薦矩陣分解在考研線代中的應(yīng)用

矩陣分解在考研線代中的應(yīng)用一、矩陣分解是什么？在此僅談考研數(shù)學(xué)中常用的矩陣分解的構(gòu)思C=AB，將一個矩陣C拆分為兩個矩陣的乘積AB，有時候方便研究問題，在求行列式，討論秩，相似等均有應(yīng)用和考察。二、什么時候想矩陣分解？矩陣分解：若一個矩陣B的每一列向量都可以由另一個矩陣A的列向量組線性表示（特征），則可對B進(jìn)行矩陣分解為：B=AC,其中C是對應(yīng)的表示系數(shù)矩陣（構(gòu)思）。例如設(shè)A- ?B-（at2）3-yJcr-/J+ +2y）,令-1 3 11C= 2 -10,則〃=40--1 1 2」例：如上圖B的每一個列向量均可由A的列向量線性表示。特征：回答了什么時候用的問題，構(gòu)思：回答了怎么用的問題。［相關(guān)知識鏈接］:向量B,a1,a2,…an,若存在一組數(shù)k1,k2,…kn,使得0=k1a1+k2a2+…+knan,則稱B可以被a1,a2,…an向量組表示。。+20=。+20+0丫，向量a+2阿被向量組：80、丫表示請仔細(xì)觀察下面例題，為什么想到想到用矩陣分解？(一)、矩陣分解在行列式中的應(yīng)用例設(shè)3階矩陣A=(a1,a2,a3),|A|=1,B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a3)，求|B|二?分析:抽象行列式，主要利用行列式、矩陣，相似的性質(zhì)及結(jié)論來求解。一眼可見B的每一列向量，都可以由A的列向量組表示，立馬想到矩陣分解B=AC方法28 修、2依-4叫□11］=Laa。門［123—AC,矩陣分解ffl|C|-2.Sfy|Bl-lAlia-lX2=2,其中計算|C|范德蒙行列式矩陣的性質(zhì)關(guān)于C=AB的理解：表示與秩的構(gòu)思理解角度1：C=AB表示角度結(jié)論矩陣C=AB的列向量可由A的列向量線性表出；矩陣C=AB的行向量可由B的行向量線性表出。［對比記憶］:C=AB?…即AB=C,對比向量方程：AX=C,C的列向量可以由A的列向量表示。亦可結(jié)合具體的例題來理解抽象的理論文字語言，如上題B的每一列向量都可由A的列向量線性表示。一個具體的解決解決幾個問題。同理：對B,C按行分塊，可見：C的行向量可以由B的行向量組表示。由此可知.若C^n=4"聲刈.則矩陣燈的列向量組能曲矩陣4的列向量組線性表示,B為這一表示的系數(shù)矩陣：bf2…3”例2.由于AB=C，可見C的列向量可由A的列向量表示；又因為B可逆故人48-,再利用一次結(jié)論，可見人的列向量可被C的列向量表示；進(jìn)而C和A的列向量可相互表示，列向量組等價。故選B例2 Llh111）設(shè)為M階矩薛,若H且〃可逆?則（h＜A＞矩陣■的行向址組與矩陣A的行向斌組等價CB）拓防C的列向量組與矩陣I的列向一組等價（o矩陣e的行向量組^^除片的行向量組等價（D＞矩陣匚的列向星組與矩陣月的列向鼠組等價 W.定理：初等變換不改變矩陣的秩

