二次函數(shù)知識清單及應(yīng)用點撥

2222222222222222222222二函知清及用撥序

知點二次函數(shù)條件

敘形如+bx+c(a≠0)的子叫做二次函數(shù)，其中是變量，y是x的數(shù)。二次函數(shù)必須滿足三個條件整式；②自變量的最高次數(shù)是

應(yīng)點①，b，c是常數(shù)≠，b，c沒有限制；②自變量的取值范圍是一切實數(shù)先將函數(shù)化簡成一般形式后再看是否滿足三個條件；二次項系數(shù)不為0

項及項的

對于二次函數(shù)y=ax

≠

①在一般式的基礎(chǔ)上來寫各項；系數(shù)

，其中ax為次項為一次項c為常數(shù)項b分是二次項系數(shù)和一次項系數(shù)

②項和系數(shù)都包含前面的性質(zhì)符號，尤其不要丟掉負號。

分類與特征三種表示方法及優(yōu)缺點

：a=0b≠0時對最高次項的系數(shù)含字母的函數(shù)，是一次函數(shù)；②，時，首要論該系數(shù)是否為0再判斷是常函數(shù)；a時bc是屬哪種函數(shù)類型否為可以得到各種不同形式的二次函數(shù)解析式①解析式法書寫簡單扼要函數(shù)的三種表示方法各具特色，通常直觀表能明顯顯示自變把這三種方法結(jié)合在一起使用量與對應(yīng)函數(shù)值數(shù)化規(guī)律不明顯③圖象法直觀結(jié)果不準確

一般形式

≠0)

已知圖象上任意三點的坐標或者三對x，y的，可選用這種形式

頂點式

+k

已知圖象頂點或?qū)ΨQ軸，可選用這種形式

交點式

)(x-x)12

已知圖象與x軸兩個交點坐標，可

待定系數(shù)法

選用這種形式待定系數(shù)法是求代數(shù)式或函數(shù)根據(jù)已知條件的特征選擇適合的設(shè)解析式的一種方法求子法轉(zhuǎn)化為解方程（組）的形式已知或可以推定的情況下，就可以使用待定系數(shù)法

描點法

列表、描點、連線

一般地在兩邊對稱的選取自變量x的數(shù)值，y也量是整數(shù)值

拋物線的平移

將拋物線y=ax向（下）平移k（k﹥0）個單位長度，得拋物線±圖象向）平移h(h個單位長度，得拋物線y=a(x+h)±k或y=a(x-h)

①拋物線的平移與拋物線上任意一點的平移一致，所以可以研究頂點的平移；②遵循規(guī)律“上加下減，左加右減”±k

開口方向

由二次項系數(shù)a的符號決定﹥，開口向上；﹤，開口向

反過來，也可以由拋物線的開口方向判斷a的負

頂點坐標

下拋物線y=a(x-h)的頂點坐標給頂點式的可以直接寫出頂點坐

222222222222222222是，k物+bx+c

標，給定一般式的可以通過配方法或2的頂點坐標是（﹣4）4

b2

，

頂點坐標公式寫出頂點坐標

對稱軸配方法

確定其對稱軸拋物線y=a(x-h)的對稱軸是確出拋物線頂點的橫坐標，即可以直線，拋物線y=axb的對稱軸是直線x=﹣2二次函數(shù)y=ax+bx+c利配方對于二次項系數(shù)較簡單且一次項系法可配成y=a(x-h)的形式，數(shù)是偶數(shù)的多用配方法,配是一種從而可解決頂點問題和最值問恒等變形題

頂點坐標

對于拋物線

+bx+c的點

對于二次項系數(shù)較復(fù)雜或一次項系

公式對稱性增減性

b42坐標是（﹣，）2aa拋物線是關(guān)于對稱軸對稱的軸對稱圖形當(dāng)a﹤0時在對稱軸左側(cè)，y

數(shù)是奇數(shù)的多用公式具有通用性拋物線上的兩點(b)(x，，則這1兩點關(guān)于對稱軸對稱，且對稱軸為xx12x=2反過來，可根據(jù)函數(shù)的增減性來判定

