常微分方程考研講義第三章一階微分方程解的存在定理

[][][] [] 12[][]§1 步。第二章介紹了一階初等解法幾類型但是大量一階一般是不用初等法求其通。而問題中需要往往是要求滿足某初始條件。因此初值問題顯得十重要從前面我們也了到初值問題不一定是唯一。他必須滿足一定條件才存性與唯一性而討論初值問題存性與唯一性常占有很重要地位是近代常定性理論穩(wěn)定性理論以及其他理論基礎(chǔ)。例如過點(0,0)是不唯一y

是過(0,0)此證y

x2一般地是過點(0,0)而定

x

其中c是滿足

c

一。存唯一性定理很地問題地定了一定條件存性唯一性。得到不近似法有重要而存唯一性是近前如不存而近求失去；如果存不唯一不定求是哪個。而存唯一性定理保證了求存性唯一性。存性與唯一性定理：（1）顯式一階dydx

f(x,y)（3.1）f(,)R|xxa,|yy

|b0 03.）。1

f(,)滿足以下條件1R2Ry滿足李普希茲Lipschit條件，即存常數(shù)L0，使對于R任何一對點(,y)(,y)1 2均有不等式f(,y)f(,y)Lyy 成立，則方程3.存唯一的解y()，在1 2 1 2區(qū)間|xxh，而且滿足初始條件0(x)y0 03.）其中hmin(a,bM

x,

f(x,y)

L思路：(3.1)的解等價于積分方程的解。構(gòu)造近似解函數(shù)列n

(}任取一個函數(shù)

(x，使得|(x

b，替代述積分方程右端的0 0 0y，得到(x)(x)(x)

(y，1 0 0 1

(x)2

(x1

4）

(x)n

y0 x0

f(x,n1

(x))dx{n

}.{

(x)}[xh

h](xn 0 0(3.4),(x

y0 x0

f(x,(x))dx.(x

y

f(x[x

h,

h.0 x 0 00逼近.定理假設(shè)條件下,五個命題來證明定理.為了討論便,只考慮xxxh,xhxx

討論完全類似.0 0 0 0命題1 設(shè)y(x)(3.1)定義xxx

h,滿足初始條件0 0(x)y0 03.）,y(xyy

f(x,

x x

xh(3.5)x x

0 x 0 00xh0 0證明 因為y(x)(3.1)滿足(x)y

,有0 0xx得到0即有(x)y

f(x,(x))dx

x x

xh0 x 0 00y(x

y

f(xx

x

h.0 x 0 00

y(x,則(x)y

f(x,(x))dx

x x

xh0 x 0 00（3.6）fyR

f(x,(x))連續(xù),兩邊對x求導(dǎo),可得且 (x)y,0 0故y(x)(3.1)間x x xh上,件(x)

.0 0 0 0n

(x)}.(x)y 0 0

(n)(x)y

f(,

))d

xxxh n

0 x n1 0 007）2 n3.()xxx

hn 0 03.）

|(x)yn

|bn1

(x)y

f(,y

)d

x

h、即成立.

1 0 x 00

1 0 0假設(shè)nk2也就是xx

h、0 0nk1由fyRf(x,(xxxx

h是得知

(x)在k 0 0xxxh

k10 02nk1n3 序列

(}xx

h是一致收斂.n 0 0記(x(xxxxhn n 0 0()

(x)

(x)]

xxxh0(3.9)

k1

k k0 0n

(x)}

一致收斂性與(3.9)此，對(3.9)的通進行估計.|()()x|f,)|dM(xx)(3.10)

1 0 x 0 00nxx

h時,有0 0k,有|(x)

(x)

MLk1

(xx)k

MLk1h

xxxhk k

k! 0 k! 0 0k(3.11)k

hkhMLK1

Weierstrass(3.9x

xxhk! 0 0k1上一致收斂.因而序列{

(x)}在xxx

h上一致收斂.n 0 0(x(x,(xxxx

h,且n n 0 04

(x)(3.5)xx

h.0 0Lipschitz

(}xxxh一致收斂于()f(,(xxx

hn 0 0 n 0 0斂于f(x,(x)).因此即 (x)n

y0 x0

f(,())d故(x)(3.5)xxx

h.0 05 (x)(3.5)xxx

h一個,(x(x,0 0xxxh.0 0g(x(x(x|,g(xxxx

h非負于0 0而f(xy滿足Lipschitz,可得令u()Lxg)d,u()xxxhu(x

)0,x 0 0 000g()u(),u()

g(),u()u(),(u()u()ex

0,即u()ex)0xxxh,u()eLxu(x

)eLx 000 0 00g(xu(x0g0xxx

h,得.0 0對理說幾點:ha,bM

.Rf(xM,(x,

)

y(xM

M之,(x,y)M

0 0M.0 0Mb

a b

,)

y(x

a

x

a當(dāng)a M 0 0Mb

b a

xa

x

a,即,)a M 0 0R

xb 0 M

xx0 解M

y(xRx0

h.