定理2初第變換術(shù)改變揮陣的秩.即若初等變熱A -則=即若P1+e是初等降.P,Q是可逆陣,劇初警行受蜿一口rt.4>=r(P,A)=r{AQ.>=r(P,AQ：)=KP4)=r(AQ)=rt初警行受蜿一口且當(dāng)時有I6A的行向量紐BIB的行向量紈是等價向量蛆.2d人和B的相應(yīng)的列向量組有相同的線性相關(guān)性.線性弁次方程組小工=。和Bh=D是同解方程91.結(jié)論：可逆矩陣A可以寫成一系列初等矩陣的乘積性質(zhì)2方降與可逆的充分必要條件是存在有限學(xué)初等矩陣片，片,…]「使火二巴心…[ala2a3,a1+2a2-a3]…—初等列變換一[ala2a3,o]故：R[a1a2a3,a1+2a2-a3]=R[ala2a3,o]=R[a1a2a3][A,AB]-[A,O]初等列變換;[Aa1,Aa2]=A[a1,a2]拓展點：矩陣等價與向量組等價的關(guān)系，兩者沒有必然關(guān)系（考生易混點）.向量組等價：向量組能互相表示定義3設(shè)有兩個向量組及H；%,比，…，與，若月組中的每個向量都能由向量組4線性表示，則稱向量組月能由向藺組H線性表示,若向電組4與向量組月能相互線性表示.則菽麗麗而毓?席礪定義71等價向量）設(shè)兩個向城蛆S1；皿+6,…血/U）梟事，…,JL若（1）中每個向量由+1=L九…”均可由口|）緩性表出，則稱向盤組U）可由向見埴t!]）線性表出.若向酣tI】」口）可以互相表出，則格向量蛆f1n）是等價向盤組,記成《】）生（u向拉鉗和它的搬大線性無關(guān)組是等價向貨組-向乜組的兩個極大無美皿是等物向盤物.且包含的同/個數(shù)相同..矩陣等價定義：如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為B，則矩陣A與B等價。(文字語言，相應(yīng)的數(shù)學(xué)矩陣語言如何表達(dá)呢？)判別方法:定理1：A,B是同型矩陣，且秩相等R(A)=R(B)，則矩陣A與B等價定理2存在可逆矩陣P,Q使得PAQ=B則矩陣A,B等價-R(A)=R(B)矩陣箸價(必須含M相同的行數(shù)E相同的列數(shù)n，即必為同型矩陣］肉商等處t如果地陣.4經(jīng)過有眼次機等變換化為則林地陣d與H等飾.記作『空H矩晦等階的充分必要條件是:1三出"比也是同蟹矩陣且有相同的秩，C存在可逆距陣鳥。使得-HJ可久證明：任何一個矩苒聞麗「以蚣過初等變覆化為仁，卜苴中瓦為產(chǎn)階單位處陣)稱之為矩陣才的等價標(biāo)準(zhǔn)型.工注J一定要注意區(qū)分矩陣的隼價和向量租的等世*.初等變換的幾點補充. 矩陣A經(jīng)過初等行變換變成矩陣B，有以下結(jié)論：A,B的行向量組等價。A,B的列向量組具有相同的線性關(guān)系-求極大線性無關(guān)組會用到。齊次方程組AX=0與BX=0是同解方程組日丐 4初等行受上月時有I"A的行向盤組和日的行向量組是等價向M組.如4和E的相應(yīng)的列向比的有相同的線性相關(guān)性,畿性齊次方程組總工=0和是同新方程組分析：表達(dá)為數(shù)學(xué)語言，再利用有關(guān)理論研究。矩陣語言存在初等矩陣PLP2…Pn,使得:P1P2…PnA=B,由前文的解讀分析，可知B的行向量可由A的行向量表示。又由于初等變換中初等矩陣是可逆的。即A=Pn-…F2-P1-B，此時A的行向量又可由B的行向量表示，即A,B行向量能互相表示，進(jìn)而A,B的行向量組等價。解方程組是利用初等行變換：互換兩行，某行K倍，把某一行加到另外一行（消元），不改變方程組的解。即初等行變換是同解變換。A-初等行變換-B,AX=0與BX=0是同解，但AX=匚與BX二C不一定是同解，反例相信你能例舉出來。設(shè)矩陣月與日行等價,即矩陣且經(jīng)初等行變換變成矩陣夙則B的每個行向盤都是A的行向H組的線性組合，即B的行向度組能由A的行向量組線性表示,由于初等變換可逆，知矩陣H亦可經(jīng)初等行變換變?yōu)槿藦亩鳤的行向或組也能由用的行向量組線性表示.于是H的行向量組與度的行向量組等價.類似可知，若矩陣力與H列等僑，則A的列向量組與B的列向最組等價,?同理可得到初等變換有關(guān)結(jié)論。4.矩陣等價與向量組等價無必然關(guān)系

看一?個具體的例子:I、看一?個具體的例子:I、1矩陣A經(jīng)過初等變換得到B,C,因此矩陣A,B,C等價；亦可從A、B、C是同型3階矩陣，且秩相等，故矩陣A、B、C等價。2矩陣A經(jīng)過初等行變換得到矩陣B，此時A的行向量組與B的行向量組能互相表示，即行向量組等價，但B的第1列不可由A的列表示，可見他們的列向量組不等價，因此初等行變換不能推出列向量組等價，但A、B的列向量組線性關(guān)系相同，A的第一列和第二列線性無關(guān)，B同樣。.矩陣B經(jīng)過初等列變換得到矩陣C，此時B的列向量組與C的列向量組能互相表示，即列向量等價，但C的第一（三）行不可由B的行表示，可見行向量不等價。但行向量組間線性關(guān)系相同。.可見矩陣等價與向量組等價并沒有直接關(guān)系。相關(guān)鏈接回顧：利用秩判別向量組相關(guān)、無關(guān)“三秩相等理論”：R（矩陣A）=R（A行向量組）=R（A列向量組）向量組相關(guān)無關(guān)秩的判別理論：若向量組的秩R（A）與向