比較函數(shù)值的大小系數(shù)對拋物線的影響自變量的取值范圍與最值

隨x增而增大在對稱軸右二次項系數(shù)a的負側(cè)y隨大而減小a時的情況剛好相反比較二次函數(shù)的大小時計利用函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大算出具體數(shù)值來比較以小，注意分清對應(yīng)點是否在對稱軸用函數(shù)的增減性來比較的同側(cè)在拋物線y=ax中，決反來，也可以根據(jù)拋物線的形狀和定拋物線的開口方向和寬窄；位置來判斷拋物線系數(shù)的符號及系決定拋物線與y軸交點的位置，數(shù)之間的關(guān)系a，b共決定拋物線對稱軸的位置①當(dāng)自變量的取值范圍是全體實際問題中自變量往往受一些限制，實數(shù)時線最值在頂點處如長度、面積等一般式非負數(shù)；物品取得②當(dāng)自變量的取值范圍有個數(shù)、人數(shù)等式正整數(shù)限制時的值要結(jié)合圖象來求得

二與元程

次對二間

函應(yīng)次的

數(shù)一方關(guān)

對于二次函數(shù)y=ax，時，就是一元二次方程ax因此當(dāng)拋物線與軸相交時的橫坐標就是對

利用此種關(guān)系可以求交點坐標和方程的根，注意所謂“對應(yīng)”是指方程一般式的三個系數(shù)與函數(shù)一般式的系數(shù)分別相等系

應(yīng)方程的根過方程的根

2222222222ABC2222222222222222222ABC22222222222

二次函數(shù)與不等式

也是對應(yīng)交點的橫坐標對于拋物線+bx+c﹥0根據(jù)二次函數(shù)的范圍確定自變量的圖象在x軸上方，圖象在取范圍，一般要畫出二次函數(shù)的圖x軸﹤象x軸方，象，結(jié)合象求解因此可以借助圖象來解不等式

二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)與對應(yīng)一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系

二次函數(shù)圖象與x軸交點坐標的個數(shù)與對應(yīng)方程根的個數(shù)一致，對于拋物線+bx+c，△=b-4ac△﹥0時象與x軸兩個交點；eq\o\ac(△,)時圖象與x軸有一個交點﹤時，圖象與x軸有交點。反過來也可以由交點個數(shù)來確定

在判斷函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)或由交點個數(shù)求有關(guān)字母時，首先應(yīng)看二次項系數(shù)是否為有二次函程）才可以利用根的判別式系數(shù)間的關(guān)系

圖像法解方程

由二次函數(shù)的圖象與軸交點和對應(yīng)的根之間的關(guān)系借助函數(shù)圖象解一元二次方程（組）

①可以直接畫二次函數(shù)圖象來找交點，也可以先畫有關(guān)二次函數(shù)圖象和直線，再找它們的交點即為方程的解；②一般用逐步逼近法求解根是無

二次函數(shù)的實際應(yīng)用

理數(shù)的方程利用二次函數(shù)解決實際問題把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，鍵是建立二次函數(shù)模型步注意聯(lián)系實際，明確自變量的取值范驟簡寫為：審、找、列、解、驗圍練一、判斷題（正確打?，錯誤打?）、若b

2

－＞0，則二次函數(shù)y=ax

+bx+c的象與坐標軸的公共點的個數(shù)是2或3、若－4ac=0，則二次函數(shù)+bx+c的象與x軸有一個交點，且這個交點是拋物線頂點。、當(dāng)c=時，不論b為何值，拋物線y=ax一過y軸一定點。、若拋物線+bx+c與有唯一公共點，則方程+bx+c=0有個相等的實數(shù)根。、若拋物線+bx+c與x軸兩個交點A、，與y交于c點，，，拋物線解析式為y=x

