2019高中數(shù)學第一章計數(shù)原理1.2.2第一課時組合與組合數(shù)公式學案新人教A版選修23

第一課時組合與組合數(shù)公式[教材研讀]預習教材P21～24，思慮以下問題1．組合的觀點是什么？2．什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是如何的？3．組合數(shù)有如何的性質？[重點梳理]1．組合的定義從n個不一樣元素中拿出m(n≥m)個元素合成一組，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)的觀點、公式、性質[自我診療]判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)1．從，，c三個不一樣的元素中任取兩個元素的一個組合是2C.( )32．從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得2個積．( )43．1,2,3與3,2,1是同一個組合．()3)4．C5＝5×4×3＝60.([答案]1.×2.√3.√4.×題型一組合的觀點思慮：劃分一個問題是擺列問題仍是組合問題的重點是什么？提示：重點是看它有無次序，有次序的是擺列問題，無次序的是組合問題．判斷以下問題是組合問題仍是擺列問題：①設會合A＝{a，b，c，d，e}，則會合A的子集中含有3個元素的有多少個？②某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票？多少種票價？③3人去干5種不一樣的工作，每人干一種，有多少種分工方法？④把3真同樣的書分給5個學生，每人最多得1本，有幾種分派方法？(2)從5個不一樣元素a，b，c，d，e中任取2個，寫出全部不一樣的組合．[思路導引]對于(1)重點是看有無次序，有次序的是擺列問題，無次序的即為組合問題；對于(2)每次拿出兩個元素即可，無次序，但注意不重不漏．[解](1)①因為本問題與元素次序沒關，故是組合問題．②因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不一樣的，故是擺列問題，但票價與次序沒關，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題．③因為分工方法是從5種不一樣的工作中拿出3種，按必定序次分給3個人去干，故是排列問題．④因為3本書是同樣的，不論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的次序，故是組合問題．要寫出全部的組合，第一要把元素按必定次序排好，而后按次序用圖示的方法將各個組合逐一標出．如下圖：所以可得全部組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.劃分擺列與組合的方法劃分擺列與組合的方法是第一弄清楚事件是什么，劃分的標記是有無次序，而劃分有無次序的方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，而后互換這個結果中隨意兩個元素的地點，看能否會產生新的變化，如有新變化，即說明有次序，是擺列問題；若無新變化，即說明無次序，是組合問題．【溫馨提示】擺列與組合的聯(lián)系與差別聯(lián)系：兩者都是從n個不一樣的元素中取m(n≥m)個元素．差別：擺列與元素的次序相關，組合與元素的次序沒關，只有元素同樣且次序也同樣的兩個擺列才是同樣的擺列．只需兩個組合的元素同樣，不論元素的次序如何，都是同樣的組合．[追蹤訓練]判斷以下問題是組合問題仍是擺列問題．從a，b，c，d四名學生中選兩名學生達成一件工作，有多少種不一樣的選法？(2)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生達成兩件不一樣的工作，有多少種不一樣的選法？a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)競賽，共需競賽多少場？a，b，c，d四支足球隊搶奪冠、亞軍，有多少種不一樣的結果？某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不一樣的結果有多少種？(6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不一樣的結果有多少種？[解](1)兩名學生達成的是同一件工作，沒有次序，是組合問題．兩名學生達成兩件不一樣的工作，有次序，是擺列問題．單循環(huán)競賽要求每兩支球隊之間只打一場競賽，沒有次序，是組合問題．冠、亞軍是有次序的，是擺列問題．命中的4槍均為2槍連中，為同樣的元素，沒有次序，是組合問題．(6)命中的

