27,64);P(X＝2)＝Ceq\o\al(2，3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,4)）)2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))1＝eq\f(9，64);P（X＝3）＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，4））)3＝eq\f(1，64).所以X的分布列為X0123Peq\f（27，64)eq\f（27,64）eq\f(9,64)eq\f（1,64）E（X)＝0×eq\f（27，64)＋1×eq\f（27，64）＋2×eq\f（9,64)＋3×eq\f（1,64)＝0.75eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（或EX＝3×\f(1，4)＝0.75)）.17．(2015·湖南高考)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中各隨機(jī)摸出1個球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球,則