圓錐曲線結(jié)論

數(shù)橢與雙線的偶質(zhì)-（必背經(jīng)典論）

yxF

O

F橢必的典論

點處切線PT分eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在處的角1D

以焦點半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑內(nèi)切1TF1

O2B

1

F1

O

F2B

1PT平分eq\o\ac(△,)在處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點1軌跡是以長軸為徑的圓，除長軸的兩個端.

若

Px,y00

在橢圓

2y2ab2

上，則過

P

的橢圓的切線方是

H

D

xy0ab2

T

yF1

OF2

PB

1

x

以焦點弦PQ為徑的圓必與對應(yīng)準相離.

B

第1頁

1212

若

Px,00

在橢圓

2y2ab

外，過作圓的兩條切線切點

橢

2y2ab

（a＞b＞）的焦半公：為、，切點弦P的直線方程是122

xy0ab2

MF||MF((F(xy)01200y

).PA

xP

F

O

F

B

2y2橢圓(＞＞的右焦點分別為F點為橢圓上ab2任意一點FPF則橢圓焦點三角形的面為2

設(shè)過橢圓焦點作線與橢圓相交、Q兩，A為圓長軸一個頂點連結(jié)和AQ分交相應(yīng)于焦點的圓準線于MN兩，S

tan

2

則MF⊥NF.y

θ

P

N

P

M

x

F1

O

1

F2

Q

A

M

A1

1

O2B1

Q

A2

N

10.過橢圓一個焦點F的線與橢圓交于兩點Q,A、A為圓長軸1的頂點AP和AQ交點M，和A交點N，則MFNF.1第2頁

a2aa2a11.橢圓

2y2ab2

的不平行于對稱的弦

xy)00

為AB的

若

Px,y00

在橢圓

2y2ab

內(nèi)，則過的弦中點的軌跡方程是點，則

b，即KOMABAB

xy

xy0a2ab2

yA

F

O

M

F

AA

A1

OMA0

xB

Q212.若P(x,y在橢圓002xy0a2b

b

內(nèi)被Po所分的中點的方程是

14.橢圓的光學(xué)特PF1

OF2

QA

F

O

F

AA

B

1BB

第3頁

aa1121200OMABABaa221、2雙線aa1121200OMABABaa221、2

兩點，則⊥NF.

點處切線PT分eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P處的角.1

過雙曲線一個焦的線與雙線交于兩點P、Q,A、A為曲線12平分eq\o\ac(△,)在P處內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點1

實軸上的頂點AP和AQ交于點MAP和AQ交點N，⊥NF.1軌跡是以長軸為徑的圓，除長軸的兩個端以點弦為徑的圓必與應(yīng)準線相.

AB是曲線

2yab

（a＞）不平于對稱軸的，以點半徑PF為徑的圓必與實軸為直徑的相.內(nèi)切P在1右支；外切P在左支）2y若(x,y在雙曲線（a＞0上，則過的曲線000xy的切線方程是0ab22y若(x,y在雙曲線（＞＞0）外，則過作曲00xxy線的兩條切線切為、，則切點弦PP的線方程是0.a2b2y雙線（＞＞o的左右焦點分為，F(xiàn)，P為a

xbxMy為AB的點，則K0，即K。yy02y若(y)在曲線（＞＞0內(nèi)，則被Po所分00xyy2的中點弦的方程00.a22ab22y若(y)在曲線（＞＞0內(nèi)，則過Po的中00xy點的軌跡方程是a2ab2橢與雙線的偶質(zhì)（推導(dǎo)經(jīng)典論雙曲上任意一點

2

，則雙線的焦點角形的面積為

橢

圓St.22雙線＞0,b＞焦半公((,0),c,0)a當M(,y在支時|MF|00當M(,y在支時MF|0102設(shè)雙曲線點F作線與雙曲線相交P、Q兩，為雙曲長軸上一個頂點，連AP和AQ分交相應(yīng)于焦點的曲準線于M、

橢圓會推導(dǎo)經(jīng)典結(jié)2y2橢（＞b＞o）ab的兩個頂點為A,0)(a與y軸平行的直線交橢于時AP與A交的軌跡方11222y程是.ab第4頁

1BC121BC12

過橢圓

a

b2

(a＞b＞0)上一點

A,y

任意作兩條

設(shè)橢圓

2y2（＞b0）的兩個焦為F（于長軸ab2傾斜角互補的直交橢圓于2k0（常數(shù)）2yyA

兩，則直線BC有定向且

端點）為橢圓上任意一點，在△F中，記PF12cF則.y

F

O

F

C

x

P

A'

