【金版學案】高中數學人教版選修41練習：2.3圓切線性質及判定定理(含答案解析)

第二講直線與圓的地點關系2.3圓的切線的性質及判斷定理A級

基礎穩(wěn)固一、選擇題1．以下說法正確的選項是

(

)A．垂直于半徑的直線是圓的切線B．垂直于切線的直線必經過圓心C．圓的切線垂直于經過切點的半徑D．垂直于切線的直線必經過切點分析：A垂直于半徑且經過半徑外端的直線是圓的切線，

B明顯不正確，

C正確，D

顯然不正確．答案：C2.如下圖，AP為圓O的切線，P為切點，OA交圓O于點B，若∠A＝40°，則∠APB等于( )A．25°B．20°C．40°D．35°分析：如下圖，連結OP.由于AP為圓O的切線，因此∠OPA＝90°.由于∠A＝40°，因此∠AOP＝90°－40°＝50°.由于OP＝OB，因此∠OPB＝12×(180°－50°)＝65°.因此∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°.答案：A3.如下圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PO交⊙O于點B，PA＝4，OA＝3，則cos∠APO的值為( )33A.4B.544C.5D.3分析：由于PA為⊙O的切線，因此OA⊥PA，在Rt△OAP中，OP＝OA2＋AP2＝32＋42＝5.故cos∠APO＝PA4OP＝.5答案：C4．AB是⊙O的切線，在以下給出的條件中，能判斷AB⊥CD的是( )A．AB與⊙O相切于直線CD上的點CB．CD經過圓心OC．CD與⊙O訂交D．AB與⊙O相切于C，CD過圓心O分析：由圓的切線性質定理，可選D.答案：D5.如下圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心的圓與斜邊AB相切于點D，則⊙C的半徑為()7A．5B.512C.5D．1分析：連結CD(如圖)，則CD⊥AB.由三角形面積公式，11得S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC.因此CD＝BC·AC.AB又由于AB＝AC2＋BC2＝32＋42＝5，12因此CD＝5.答案：C二、填空題6．如下圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC與⊙A相切于點D，與AB訂交于點E，則∠BDE＝________．分析：由于BC與⊙A相切于點D，因此AD⊥BC.1且∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，又由于AD＝AE，因此△ADE為等邊三角形，即∠ADE＝60°.因此∠BDE＝90°－∠ADE＝30°.答案：30°7．如下圖，AB是⊙O的弦，BC與⊙O相切于點B，連結OA、OB.若∠ABC＝70°，則∠A等于________．分析：由于BC與⊙O相切于點B，因此OB⊥BC.因此∠OBC＝90°.由于∠ABC＝70°，因此∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.由于OA＝OB，因此∠A＝∠OBA＝20°.答案：20°8．如下圖，AB為半圓O的直徑，CB是半圓O的切線，B是切點，AC交半圓O于點D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠ACB＝________．分析：連結BD(如圖)，由于AB為半圓的直徑，因此∠ADB＝90°，即BD⊥AC.又由于BC為半圓的切線，因此AB⊥BC.因此Rt△BDC∽Rt△ADB.因此CD＝BD，即BD2＝AD·CD＝3.BDAD因此BD＝3.因此Rt△ADB中，AB＝AD2＋BD2＝23.因此cos∠ACB＝cos∠ABD＝BD＝3＝1.AB232答案：12三、解答題9．如下圖，OA和OB是⊙O的半徑，而且OA⊥OB，點P是OA上隨意一點，BP的延伸線交⊙O于點Q，過點Q作⊙O的切線交OA的延伸線于點R，求證：RP＝RQ.證明：連結OQ(如圖)．由于QR是⊙O的切線，因此OQ⊥QR.由于OB＝OQ，因此∠B＝∠OQB.由于BO⊥OA，因此∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，PQR＝90°－∠OQP，因此∠RPQ＝∠PQR，因此RP＝RQ.10．如下圖，已知AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，試證明PE是⊙O的切線．證明：如下圖，連結OP、BP，由于AB是⊙O的直徑，因此∠APB＝90°.因此∠BPC＝90°.又由于BE＝CE，因此PE＝BE.因此∠3＝∠1.又由于OP＝OB，則∠4＝∠2.由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°.因此∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE.因此PE是⊙O的切線．B級能力提高11.如下圖，AB為⊙O的直徑，MN切⊙O于點C，AC＝2BC，則sin∠MCA等于( )12A.2B.235C.2D.5分析：連結OC(如圖)．由于MN切⊙O于點C，因此OC⊥MN，因此∠MCA＋∠ACO＝90°.由于OC＝OA，因此∠ACO＝∠CAO.由于AB是⊙O的直徑，因此∠ACB＝90°，因此∠CAO＋∠B＝90°，因此∠MCA＝∠B.1由于AC＝2BC，即BC＝2AC，因此AB＝AC2＋BC2＝AC2＋4AC2＝5AC，ACAC5因此sinB＝AB＝5AC＝5.因此sin∠MCA＝55.答案：D2．如下圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延伸BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________．分析：連結OC(如圖)．O、C為AB、DB中點，則OC∥AD.又OC⊥CE，則CE⊥AD.又AC⊥BD，BC＝CD.因此AB＝AD＝6.由射影定理，有CD2＝AD·ED＝12，22因此BC＝CD＝12，即BC＝23.3．如下圖，A是以BC為直徑的圓O上一點，AD⊥BC于點D，過點B作圓O的切線，與CA的延伸線訂交于點E，G是長AF與CB的延伸線訂交于點P.

AD

的中點，連結CG并延伸與BE訂交于點

F，延(1)求證：BF＝EF；(2)求證：PA是圓O的切線．證明：(1)由于BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線，因此EB⊥BC.又由于AD⊥BC，因此AD∥BE.易證△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC.因此BF＝CF，EF＝CF.DGCGAGCGBFEF因此DG＝AG.由于G是AD的中點，因此DG＝AG.因此BF＝EF.(2)連結AO，AB(如圖)．由于BC是圓O的直徑，因此∠BAC＝90°.在Rt△BAE