量組所含向量個數(shù)的關(guān)系，若相等則無關(guān)，若不等則相關(guān)。溫馨提醒：判別前要先看好是行向量還是列向量Am*n=[a1a2…?an]，列向量個數(shù)為n個，判別列向量組是否線性無關(guān)，即：判別R(A)與列向量組所含向量個數(shù)n的關(guān)系：若R(A)=n,則A的列向量組向量無關(guān)，若R(A)<n,則A的列向量組向量相關(guān)同理：判別R(A)與行向量組所含向量個數(shù)m的關(guān)系，若R(A)=m,則A行向量組無關(guān)，否則相關(guān)。1例5.13】設(shè)小力為滿足，的任意兩個非零矩陣.則必仃( >.(AiA的列同員組級性相關(guān)/的行向取組線性相關(guān)A的列向盤組線性相關(guān)?口的列向址級線性相關(guān)式的行向,組費性相關(guān).月的行向量組線性相關(guān)A的行向量組線性相關(guān)5的列向量組線性相關(guān)【分析與解答】解法一：若凡是切乂心矩陣山是“X六矩陣.仙=。,則，"1+力門<M乂4.H為作零矩陣，秩大于零，所以r(A)<rt,r(B)<rtJ!PA的列向量組線性相關(guān)國的行向盤組線性相關(guān)?故應(yīng)選g解法二二由AHKL得￡的每一列均為=0的解.又H為非零矩陣，即Ax-0有，零解,所以儀箱所入即A的列向量組線性相關(guān).同理.由AR-O,即BTA『=0,得的列向量組，即B的行向址組線性相關(guān)，故應(yīng)選(AL注意體會里面為什么是判別R(A)與n,R(B)與m?(二),矩陣分解C=AB在討論秩中的應(yīng)用，引申討論相關(guān)無關(guān).若A是可逆矩陣，則R(AB)=R(ABE)=R(B);

證：單位矩陣召之即來，對比等價的定義；存在可逆A,E使得，ABE=C,則矩陣B與C等價，進(jìn)而：R(AB)=R(C)=R(B).若Amxn矩陣的秩為R(A)=n，即A歹I」向量線性無關(guān)，則R(AB)=R(B)證明當(dāng)A列滿秩，則R(AB)=R(B)秩的證明：大小夾或轉(zhuǎn)化為方程組問題(同解問題)只要證明：ABX=0與BX=0同解一解向量含線性無關(guān)向量個數(shù)相等一秩相等證：設(shè)Amxn,Bnxs顯然BX=0的解都是ABX=0的解，又因為A歹歹滿失，故齊次方程組AY=0僅有零解，即BX=0,即ABX=0的解也全是BX=0的解，進(jìn)而同解。S-R(AB)=S-R(B)，證畢。行的時候，轉(zhuǎn)置即列.R(AB)4min{R(A),R(B)}R(A)<min{mn}“矩陣的秩越乘越小”思考2:ABX=0與BX=0的關(guān)系，顯然BX=0的解都是ABX=0的解，(部分解不多于全部解)，n-R(AB號n-R(B)又因為R(A)=R(AT)，轉(zhuǎn)置可得另外一邊。