4槍中恰有

3槍連中，即連中

3槍和單中

1槍，有次序，是擺列問題．題型二

組合數(shù)的計算與證明思慮：我們知道，“擺列”與“擺列數(shù)”是兩個不一樣的觀點，

那么，“組合”與“組合數(shù)”是同一個觀點嗎？為何？提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個不一樣的觀點，“組合”是指“從n個不一樣元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是詳細的一件事；“組合數(shù)”是指“從個不一樣元素中拿出m(m≤n)個元素的全部不一樣組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)．

n計算：33C10－C7A3；C9798＋2C9698＋C9598；555555③C5＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10.m－1證明：mCn＝nCn－1.[思路導引]利用組合數(shù)公式及性質求解．4334310×9×8×71073107979696959796973100×99×98989898989999100100③原式＝655555655556565＝66789107789101010111111×10×9×8×7＝462.5×4×3×2×1(2)證明：左側＝m·n！?。絥n－！?。絥n－！?。璵－！－－?。璵！mnmnmmnmmm＝＝右側，∴Cn＝Cn－1Cn－1.nmn相關組合數(shù)的兩個公式的應用范圍是有所區(qū)其他，m的題目，一般傾向于詳細組合數(shù)的計算；公式Cn＝m！

mmAnCn＝m常用于n，m為詳細自然數(shù)Amn！常用于n，m為字母或含有n－m！字母的式子的題目，一般傾向于方程的求解或相關組合數(shù)的恒等式的證明．n－m對于組合數(shù)的性質1(Cn＝Cn)①該性質反應了組合數(shù)的對稱性，即從n個不一樣的元素中拿出m個元素的每一個組合，都對應著剩下的n－m個元素的一個組合，反過來也同樣，這是一一對應的關系．nm②當>時，往常不直接計算Cn，而改為計算m2(3)對于組合數(shù)的性質mmm－1)2(Cn＋1＝Cn＋Cn

n－mCn.①形式特色：公式的左端下標為n＋1，右端下標為n，相差1，上標左端與右端的一個同樣，右端的另一個比它們少1；②作用：常用于相關組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明．應用時要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個組合數(shù)拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形mm＝Cn＋1－Cn，為某些項前后抵消供給了方便，在解題中要注意靈巧應用．[追蹤訓練]1．計算：38－n3n的值．3nn＋21[解]38－n≤3n，∵∴9.5≤n≤10.5.3n≤n＋21，∵n∈N*，∴n＝10.38－n3n28302130×293nn＋2130313031

m－1Cnx－72建立的x值．xx[解]依據(jù)擺列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為x－！x－！3·x－！4?。?·－！，x即x－＝5，即為(x－3)(－6)＝40.4！x－6x∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.經查驗知x＝11時原式建立．3．證明以下各等式．mm＋1m＋1(1)Cn＝＋1Cn＋1；n012mm(2)Cn＋Cn＋1＋Cn＋2＋Cn＋m－1＝Cn＋m.[證明](1)右側＝m＋1n＋！·m＋！n＋－m＋！n＋1＋1n＋！＝n＋1·m＋！n－m?。絤！n！mn0123m123m2nnnnn＋2n＋3nm＋2nn＋3nm＋3＋1＋1＋－1＋2＋－13m－1＝(C34m－1m－2m－1m－1＝右側，∴原式成n＋4＋4n＋3n＋m－1nn＋m－1n＋m－1n＋m－1n＋m立．題型三簡單的組合應用題現(xiàn)有10名教師，此中男教師6名，女教師4名．從中選2名去參加會議，有多少種不一樣的選法？從中選出2名男教師或2名女教師去外處學習，有多少種不一樣的選法？從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不一樣的選法？[思路導引]利用組合數(shù)mn[解](1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不一樣元素中拿出210×92個元素的組合數(shù)，即有C10＝2×1＝45種不一樣的選法．(2)可把問題分兩類：第1類，選出22名男教師，有C6種方法；第2類，選出2名女教師，有C42種方法，即共有C62＋C42＝21種不一樣的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有22C6種，從4名女教師中選2名的選法有C4種，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有226×54×3C·C＝×＝90種不一樣的選法．642×12×1解答簡單的組合問題的思路(1)弄清楚做的這件事是什么；(2)剖析這件事能否需分類或分步達成；(3)聯(lián)合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結果．[追蹤訓練]一個口袋內裝有大小同樣的7個白球和1個黑球．從口袋內拿出3個球，共有多少種取法？從口袋內拿出3個球，使此中含有1個黑球，有多少種取法？從口袋內拿出3個球，使此中不含黑球，有多少種取法？[解]38×7×68(2)從口袋內拿出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再拿出2個，取法種數(shù)27×67＝＝21.2×1(3)因為所拿出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中拿出3個球，取法種數(shù)是37×6×5C7＝3×2×1＝35.本節(jié)課的