α

γ

x

若M為圓

2y2ab

（＞b）上異長軸端點的任點，

B

F、F是焦點,12aant.a22

MFF

MFF1

，則

2若橢圓（＞＞）的左、右焦點分別為F、F，左ab2準線為L則＜≤時可在橢圓上求一點P使1y

是到應(yīng)準線距離與的例中2MF

α

O

βF

x

]第5頁

2222為圓

a

2b

（＞b＞0上任一F為二焦點，A為1

yQ橢圓內(nèi)一定點，

2AFPA|PF2AF|1

且僅

P

x當

A,F,P

三點共線時，等成

O

P

過橢圓

2y2＞b0右焦點F作線該橢圓于ab2F

AOF

兩點，弦的直平分線交軸于P，則

|PF|MN|2

B

y

橢圓

(x)a2

(y)0直線Byb2

有公共點

M

x的充要條件是

A

a

B

b

(AxBy)0

O

PF

已知橢圓

2y2ab2

（＞b＞0O為標原點P、Q為圓

B

N上兩動點，且OPOQ.1111（）|OP|2|OQ|a2

2+|OQ|

的最大值為

42b2a2

;

2y210.已知橢圓ab）,AB、橢圓上的兩點線ab段AB的垂直平分與軸交于點P,0)則（）

的最小值是

aa

b

a

a

a

a

第6頁

y

S

2b2b

cot

yP

x

P

OF2

γA

MB

AF

OF

β

x11.

設(shè)點橢圓

2y2ab

（＞b上異于長端點的任一

點F、F為焦點記12

PF

，則

13.已知橢圓

2y2＞b＞的右準線lx軸交點，ab

|PF||PF|

221

S

F

2

2

過橢圓右焦點

F

的直線與橢圓相于AB兩,

C

在右準線

l上，且

//

軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的點.yPθ

AF

OFB

OF

MEB12.

設(shè)A、是圓

2y2ab

（＞＞0）的長軸兩端點P是圓上的一點，

PBA

e分是橢圓的半焦距離心率，則有(1)

|

ab|cos

第7頁

111214.過圓焦半徑的端點橢圓的切線與以長軸為直徑圓相交，則相應(yīng)交點與相焦點的連線與切線垂1112yL

比為常數(shù)e(離心率).（注在橢焦三角形中,非頂點的內(nèi)、外角分線與長軸點分別稱為內(nèi)、外點）K

2圓焦三角形,內(nèi)心將內(nèi)點非焦頂點連線分成定比e.xF1

OF2

E

3圓焦三角形,半焦距必為、外點到橢圓心的比例中.15.過圓焦半徑的端點橢圓的切線相應(yīng)準線于一點則該點與

橢與雙線的偶質(zhì)會推的典結(jié)雙線焦點的連線必與半徑互相垂

雙曲線

2yab

（a0,b）的兩頂點為

A,0)

A(a,0)

，y

Q

與y軸平行的直線交曲線于P時A與A交的軌跡方程是2y2.ab

x

過雙曲線

22a

（0,bo上任一點

x,

任意作兩條傾F1

OF2

E

斜角互補的直線雙曲線于兩點，則直線BC有向且（常數(shù)）.

k

BC

22y1.

橢圓焦三角形中,內(nèi)到一焦的距離與以該焦為端點的焦半徑之

若為曲線

22a

（＞0）右（或左支上除頂點的任第8頁

12OPQ11122212OPQ111222一點F,是點,1

PFF2

PF

，則

cc2

已知雙曲線

2yab

＞＞為標原點PQ為曲線（或

ct）.c2y設(shè)雙曲線（＞＞）的兩個焦點為、（異于長軸ab

上兩動點，且OP.1111a2b（）+|OQ|的小值為（3|OP|2|OQ|a2b2a22的最小值是b2端點）為雙曲線上任意一點，在△PFF中，記1sinPFFF則.a

F2

2y過曲線a＞＞的右焦點F作直線交雙曲線的右a|PFe支于兩，弦的直平分線交x于P，則||2y若曲線（a＞0的左、右焦分別為FF，準ab線為L，則當＜≤2，可在曲線上求一點，得是到1對應(yīng)準線距離d與的例項22yP為曲線（＞＞0上任一F為焦點A為ab雙曲線內(nèi)一定點AF|PA當且僅AFP三共1且和A在y軸同側(cè)時，等號2y雙線＞＞0）直線By有共點的a