#題外話#：<min{m,n}小于等于最小的，意味著它小于等于每一個，<m且<n抽象結(jié)合具體理解：3<min{5,4},無論4與5誰大，3<4,3<5是必然都成立的。［見C=AB秩的構(gòu)思］:拿到矩陣先看行列數(shù)，確定是幾階。先看A,B是否有可逆矩陣(列滿秩)，若有可逆矩陣(列滿秩)，則可以得到：C與A或B的確切秩的關(guān)系。若A,B條件沒有可逆矩陣，則想到“越乘越小理論”：R(AB)Vmin{R(A),R(B)}再利用條件和矩陣本身的秩與行列數(shù)的性質(zhì)，R(Amxn)Vmin{m,n},一大一小夾，往往可確定秩的信息。實在不行的時候轉(zhuǎn)為等價方程問題，示AX=C;由此若C的每一列向量都可以由A的列向量表示進(jìn)行矩陣分解C=AB,此時若A列線性無關(guān)或可逆，則R(C)=R(AB)=刈8),而其中B是具體的表示系數(shù)矩陣，容易判別出秩，由此就可討論矩陣C的秩，相關(guān)無關(guān)，可逆與否，行列式。有時候要先做一步拼矩陣的工作。有關(guān)C=AB秩的結(jié)論，理解記憶即可【例正11】已知程維向量/，強曲線性無關(guān)，若以屈，仇可用6，S，《線性表出，設(shè)［同屈牖］=［flu證明A也，從線性無關(guān)的充分必要條件是ICI#。.［證］記4=［口i1% ［曲遇甲：iJ必要性若用遙，從線性無關(guān)，則秩=ME通通)=3.又ZB)=r(AC)<r(C)￡3因此?秩r(C)=3,即矩陣C可逆,|C|RO.充分性 若ICIHO,即矩陣C可逆，那么r(B)=r(AC)=r(A)=r(a)fat?a3>=3所以,E，禺通線性無關(guān)，分析：B的每一列都可由A的列表示，因此可矩陣分解為B=AC,要判別B線性無關(guān)，即判別R(B)=3與否？，根據(jù)前面定理可知曉:當(dāng)A列線性無關(guān)的時候，R(B)=R(AC)=R(C)當(dāng)然注意體會證明過程中的越乘越小等結(jié)論的運用。例3.分析本題B選項，要判別相關(guān)無關(guān)即判別R(?…)=4(向量個數(shù))？因此先表達(dá)，拼矩陣，再發(fā)現(xiàn)矩陣分解的特征，進(jìn)而B=AC，禾IJ用前面的結(jié)論：因為A列線性無關(guān)，故R(B)=R(AC)=R(C)=4，也可用R(B)=R(EAC)=R(A)=4(3)設(shè)向量組%.口m.內(nèi)線性無關(guān),則下列向此組線性無關(guān)的是( ).A.+業(yè)？ +er, +][*〃：+田 H.口！十以二?ce』+03?cn+n,a：C.a,+ —a, +a；iCti—a, 1),珀—。■$一&、、&一見一ay考慮到選頂中梅個向比均為『*a,世血的纜性組合.可直接利用結(jié)論.記ff--(X.4-ft*JJ=a：+a■>fta-rffl?(J=a一1…Joa-1則 印mm}-⑷，*",嗚):；；::=(tf,，a.,ata1-C.001J由小皿44線性無關(guān)?及IC=2工即匚可逆*故/通喝即純性無美一證明抽象矩陣的秩：一大一小夾法，要會這個定秩。r(A)工 <r(B)且r(A)》r(B),\4B=0=>r(AJ+r(B)&n,r(A)+r(B)—打㈡*A+B=kE^rCA)-Fr(B))〃,「其中kK0為常數(shù).

1例934】設(shè)h階方陣J滿足A—3.4+?E=O,證E用:4可相似耐角化.【證明1中,卜—3A+￡￡=□,知八的特征值A(chǔ)滿足工工一額+2=。.故入=1或工由「4,—3A42￡—(2E—4j[E-I4)=fJ.得r(2E—A)+r(H—A)n.r(2E-A)-Fr(E-A}=r(2E-A)+H.4E)^rV?E-A十A-E>=r(E)=押,故r(.2E—A)+r(E—4)=也由「方程組《￡E一力4一0的然性無關(guān)的解的個數(shù)為打一刀緲一4,方程組(E—再次。的線性無關(guān)的解的個數(shù)為m—r(E—4),所以A的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為n-r(￡F—A)十"一r(E—A)=2r)—n=n-故人可相似對角化.1注】本題的結(jié)論可以推廣為：若月[一(3|十也*+4儀苫E=。，且九#;h，/月藥相似對角化.有了這一結(jié)論.大家可以隨意編寫題目.只要滿足九即可.思考題：.特征值與行列式，矩陣跡，可逆，齊次方程組，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范性，正負(fù)慣性指數(shù)，秩的關(guān)系是什么？.秩可以確定那些東西，與各章如何聯(lián)系的？具體的怎么求，抽象的怎么求？.常見的等價表述有哪些？向量與方程如何聯(lián)系的？同一個問題的不同表述有哪些常見的？常見的文字語言翻譯為數(shù)學(xué)語言：二次型A經(jīng)過可逆(正交)或初等變換化為二次型B

