二重積分的概念及性質(zhì)

二重積分的概念及性質(zhì)前面我們已經(jīng)知道了，定積分與曲邊梯形的面積有關。下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念，在此我們不作詳述，請大家參考有關書籍。二重積分的定義設z=f(x,y)為有界閉區(qū)域(。)上的有界函數(shù)：(1)把區(qū)域(。)任意劃分成n個子域(△<Jk)(k=1,2,3,...,n)，其面積記作△<Jk(k=1,2,3,...,n)⑵在每一個子域(△%)上任取一點陽皿)，作乘積”、気％；⑶把所有這些乘積相加，即作出和數(shù)(4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及〔乩曲小怎樣選取，上述和數(shù)當n-+g且d-0時的極限存在，那末稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域(。)上的二重積分?記作即：其中x與y稱為積分變量，函數(shù)f(x,y)稱為被積函數(shù),f(x,y)do稱為被積表達式,(。)稱為積分區(qū)域.關于二重積分的問題JJ7對于二重積分的定義，我們并沒有f(x,y)>0的限?容易看出，當f(x,y)>0時，二重積分 在幾何上就是以z=f(x，y)為曲頂，以(。)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。上述就是二重積分的幾何意義。如果被積函數(shù)f(x,y)在積分區(qū)域(。)上連續(xù)，那末二重積分 必定存在。二重積分的性質(zhì).被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分符號外面去.S (j).有限個函數(shù)代數(shù)和的二重積分等于各函數(shù)二重積分的代數(shù)和.JJ[f1Cw)±/2(")]力=j]7i(%x)力士口兀(")力⑶?如果把積分區(qū)域(0)分成兩個子域(5)與(02)，即(OROJ+G)，那末:JJ7U，加/□■=^f(x,y)dcr+^f(x,y)da-W) 冷) S)⑷.如果在(o)上有f(x,y)<g(x,y),那末：JJ7U才迴□貞心巧廿仃<|⑸?設f(x,y)在閉域(O)上連續(xù)，則在(O)上至少存在一點(§,n)，使Jj7o,y)￡cr=兀仙)9I:口)其中O是區(qū)域(O)的面積.直角坐標系中的計算方法這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。為此我們有積分公式，如下：”嚴,沁=歳加g巧如訂:吧;防〔"）創(chuàng)兩訂;船5沁訂;呦:炸妙或）在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？累次積分上下限的確定方法我們先來對區(qū)域作些補充說明：如果經(jīng)過區(qū)域9）內(nèi)任意一點（即不是區(qū)域邊界上的點）作平行于y軸（或x軸）的直線，且此直線交9）的邊界不超過兩點，那末稱9）為沿y軸（x軸）方向的正規(guī)區(qū)域?如果（。）即是沿y軸方向也是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末（。）就稱為正規(guī)區(qū)域?下圖所示的即為正規(guī)區(qū)域：關于累次積分上下限的取法如下所述:（1）.如果Q）為沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對y再對x的累次積分?其中對y的積分下限是9）的下部邊界曲線所對應的函數(shù)y1（x），積分上限是上部邊界曲線所對應的函數(shù)y2（x）?對x的積分下限與上限分別是9）的最左與最右點的橫坐標a與b.⑵.如果Q）為沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末二重積分可化為先對x再對y的累次積分?其中對x的積分下限是（。）的左部邊界曲線所對應的函數(shù)x1（y），積分上限是右部邊界曲線所對應的函數(shù)x2（y）?對y的積分下限與上限分別是（。）的最低與最高點的橫坐標c與d.⑶.如果Q）為正規(guī)區(qū)域，那末累次積分可以交換積分次序。⑷.如果Q）既不是沿y軸方向的正規(guī)區(qū)域，也不是沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域，那末總可以把它化分成幾塊沿y