2y已雙曲線（＞0,b＞0,AB是曲線上的兩點線段aba22的垂直平分線與x軸相交于點x,0)則x或aa22a22設(shè)點雙曲線0于實軸點的任一F、a22F為其焦點記PF，則(1)PF||PF|1S.2y設(shè)A、是曲線（＞＞）的長軸兩端點，是曲a線上的一點，,BPAc分別是雙曲線的充要條件是

22

半焦距離心率，有(1)

|

2ab2cos22

第9頁

212212

tan

S

PAB

2b2b

已知雙曲線

2ya

（＞＞0）右準線l與軸相交于點E，

有拋物焦點問的探過拋物線

y

2px

的點作條直線L和拋物線相交于過雙曲線右焦點F直線與雙曲線交于A、B兩點C在右準線l上且

軸，則直線AC經(jīng)線段EF的中點.

A

()11

、

()2

兩點

過雙曲線焦半徑端點作雙曲的切線，與以軸為直徑的相交，則相應(yīng)交點與相焦點的連線與切線垂

過雙曲線焦半徑端點作雙曲的切線交相應(yīng)線于一點，該點與焦點的連線必與半徑互相垂4.

雙曲線焦三角形,外到一焦點的距離與以該點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率.(注:雙曲線焦角形中,非頂點的內(nèi)角分線與長軸點分別稱為內(nèi)、外點.1.

雙曲線焦三角形,其焦點所的旁心將外點與焦頂點連線段分成定比e.2.雙曲線焦三角形,半焦必為內(nèi)、外點到曲線中心的例中.

xp結(jié)論12ABAFx1第頁

p)x)xxp2

2p22p2結(jié)論：若線L的傾角為，則長

AB

2

OBFAF

OFBFOF

證:(1)若

2

時直L的率不存，此時

為物的通

OFAF22sin

徑,AB結(jié)論得證

8(2)

2

時,設(shè)直線L的程為：

ppyx)tany2

結(jié)論5(1)

y1

2

12

p24代入拋物線方程得

y

p20

由韋達定理yy1

2

,yy21

證

yx2

,x2

(y2P2224由弦長公式得

AB

2y2p212

2psin

結(jié)論6以為徑圓拋物的線相切證：設(shè)M為AB的點，過A點準線的垂線AA，過B點準線1過M點準線的垂線MM，梯形的中線性質(zhì)和拋物線的定義知1結(jié)論：過焦的弦通長小2psin2pAB

的最小值為

2p

即焦點的弦長中

AABBMM結(jié)論7連AF、B則AF11

AB

故結(jié)論得證通徑長最短.

AAOFFFA同理

FBAFB90111

AFB1結(jié)論：

S

oAB8

為第頁

oB22111121AAMM結(jié)論8AMBM（2）MFAB（）AFoB22111121AAMM1（）AM與AF相于H，MB與FB相交Q則MQ111F，H四點圓

證為

oA

y2yk22yypp12p

y1

2（）AM4M11證：由結(jié)論）M在以AB直徑的圓AMBM1FB為角三角，M是斜邊AB的點11AMFAFF111111

所以結(jié)論10：

2y2ppy21

所以三點共線。理可得2）AAFMM901111AFAFM9011

證：過A作AR垂X軸點R過B點作BS垂直X軸于點，準線與軸點為因為直線L傾斜角為則M1MAFAM90ABF

EFAFcos1

AFAF

P1

FB11

同理可得

1FAFB所以MQF,H四共，AMM111

結(jié)論：

線段F平分角PEQ

AFAEBF

(3)K

AE

結(jié)論9（1）A、B三共（）BOA三共11（）直AO與物線準的交點為B則平行X軸1

(4)當

時,當

時不垂直于B（）設(shè)線BO拋物的線交點A，AA行于X1軸第頁

222221122，∴．222224代入y12222221122，∴．222224代入y12BBEFAA

BFFA

B,FAA

k2242k2E90相似于EBA＝111＋＝9011BEF即F

可能假設(shè)錯誤結(jié)論得證深化：性中，把弦AB過點為AB過對稱軸上一點（a,0

BF

線A線BE關(guān)X軸對K＋K0AEBE

則有

y2

．證：設(shè)AB方程為my=x-a，代入

y

．得：

當

2

時，AF＝EF＝90

y2深化2：焦點弦AB不垂直于x軸，的中垂線交當

時，設(shè)直程-其代入方2x

軸于點R，則

|||AB|2p2kx-p(k4A(x,y),B(x,y)則1212

pk2

xx=12

p24

假

設(shè)

y)證明：設(shè)AB的斜角為，直線AB的程為：2pa(xpx)得：，

，yyAEBEK＝AEp22

pxa)即：．由性質(zhì)得pppp即yy-222

AB

2psina

，第頁

pctga|22)ABxxppctga|22)AB2又設(shè)AB的點為M則cosacosaFMa|||∴|cosa|asin，．

，

5.x13126.;AFP7.AO、'三共線；8.BO、A三共線；

p2)2sin

;9.