4.思考題5:線性代數(shù)中常見的參數(shù)預(yù)處理有哪些、怎樣預(yù)處理的？（三）、矩陣分解思想在求特征值特征向量中的應(yīng)用：Anxna二人a,a/0的理解思維：只要出現(xiàn)該等式Anxna=Aa,a#O，則立馬讀出：A的一個特征值是人，對應(yīng)的特征向量是a。常見條件設(shè)置：方陣A的每一行元素之和為K。常見條件設(shè)置；方陣A的每一行元素之和為人f（；）=??）進(jìn)而讀出A有一個特征值為；K,對應(yīng)的特征向量為（1（四）、矩陣分解在相似中的應(yīng)用，P-AP=B,AP=PB讀一段評注分析，記一類構(gòu)思：以后見到此結(jié)構(gòu)要會這種處理。【評注】要掌握定義法riaH通過恒等變理推導(dǎo)曲軸征砥、軸拉向螢的信息.若已知o—am致性無關(guān)甫'用力=凹。+生。i-u.iCt,/la.= h：a.-rfja：-.\a=cia+ 的信息一定不要忘記這有相故的背景.4出aa）=（題：?.3）牌沖=（d科+%蟲：+aa++ha，巧m+心血+rg）—2：；⑵簾 餅矩陣Ld.」 矩陣分解a瓦茨 相似背景即F14P工乩其中P=（。］向二，/），口=d?btqJiib*Cj_本題難度系敷0.7<M.（5）設(shè).4是3階方陣?外血門&線性無關(guān).且Mr?-a.+atAa.=cr：+m*「5」=。?-ct?,則Aj—

問題：已知抽象可逆P=[a1a2a3],且f(A)=0關(guān)于A的多項式，求P-1AP=B,AP=PB中的B?分析：由于P抽象，坐標(biāo)未給非具體，因此P逆不可求，故在求B的過程中要繞開它不求P逆。那又怎樣求B呢？答案當(dāng)然是矩陣分解，實際這個過程的思路是論證如何找至阿逆P使得P-AP/^矩陣過程中用到的。P-AP=B-繞開P逆一變形：AP=PB程序：表達(dá)一代入已知條件-矩陣分解為：P?,進(jìn)而？=BStepl:先表達(dá)AP二CStep2:帶入已知條件f(A)=0Step3:對C進(jìn)行矩陣分解為：C=P?,則？=B,C的列向量都可由P的列向量表示，B此時往往就是具體的表示系數(shù)矩陣。進(jìn)而再利用A與B相似，B具體，通過討論具體B，研究抽象A的行列式，特征值，特征向量，是否可相似對角化問題。例4.2001年數(shù)一考題空一[01I]已知三階用陣用與三維向量也使得向鰭紐線性無關(guān)，且滿足4'1r=3Ax-2A:x.⑴記P=(克泊*Mi),求三階矩陣E,使用=FBF'；(2)計算行列式以+K1.-0010 3；⑵-4】.0] -2,

第二問：本題A抽象未給元素，要求抽象矩陣的行列式，

利用行列式，矩陣，相似的性質(zhì)；第一問為第二問服務(wù)，提供了A與B相似，若B是具體矩陣，則問題就非常常規(guī)

基礎(chǔ)了，第一問：已知抽象可逆P,其逆無法求，A不知，條件有

f（A）=0,要求P-1AP=B的B，要繞開P逆不求。解答：先表達(dá)AP=…一帶入已知條件f（A）=0-分解出:P?,

此時?二B，往往即具體的矩陣。AP=八（國兒口4晨）二（4二4*4\￥）=（4工4*幾34X一24—）代入f（A）=O先表達(dá)AP 1000一二（k,Ax,Tx）103m01-20001即AP=P\03=PB 矩陣分解01-1\-000-也即A= 其中3=103[o1-2（2）由Cl）知，4與H相似,故A+E馬行+E也相似?于是有門，f ”【 本題可改求A,「（Ah討論2能否相似對角化p+￡=|5+￡|=113=-40I-1例題5.2005年數(shù)四考題Aa.=a+or,+a.4,Aw： 小cti*Aax=2a:+3cJfP(I)求矩陣隊使得大可.%=(%,%,小同⑵求矩陳4求特征值;(3)求可逆矩陣心使得FF產(chǎn)為對角矩陣,條件口1cc2a3.線性無關(guān)05年數(shù)四1001[8=I22A?=A2=I,A4,=4；P=(-at,+ff,-