軸方向的正規(guī)區(qū)域或沿x軸方向的正規(guī)區(qū)域,然后根據(jù)積分的性質(zhì)即可求解積分.例題：求二重積分 ，其中（。）是由7=I^X=1J=O所圍成的區(qū)域。解答：因為是正規(guī)區(qū)域，所以我們可先對y后對x積分，也可先對x后對y積分。這里我們采用前者先對y后對x積分：極坐標系中的計算法如果二重積分的被積函數(shù)和積分區(qū)域Q）的邊界方程均由極坐標的形式給出，那末我們?nèi)绾斡嬎隳?？下面我們給出極坐標系中二重積分的計算公式.如果極點o在（。）的外部，區(qū)域（。）用不等式表示為R1（e）<p<R2（e）,a<e<p,則積分公式如下：JJfSpdpd6=rJ爲，SEXB如果極點O在9）的內(nèi)部，區(qū)域9）的邊界方程為p=R（e）,0<e<2n,則積分公式如下:如果極點o在9）的邊界上，邊界方程為p=R（e）,e1<e<e2,則積分公式如下:召）便便召=f：賈J'S?保p朋有了上面這些公式，一些在直角坐標系中不易積出而在極坐標系中易積出的函數(shù)，我們就可以把它轉(zhuǎn)化為在極坐標系中的積分即可，反之依然。注：直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)換公式為：x= =psin3J=JJE+y2")da-例題：求 S ，其中(o)是圓環(huán)a2<X2+y2Wb2解答：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數(shù)的形式，顯然，這個二重積分化為極坐標計算比較方便把“呻迢防&沁日,do=pdpd0代入，即可轉(zhuǎn)化為極坐標系的積分形式。如下：/= ■也應白=JJ3 S在對其進行累次積分計算：I=JJ員"加日=『血加洲=詁4-/)『朋=評耳-小三重積分及其計算法二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是一平面區(qū)域?如果考慮三元函數(shù)f(x,y,z)在一空間區(qū)域(V)上的積分，就可得到三重積分的概念。三重積分的概念設函數(shù)u=f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域(V)任意劃分成n個子域(21),(22),(23),...,(2)它們的體積分別記作△Vk(k=1,2,…,n)?在每一個子域上任取一點(弘張氐)，并作和數(shù)如果不論厶Vk怎樣劃分，點(弘％了Q怎樣選取，當nt+8而且最大的子域直徑5-0時，這個和數(shù)的極限都存在，那末此極限就稱為函數(shù)了〔弘張在域(V)上的三重積分，記作：即：7如果f(x,y,z)在域(V)上連續(xù)，那末此三重積分一定存在。對于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。直角坐標系中三重積分的計算方法這里我們直接給出三重積分的計算公式，具體它是怎樣得來的，請大家參照有關書籍直角坐標系中三重積分的計算公式為：羋“才②羽=JJ密驚如"②血力此公式是把一個三重積分轉(zhuǎn)化為一個定積分與一個二重積分的問題，根據(jù)我們前面所學的結(jié)論即可求出。J=刖xyzdV例題：求 ⑺ ，其中(V)是由平面x=O,y=O,z=O及x+y+z=1所圍成的區(qū)域.解答把丨化為先對z積分再對y和x積分的累次積分，那末應把(V)投影到xOy平面上，求出投影域(。),它就是平面x+y+z=1與xOy平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區(qū)域.我們?yōu)榱舜_定出對z積分限，在9）固定點（x,y）,通過此點作一條平行于z的直線，它與（V）上下邊界的交點的豎坐標：z=0與z=1-x-y，這就是對z積分的下限與上限，于是由積分公式得：其中（。）為平面區(qū)域：x>0,y>0,x+y<1,如下圖紅色陰影部分所示：再把Q）域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分，得：TQ嚴郴血如=曠幫|L如柱面坐標系中三重積分的計算法我們先來學習一下空間中的點用極坐標的表示方法。平面上點p可以用極坐標（p,e）來確定，因此空間中的點p可用數(shù)組（p,e,z）來表示?顯然，空間的點p與數(shù)組（p,e,z）之間的對應關系是一一對應關系，數(shù)組（p,e,z）稱為空間點p的柱面坐標?它與直