S

AOB

2sin

；

10.

S

P32

（定值11.

AF

；

BF

；C'

12.BC'垂平分B；13.AC垂平F；

14.

C

F

；總結(jié)：基礎(chǔ)回顧1.以AB為直徑的圓與準線

L

相切；

15.16.17.18.

AB；11'AB('BB')22K=；yy=;x-p

；1.2.

2xy

;;

19.20.

A'B'AF1.2

;3.4.

AC'B90'FB'90

;;

21.切線方程

yp00

第頁

p性質(zhì)深究一)焦弦與切線p

結(jié)論10

FA

、過物線焦點弦的兩端點作拋物的切線線點位置有何特殊之處？

結(jié)論11

PABmin

結(jié)論1交點在準線當弦x軸時，則點的標為

,0

線上．

二)焦點弦與切線思考弦AB不過焦線于P點，結(jié)論切交點與弦中點連線行于對稱軸

也有與上述結(jié)論類似結(jié)果：結(jié)論3弦AB不過焦點即切線交點不準線上時，切線交與弦中點的連線也平行對稱軸．

結(jié)論12

①

xp

y122

，

yyy2

2、上述命題的逆命題否成立？

結(jié)論13PA平分同PB分1結(jié)論過物線準上任一點作拋物的切線，則過兩切點的弦必焦點

∠．1結(jié)論14

PFB過準線與軸交點作拋物的切線，則過切點AB的必過焦．

結(jié)論15點M平PQ結(jié)論5過線上任一點拋物線的切，過兩切點的最短時，即通徑．

結(jié)論16

FA

AB是物線

y

2（p0點弦，Q是的中點，l是物線的準線，AAl，BBl1

，過AB的線相于，與物線交于點M則有結(jié)論6PB．結(jié)論7⊥．結(jié)論M平PQ結(jié)論PA平∠AAB，平B．11第頁

1．11若

在橢圓

外，則過Po作橢圓的兩條切線2．標準方程：切點為、，則點弦PP的線方程是.3．4．點的切線平分eq\o\ac(△,)F在處的外角.5．PT平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P處外角，則焦點在線PT上射影點軌跡是以長軸為徑的圓，除長軸的兩個端.6．以焦點弦PQ為徑的圓必與對應(yīng)準線相.7．以焦點半徑PF為徑的圓與以長軸為直的圓內(nèi).

12AB橢圓中點，則.

的不平行于對稱且過原點的M為8．設(shè)A為橢圓的左、右點，則eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在邊PF（PF上的旁

13若

在橢圓

內(nèi)，則被Po所平的中點弦的方切圓，必與所在的直線切A（）.9．橢圓（＞＞）兩個頂點為,，與

程是.y軸平行的直線交橢圓于PP時P與A點軌跡方程是

14若

在橢圓

內(nèi)，則過Po的弦點的軌跡方程10若

在橢圓

上，則過

的橢圓的切線方是

是..

15．若PQ是橢圓（a＞b＞）上中心張直角弦，則.第頁

16．若橢圓

（＞b＞）上中張直角的弦L在直線方程

19過橢圓(a＞＞0)上任一點

任意作兩條為

,

則傾斜角互補的直交橢圓于兩點直線有定且

（常(1)17．給定橢圓

;(2)：

.（＞＞）：

數(shù)）.20橢圓

(a＞＞0)左右點分別為FF點P橢圓上任意一點

，則橢圓的焦點形的面積為,i)對

上任意給定的點,它，.任一直角弦必須過

上一定點M(

.(ii)對

上任一點

在

上存在唯一的點

,得

的任21P為橢圓（＞＞于軸端點的任一,,F

一直角弦都經(jīng)過

點.是焦點,，.18．設(shè)為橢圓（或圓）(a＞0,.b＞0)上一點，PP曲線的動,且弦PP,P斜率存，記為k,,則直線

22橢圓

（＞＞）的焦徑公式：,

(,P通過定點

的充要條件是.).第頁

23．若橢圓線為，則當

（＞b＞）的左右焦點分別為F、F左準29．A,B為橢圓

上兩點，其直線AB與0＜e

時，可在橢圓上一點P，使PF是P到應(yīng)線距離d與

圓

相交于,則.PF的比例中.30．在橢圓

中，定長為（＜≤）弦中點軌跡方程24P橢圓（a＞＞0）上任,F,F為焦點A橢圓內(nèi)一定點，則,當且當三點共線時，等成.25圓（＞＞存在兩點關(guān)直線：

為,其中,當

時,.31．設(shè)S為橢圓（＞＞）的通，定長線段L的兩端對稱的充要條件.