－5x+4、若拋物線

+bx+c（≠0的頂點在軸下方，則一元二次方程a

有個不相等的實數(shù)根。、若拋物線+bx+c（≠0）過原點，則一元二次方程ax必一根為。、若ab+c=2則拋物線（≠）必過一定點。、若b＜，則拋物線軸一定沒有交點。10若元二次方程ax有個相等的實數(shù)根則函數(shù)y=cx的象與x軸必有兩個交點。、若b=0則拋物線+bx+c與軸的兩個交點一個在原點左邊，一個在原點右邊。二、選擇題1二次函數(shù)

y

x

的圖像的頂點坐標是（）A，）

B.，）

（，2）

（1，-4）

2、2、、若二次函數(shù)

yax

2

bx

的圖像開口向上，與x軸交點為（，0）知，此拋物線的對稱軸為直線x=1此時

x1

時，對應(yīng)的y與y的大小關(guān)系是（）12A．<yy=yC.y>yD.不確定12212、函數(shù)y=ax與y=ax＋bx＋1（a圖象可能是（）y

y

y

y

1

x

111xxA

B．

．

．知次數(shù)y＝ax+bx+c的圖如圖列5個數(shù)式a+b+c－2b+c，，2a－b中其值大于0的個數(shù)為（）A．2BC、4D5拋物線

yx

2

向下平移1個單位到的拋物）A

y2(x

B

y2(x

C．

yx

2

D．

y2x

2

二次函數(shù)

yx

的最小值是（AB1．－3D．

7、拋物線

y2(x)

2

（，是常數(shù)）的頂點坐標是（）A．

(m，)

B．

()

C．

(m

D．

(8、根據(jù)下表中的二次函數(shù)axbx的圖像與軸

的自變量與數(shù)y的應(yīng)值，可判斷二次函【】x?－01

2?y?－

7－4

?A．只有一個交點B．有兩個交點，且它們分別在y軸側(cè)C．有兩個交點，且它們均在y軸同側(cè)、拋物線

y(

的對稱軸是直線（）A

x

B

x

C．

x

D．

x

B.222B.22210把二次函數(shù)

14

用配方法化成

的形式A.

1yx44

C.

y

D.

y

12三、填空題填空題、圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)面在l，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面寬2平面直角坐標系物的關(guān)系是_____________圖（1）

圖（2、把拋物線y＝的象先向右平移3個單位，再向下平移2個位，所的圖象的解析式是y＝x－3x+5，則3、請寫出符合以下三個條件的個函數(shù)的解析式．①過點；②當(dāng)x時，隨的增大而減??；③當(dāng)自變量的值為2時函數(shù)值小于24、如圖7⊙O的徑，是函數(shù)=1

1x的象，C是數(shù)=-的圖象，則陰影部分的面積是

拋線

y

的部分圖象如圖8所示請寫出與其關(guān)系式圖相的2個正確結(jié)論：，稱方程，圖象與正軸y軸交點坐標例外）

、將一條長為的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是．、拋物線

y2

與

y

的兩交點關(guān)于原點對稱，則

a、

分別為．、二次函數(shù)

23

2

的圖象如圖12所示，點位坐標原點，點

1，

，?

2008在

y軸的正半軸上

1，?2008在次數(shù)

23

2

位于第一象限的圖象上，eq\o\ac(△,若)eq\o\ac(△,)01△

122，

23，?

2007

2008

2008都為等邊三角形，則△

2007

2008

2008

的邊長＝四、解答題、

拋物線

與x軸交AB兩(點在B點側(cè)直線與拋物線交于、C兩，其中C點橫坐標為2.(1)求A、兩點的坐標及直線AC的函數(shù)表達式；(2)P是段AC上的個動點，過P點軸的平行線交拋物線于E點，線段PE長的最大值；(3)點G是物線上的動點，在x上是否存在點F使、這的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在出所有滿足條件的F點坐標果存在說明理由.2、某商品的進價每件為5元現(xiàn)的售價為每件元每期可賣出70件市場調(diào)查反映：如果每件的售價每漲0元售價每件不高于140元么星期少賣5件設(shè)每件漲價x元x的正整數(shù)倍周售為。⑴求y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的值圍。⑵如定價才能使每周的利潤最大且每周銷量較大？每周的最大利潤是多少？、已知二次函數(shù)

yax

2

bx（a）圖象經(jīng)過點

，，C

，直線x（m）x軸于點．（1求二次函數(shù)的解析式；（2在直線

x

（

m

）上有一點

E

（點

E

在第四象限得

E、D、B

為頂點的三角形與以

AO、

為頂點的三角形相似，求

E

點坐標（用含

m

的代數(shù)式表示（3成的條件下拋物線上是存在一點

F

使四邊形

ABEF

為平行四邊形？若存在，請求出m的值及四邊形

的面積；若