fyRy

f并y界

f'(x,y)y

L上這里(x,y),(x,y1

)R,0

1

R連續(xù)R然滿足李普希茲條y件.但,滿足李普希茲條件fy偏導(dǎo)數(shù).例函數(shù)f(xy任都滿足李普希茲條,y0處沒(3.1,易知,P(xQ(x[],1滿足,且對任(x,y),x

[[]、連續(xù).0 0 0,(3.1),|xx0

h,n

(}

,R,,y,M

|P(x)

Q(x)|.,] 0、件件.如 .明 y0

f(x,y)

y

y|,y0

f(y)1y

y|y0上連續(xù),x(xy,y(xy

由0 0 0 0

yeex

yeex,

yeex,

y0

y0,x(x0

,0),y0通過,從而保證.但是|y0

y||L0

y0F(x,0(3.12),(x,y,)FF(x,y

,)0

F00 0 0

0 0 0

,而y

,yyy

f(x,y)(3.13)f(xy(xy,f(xy)0 0 0 0 0F,f(x,y,y,fy

/Fy(3.14),1,(3.13)y(x0

0..2 (x,y,):0 0 0ⅰ)F(x(x,；ⅱ）F(x,y,)00 0 0F(x,y,)ⅲ） 0 0 0 0y（3.12）yy(x) x0

（h夠小正）y(x)y, y(x)0 0 0 05）1——Picard逐次逼對第n次n

(x真正(x在|xx0

h內(nèi)式|(x)(x)n

MLn(n

hn13.1）此式可用數(shù)學(xué)歸納設(shè)有不等式成立,則1值問題dydx

x2

y2,

y(0)0R:1

x1

y1.M

(x,y)R

f(x,y|abhmin{a,b}M

1,|f2

2y2L,n3.,1x1,3 2 2§2 延拓節(jié)我們學(xué)習(xí)了存唯一性定理，當(dāng)dydx

f(x

fyR滿dy足存性唯一性條件時，初值問題dx

f(x,

|x

h存y 0

0y(x)0，定理結(jié)果局部，也說存很小

fy存在域增大，而能肯定存反而縮小。例如，一節(jié)1，當(dāng)定義域變?yōu)镽:2

x2

y2

,h,2}1|xx1.8 4 0 4存.1、飽和及飽和定義1 對定義平面域G微分方程dydx

f(x,y)(3.1)y(x)(3.1)I1

R,(3.1)I Ry(x,2(1)

I I I I1 2 1 22xI1

()()y(xxI1

y(xy(xI.2y(x,y(x),xI1I.1

(3.1),2、局部李普希茲2 若函

fy域G內(nèi)連續(xù)對G內(nèi)每P都以P點中心，完全含G內(nèi)閉矩形域R使得Rfyy李普希茲對于同的p p點閉矩形域R大小李普希茲常數(shù)L能同p

fyGy局部李普希茲.理3理dydx

f(x

fy界無界域GR

連續(xù)y局部李普希茲對任意點(xy

Gdydx

f(x以(xy0 0

0 0初值(x均以向左右展直到點x,域G邊界.x

y(x)x

m(,(域G(xyG一性定理初值問題0 0dydx

f(x,y)y 0

y(x)0（1）一y(x一區(qū)間為|xxhxxh,0 0 1 0 0y(x,以(xy為中心作一小矩形RG,則初值問題1 1 1 1 1dydx

f(x,y)y

y(x)1 1(2)

y(x一區(qū)間為|xxh.1 1(x(x一性定理,重疊部分應(yīng)有(x(x1 1xhxx時(x(x1 1 1y(x(3.1(1)(或,[xhxh0 0 1 1(3.1(1)y(xy(x程(3.1)y(x定義區(qū)間|xxh0 0h xxhhy(x的0 0 0 0 1y~()(3.1).推論1 對定義平面區(qū)域G上初值問題

f

(xyGy0

0 0y(x)0f(GLipschtiz,一非飽和解均可延推論2 設(shè)~()是初值問題

f

(xyGy0

0 0y(x)0一個飽和解，該飽和解飽和間I一定是開證明 飽和間I不是開,不妨設(shè)

,],(,~(G~()~()I時,(x,(x))G.

))3如果G是無界,上面解延拓定理(3.1)通過(xy點解0 0y(1y可以延拓到間[x(或(x)；0 0

y只可延拓到間[xm(或(mx)，為有限數(shù)，m時，0 0或者y(x)無界,或者點(x,(x))G.1

dydx

1分別通過點(0,0和點2

f(x,

y212.(0,0yexex,x；yexex,0x().yexex,0,x0y.2dy

1x.

f(x,y)1x

0.G()y.

yxlnx,0xx0,

y0,即,0x0yG.3dydx

(y2

a2f(x

f(x,y

fyxy ay(x)

(,.0 0 0 0證明 根據(jù),ya(,),對x,y

a,滿0 0y(x0

yy0

y(x),,,

yy(xya,,,(.:

f(x,y,y,)

x.xydy x

y(x

)

0 0 dx

x2y21 0 0(,.§3 值微理dy值問題dx

f(x,y)