點A,B在橢圓上移動，記|AB|=，

是點，則當

時，26過圓焦半的端點作橢的切線與以長軸為直徑的相交則相應(yīng)交點與相應(yīng)點的連線必切線垂.27．過橢圓焦半徑的端點作橢的切線交相應(yīng)線于一點，該點與焦點的連線必與半徑互相垂.28．是圓（＞b＞0上一點則點P對橢兩焦點

有,);當,.

時，有32．橢圓

與直線

有公共點的充要件是張直角的充要條是

.第頁

38．是經(jīng)橢

（＞＞0）焦點任一弦，若33．橢

與直線

有公共點的充要條件是

.

過橢圓中心O的半弦，則

.34設(shè)橢圓（＞＞）的兩個焦點FF（于長軸

39．設(shè)橢圓（＞＞）,M(m,o)或o,為對稱軸上端點）為橢圓上任意一點，在△PFF

中，記

除中心，頂點外任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、兩點則直,

,，有.

線APQ(AA為稱軸上的兩頂?shù)慕稽cN在線：,

(或)35經(jīng)過橢圓

（a＞0的長的兩端點A和

上.

40．設(shè)過橢圓焦點作直線與橢圓相交PQ兩，為圓長軸上的切線，與橢圓任一點的切相交于和P，則

.

一個頂點，連結(jié)和AQ分交相應(yīng)于焦點F的圓準線M、兩點則MFNF.41．過橢圓一個焦點F的直線橢圓交于兩點P、A、為圓長36已知橢圓（＞＞），為坐標原點，、為橢上兩動點1）2+|OQ|

軸上的頂點AP和AQ交點M，PAQ交于點N，MF⊥NF.42橢圓方程,斜率為k(k≠0)的平行弦的中必在直的最大值為;（3）

的最小值是.

線：

的共軛直線

上,且.37MN是經(jīng)橢（＞＞）焦點的一弦，若是過橢圓心O且平于MN的弦，則

.第頁

43設(shè)ABCD為圓

上四點ABCD所在線的傾47．設(shè)A（,y）橢圓（＞＞）任一點，過A作角分別為

，直線AB與CD相交于P,且不在橢圓上,則一條斜率為

的直線L設(shè)d是點直的距,

分別是.

A橢圓兩焦點距離，則

.44已知橢圓圓的焦點，

（a＞＞）點P為其上一點F,為橢的外（內(nèi)）角平線為，F(xiàn)F分垂直于R、，

48橢圓（a＞0（一直線順次與它相交于A、、C、四，則│=|CD│當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是

49．已知橢圓（a＞＞）,A、、是橢圓上的兩點，(

).

線段AB的垂直平分線軸相交于點

,

則45設(shè)內(nèi)接橢圓，AB為

的直徑，為AB的軛直徑所.在的直線，分別直線ACBC于E和F又D為上點則CD與橢相切的充要條件D為EF的點

50．設(shè)P點是橢圓

（ab＞）上于長軸端點的任一46過橢圓（＞＞0）的右焦點F作直交該橢圓右支

點,F

、F

為

其

焦

點

記，

則于M,N兩點，弦MN的垂平線交軸于P，(1).(2).第頁

51設(shè)過橢圓的軸上一點Bm,o作直線與圓相交于P、Q點，A為圓長軸的頂點AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點的線MN：

為銳角且

或（且僅當

時取等號）.于MN點則.55．已知橢圓

（＞b＞），線L通過右焦點F,且52L經(jīng)過橢圓（ab0長軸頂點A且長軸垂直

與橢圓相交于A、B兩點，A、B與橢圓左焦點F連起來，則的直線EF是橢兩個焦點離心率點

，若，（當且僅當AB⊥軸右邊不式取等號，是銳角且

或（且僅當

時取等號）

當且僅當A、F、三點線時左邊不等式取等.56．設(shè)、是橢圓（＞b＞）的軸兩端點，是53L是圓

（ab）的線A、B是圓的長軸圓上的一點，

,

,

分別橢的兩頂點點

，e離心率，，是L與X軸交c是

半

焦

距

離

心

率

，

則

有焦距，則

是銳角且

或（且僅當

時取

(1).(2).(3)等號）.54L橢圓是L與的交

（a＞＞0的線E、是個焦點H，,離心率為e焦距為c

57．設(shè)A、是橢（異于原點）、部的兩點，

（ab＞）長上分別位于橢圓內(nèi)、的橫坐標，1）若過第頁

A點直線與這圓相交于PQ兩，則

；（）若過61到橢圓

（ab兩點的距離之等于（c引直線與這橢圓交于P、Q點，則

.58設(shè)A、是橢（ab＞）軸上分別位橢圓內(nèi)（異于原點），部的兩點，1）若過A點引線與這橢圓相交于PQ

為半焦距）的動M的跡是姊妹圓.62．到圓（a＞＞）的軸端點的距離比等于兩點交橢圓于兩點不關(guān)軸對

，（半焦距）動點M的軌是姊妹圓

.則點、B的橫標、

滿足

；（）若過B點直線與這橢圓相交于、兩點且足.

,則點、B橫標滿63．到橢圓

（a＞＞）的準線和x軸交點的距離之比為

（半焦距）動點的軌跡姊妹圓59．設(shè)

是橢圓

的長軸的兩個端，

是與

垂

（e為心率）.64．已知P是橢

（a＞＞0）上個動點，

是它直的弦，則直線

與

的交點P軌跡雙曲線.長軸的兩個點,且

,

，則點的軌跡方程是60過圓（a＞＞的焦點CD.

作互相垂直的兩弦、.65．橢的一條直徑(過中心弦的長為通一個焦點且此直徑平行的弦長和長之長的比例.第頁

66橢圓（ab＞軸端為,

是69．

是橢圓（＞＞0）上一個定，PA、PB是互垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)一個點橢圓上的點過P作率為

的直線過

分別作垂直于長的直.（2以P、B為徑兩圓的另一線交于

,則

個交點軌跡程是（）

（2）四邊形

面積的最小值是.(

且67知圓

（ab＞右線與x軸交于點，).過橢圓右焦點

的直線與橢圓相于A、B兩點

在右準線上，且

70．如果一個橢圓短半軸長為b，焦點F、F到線

的距離分別為軸，則直線AC經(jīng)過段EF的中點.

d那（1）

，且F在

同側(cè)

直線L和圓相切.68OAOB是橢（a＞0,b＞）兩條互相垂直

（2在L同直線或F、在L異直和橢相交.

和橢圓相離

，的弦為標原1直AB必經(jīng)一個點.(2)以

71．AB是橢（＞＞）的長軸

是橢圓上的動點過

的切線與過AB的線交于

、

兩點則形的角線的交OAB為徑的圓的另一個點Q的跡方是點M的軌跡方程

..第頁

72設(shè)點

為橢圓（a＞＞）的內(nèi)部一定點

83．橢焦三角形中,過任一點向非焦頂點的角平分線引垂線則橢圓中心與垂足距離為橢圓半軸的.84．橢焦三角形中,過任一點向非焦頂點的角平分線引垂線垂足就是垂足同側(cè)半徑為直徑圓和橢圓長軸直徑的圓的AB橢圓

過定點

的任一弦，當弦AB平行或合）

85．橢圓焦三角形,非焦頂?shù)耐饨瞧椒志€與半徑、長軸在直線于橢圓長軸所在線時.弦AB垂直于長軸所在線,.

的夾角的余弦的為定值e.86．橢圓焦三角形,非焦頂?shù)姆ň€即為該頂?shù)膬?nèi)角平分.87．橢圓焦三角形,非焦頂?shù)那芯€即為該頂?shù)耐饨瞧椒?88橢圓焦三角中,過非焦點的切線與橢圓軸兩端點處切線相交,以兩交點為徑的圓必過兩焦.73圓焦三角中以焦半為直徑的圓必與橢圓長軸為徑的圓相內(nèi)切74橢圓焦三角的旁切圓必長軸于非焦頂同側(cè)的長軸

89.

已知橢圓(包括圓在內(nèi))上一點,75橢圓兩焦點橢圓焦三角旁切圓的切線為定值a+ca-c.

過點

分別作直線

及

的平行線，與直

分別交于76橢圓焦三角的非焦頂點其內(nèi)切圓的切長為定值a-c.77圓焦三角中內(nèi)點到焦點的距離與以焦點為端點焦半徑之比為常數(shù)e(離心率.注在橢圓焦三角中非頂?shù)膬?nèi)、外角平

,

為原點，則.分線與長軸交點別稱為內(nèi)、.78橢圓焦三角中,內(nèi)心將點與非焦頂點連段分成定比e.