中我們把值(x

看成固值然后再去討y 0

0 0y(x)0論dyf(x經(jīng)(xy.假(xy

變動相值問題也隨dx 0 0 0 0之變動也就說值問題僅依賴自變量x,還依賴值(xy.例：f(x,

y,y'

yycex,將y(x)0

0 0y帶入,yy0

xxe0e

.很顯然它x(x,

dy.因此將值問題dx

f(x,y)

記為0 0 y0

y(x)0y(x,x,y),它y (x,x,y).0 0 0 0 0 0值發(fā)生變化何變化？值微小變動變化是否也很小呢？為此就要討論值些1值稱性(3.1)y(x

)y ,y(x,x ,

,0 0 0 0,(x,y(x

y .0 0(3.1)y(x

y x,0 0 1(x,xy ),,(x,y)(xy

,1 1 0 0 1 1 0 0,y

(x,x,y).(x,y),y (x

,x,y)對0 0 1 1 1 1 0 0.2值連續(xù)依賴性于實際問題般，肯定時候誤差比較大，時候誤差比較小，實際應(yīng)用我們當(dāng)希望誤差較小，就說當(dāng)(x

,y )0 0變動很小時候，應(yīng)只微小變動，這就值連續(xù)依賴所要研究問題：討論這個問題之前，我們先來看個引理：引理：如果函數(shù)

f(xy于某域D連續(xù)，yLipschtiz（Lipschtiz常數(shù)L），（3.1）兩個(x)(x)，它們公共著不等式x)(x)

)(x0

)eLxx0|（3.17）x 所考慮域某.0(x)

(x于a

b則V(x)V(x)2(x)(x)

f(x,)

f(x,)2LV(x)而 d

(V(x)e2Lx)0,x0

[a,b],有a

x ,x0

t,x t0 0

,(3.1)

(t

(t).V(x)V(x

)e2L(x

x),axx0 0,

V(x)V(x

)e2Lx

|,a

b,ax b00 00f(x,y)Gy(x

y G0 0dydx

f(x,y

(x,x,y

)a

b上ax

b),任y0

0 0 0y(x )0意0

ab0使當(dāng)x

x )2(y y )2

2時,(3.1)0 0 0 0y(x

y y(x,x,

)a

b上也義0 0 0 0(x,x,y )(x,x,y ),a

b.0 0 0 0S:

(x,x,y0 0

)(x),a

bxy第一步:找區(qū)域D,使SDf(xyDy滿足Lipschitz條件.由已知條件,對(x,yS,存在以它為中心的開圓CC

G,使

f(x,y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件.因此,根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個具有這種性質(zhì)的圓C(iN(不同的CrLi i i iS,令G

NCii1

,則S

GG,對

0,記dS),min(,

LL,1

L)SNSDGGf(xyDy條件,Lipschitz常數(shù)為L.第二步:

ab))

x)2(y y)2

2時,解y(x)(x,x,y0 0

axb也有定義.

0 0 0 0Df(xyy

(x)(x,x,y0 0

DD(c,(c和(d(dcdcad

b.否則設(shè)ca,d

b,由引理有利用(x的連續(xù)性,對1

1eL(ba)有 0在,當(dāng)x2 2

0 2(x)(

),取,),當(dāng)(x x)2(y y)

2時就有0 1 1 2 0 0 0 0(x)(x)2(

)(x0

)

1e2Lxx0|2(x

)(x)|(x)(

))2e2Lxx0|0 0 0 0(x)(x)2(x)(x

)2)e2Lxx0|0 0 0 02|y y1 0 0

|2)e2L(ba)(3.18)

2e2L(ba1

2

(c

d)

[c,d],|(x)(x),|(c)(c),|(d)(d)(c,(c))(d(d))D,,y(x[ab.(x)(x),axb.3.1[c,d][a,b](x x )20 0

(y 0

)20

2(x,x,y )(x,x,y )0 0 0 0

a

b.3、若函數(shù)

fx,yG且關(guān)y滿足局(3.1)y(x,x,y )作為x,x,y 函數(shù)它存范圍.0 0 0 0(x

y G,(3.1)(x0 0

y )0 0

(x,

y 0 0(x,y )x(x,

,令0 0 0 0

(x,

y )V.0 0(x

,y )V0 0

b],

(x,

y [ab,xx0 0

[a,b].

0,(x x )2(y y )22,1 0 0 0 0 1y(x

y 0 0

[abx,2

0,

x 2min(,),(xx)2(x x )2(y y )2

21 2 0 0 0 0

(x,

y )V.0 04、初值參數(shù)依賴?yán)碛懻摵瑓?shù)微分f(x,y,)dx

G :(x,y)G,

(3.19)(xyG

(xy球C

G (x,

,),(x,y1

,)C，成立不等式L是與無關(guān)正數(shù)，稱函數(shù)f(x,y)G

內(nèi)關(guān)y一致地滿足局部李普希茲條件.由唯一性，0

()，通(x

y G是唯一確定0 0，記這個

(x,x,y ,).0 0 0f(xyG

,G

y,(x,y,)

y(xxy