（1；2.79橢圓焦三角中,半焦距為內(nèi)、外點到橢中心的比例.80圓焦三角形中橢中心到內(nèi)點的距離點同側(cè)焦的距離、

90.過平面上的

點作直線

及

的平行線半焦距及外點到側(cè)焦點的距成比.81橢圓焦三角,半焦距外點與橢圓中心線段、內(nèi)點同側(cè)焦

別交軸于交

軸于（若

則

的點連線段、外點同側(cè)焦點連段成比.82．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引線,則橢圓中心與垂足線必與另一半徑所在直線.第頁

軌跡方程是.(2)，則軌跡方程是.

的91.

點

為橢圓

(括圓在內(nèi)在一象限的弧上任意一點過

引軸、

軸的平行線，交

軸、軸于，交直線

于，記

與

的面積為，：.92.點

為第一象限內(nèi)一，過

引軸、

軸的平行線，交軸、軸交直線

于記

與

的面積為，已知，則.

的軌跡方程是第頁

1．

10若在雙曲線（＞＞）上，則過曲線的切線方程.

的雙2．標準方程：11．若

在雙曲線（＞0,b）外，過Po作3．4．點的切線平分eq\o\ac(△,)F在處的內(nèi)角.5．PT平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在P處內(nèi)角，則焦點在線PT上射影點軌跡是以長軸為徑的圓，除長軸的兩個端.6．以焦點弦PQ為徑的圓必與對應(yīng)準線相.7．以焦點半徑PF為徑的圓與以實軸為直的圓外.8．設(shè)A為雙曲線的左、頂點，PF在邊PF（或PF）上旁切圓，必與AA所的直線于或.

雙曲線的兩條切切點為P點弦的線方程是.12AB是雙線（a＞0的不平行于對稱且過原點的弦，AB的中點，則13若

在雙曲線（＞0,b）內(nèi)，則被Po所9曲線（＞0,b0兩頂點,，與軸平行的直線交雙曲線PP時與AP交的軌跡方程是

分的中點弦的方是.

14若中點的軌跡方程第頁

在雙曲線（＞0,b）內(nèi)，則過Po的.

15．若PQ是雙線（a＞）對中心張直角的弦，18．設(shè)

為雙曲線（＞0,b0）上一點P為線C動弦且弦PP,PP斜存在，記為,k,則線P通過定點則.的充要條件是

.16．若雙曲線

（b＞a＞）上心張直角的弦L在直線19過雙曲線

（a＞0,b上一點

任意作兩條方

程

為

,

則傾斜角互補的直交雙曲線于B,C兩直線BC有向且(1)17．給定雙曲線

;(2)：,i)對

.（常數(shù)）（ab0）,：20雙曲線上任意給定的點,它F，P為曲線上意一點

（＞0,b）的右焦點分別為F，則雙曲線的焦角形的面積任一直角弦必須過(ii)對上任一點

上一定點在

上存在唯一的點

.,得

的任

為，.21若雙曲

（a＞0,b0）右或左）支上除頂點外一直角弦都經(jīng)過

點.的點,F

是焦點,（或

）.

,，則第頁

22．雙曲線

（a＞0,b＞o）的焦半徑：

26曲線焦半的端點作雙曲線的切線長為直徑圓相交，則相應(yīng)交點與相焦點的連線與切線垂.27過雙曲線焦半徑的端點作曲線的切線交相準線于一點該(

,

與焦點的連線必焦半徑互相.當

在右支上時，

,

.

28P是曲線（＞＞）上點，則點P對雙曲線當

在左支上時，

,

.兩焦點張直角的要條件是

.23．若雙曲線

（a＞0,b＞）的左、右焦點分別為F，左準線為，則

29設(shè)為雙線（＞0,b，上點，1＜e時，可在雙曲線求一點P，得PF到對準線距離d與的比例中項

其直線AB與雙曲線

相交于,則.24．為雙線為雙曲線內(nèi)一定，則

（＞0,b0）上一,F,F為焦點A,當且當三點

30．在雙曲線

中，定長為（））的弦中點軌跡方程為共線且

和

在y軸同側(cè)時，號成立,其中,當

時,.25．雙曲線（a＞＞）上存在兩點關(guān)于直線：31．設(shè)S為雙曲（＞0,b）的徑，定長線段L對稱的充要條件

兩端點在雙曲線上移動AB|=，第頁

是AB中點

時，有,);當

時，35．經(jīng)過雙曲線（＞0,b＞）實軸的兩端點A和A的.

切線，與雙曲線任一點的切相交于和P，

.36．已知雙曲線

（ba＞），為標原點、Q為32雙線

（a＞0,b＞與線

有公共點的充要條件是

.

雙曲線上兩動點且.（

;（2）33．

（＞0）與直線

|OP|+|OQ|的小為

;（3

的最小值是.有

公

共

點

的

充

要

條

件

是37MN是過雙線（＞0,b過焦點的任交于.兩支AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平于MN的

.34設(shè)雙曲線（＞0,b＞）的兩個點為FF（異于長端點）為雙曲線上任意點，在△F中，

38是過雙線

（＞＞的任一弦(交同支，,,，

則

有若過雙曲線中心O的半弦

，則..第頁

39設(shè)雙曲線（＞0,b,M(m,o)為軸所在線上除44．已知雙曲線

（a0,b0）,點P為上點F,

中心，頂點外的一點，過M引條直線與雙曲相交于P、兩點則直

為雙曲線的焦點

的（內(nèi)角平分線為作FF分垂直于線APAQ(AA為頂點)的點在直：,

上

R、S，當跑遍個雙曲線時R、形的軌方程是40．設(shè)過雙曲線點F作線雙曲線相交P、Q兩點，為曲線長軸上一個頂點，連AP和AQ分交相應(yīng)于焦點F的曲線準線于、N點，則MFNF.

(

).41過雙曲線一焦點F的直線與雙曲線交于點P、Q,A、A為雙

45．三頂分別在雙曲線

上，且為

的直徑，為AB的曲線實軸上的頂，P和AQ交于M，AP和AQ交于點N則MF⊥NF.共軛直徑所在的線，分交直線ACBC于E和F，又D為上一點，則42曲線方則斜率為≠的行弦的點必在CD與曲線

相切的充要條件D為EF的中點直線：

的共軛直線

上,而且.

46．過雙曲線（＞0,b＞）的右焦F作直交該雙曲43設(shè)A、C、D為曲線

（a＞0,bo）上四點,AB、

線的右支于兩，弦MN的直平分線交x軸P，則.CD所直線的傾角分別為

，直線AB與相于P,且P在雙曲47．設(shè)A（,y）是雙曲線（＞0,b＞）任點，過線上,.A作一條斜率為

的直線，又設(shè)d是點到直L的距離,

分別是A到雙曲線兩焦點的距離則第頁

.

48．已知雙曲線

（＞0,b＞0）和52L是過雙曲線（＞＞）點且與軸直的（

），一條直線順與它們相交A、B、C、四點則│AB

直線雙曲實軸的兩個點是離心率點

，│=|CD.則

是銳角且

或（且僅當

時取等號49已知雙曲線（＞＞）、是曲線上兩點，53L經(jīng)過雙線

（a＞0,b）的軸頂點A與x軸線段AB的直平分線x軸相交于點,則

或垂直的直線、是雙曲線準線與x軸交點點

，e離心率，.是與軸的點c是焦距則

是銳角且

或50設(shè)點雙線

（a0,b＞0）上于實軸端點的任（當且僅當

時取等號.一

點,F

、F

為

其

焦

點

記，

則54是雙曲線

（＞＞點F且x垂直的直線，(1).(2).51．設(shè)過雙曲線的實軸上一點B（）直線雙曲線相交于P兩點為雙線軸的左頂點結(jié)AP和AQ分交相應(yīng)于過B點的直線

E雙曲線準線x軸交L與x軸的交點

，,離心率為，半距為c，則

為銳角且

或（MN：

于M，兩點,則.且僅當?shù)陧?/p>

時取等號）.

55已知雙曲線（＞＞），直線L通其焦點58．設(shè)A、B是曲線（＞0,b）實軸上分別于雙曲且與雙曲線右支于A、B兩，將A、雙線左焦點F連起來，則

線一支內(nèi)（含焦的區(qū)域），部的兩點，）過A點直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩，（若BP交曲線這支于兩點，則P、Q不（當且僅當⊥軸取等號.

于軸對稱），且，則點A、的坐標、

滿足；（）若過B點引線與雙線這一支相交于P、Q兩，56設(shè)、B是雙曲線

（a0,b0）的軸兩端點，是,則點AB的橫坐標滿足

.雙曲線上的一點

,

,

c別是雙曲

線

的

半

焦

距

離

心

率

，

則

有

59

是雙曲線

的實軸的兩個端，

是與

垂(1).(2).(3)直的弦，則直線

與

的交點P的軌跡是雙曲線.60．過雙曲線

（a＞0,b＞0）的焦點

作互相垂直的兩弦57設(shè)A、是雙線（＞0,b0）實軸上分別于雙曲AB、CD,則

.線一支含焦的區(qū)域部兩點、

的橫坐標，（