廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試卷

…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁絕密·啟用前廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一二三四總分得分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、單選題1.已知集合M=x|xx?2＜0,N=x|x?1＜2.定義在?2,2上的下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（

）

A．y=sinx

B．y=3.已知隨機(jī)變量X~Nμ,σ2，若Pμ≤X≤μ+1=4.某校安排高一年級(jí)（1）～（5）班共5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，則高一（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為（

）

A．24

B．36

C．60

D．240

5.若函數(shù)y=6sinωx與y=6cosωx圖象的任意連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的等邊三角形，則正實(shí)數(shù)ω=（

）

6.趙爽弦圖（如圖1）中的大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼接而成的，若直角三角形的兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，由大正方形面積等于4個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和可得勾股定理a2+b2=c2．仿照趙爽弦圖構(gòu)造如圖2所示的菱形，它是由兩對(duì)全等的直角三角形和中間的矩形拼接而成的，設(shè)直角三角形的斜邊都為1，其中一對(duì)直角三角形含有銳角α，另一對(duì)直角三角形含有銳角β（位置如圖2所示）．借鑒勾股定理的推導(dǎo)思路可以得到結(jié)論（

）

A．sinα?β=7.已知拋物線E：y2=4x，圓F：x?12+y2=4，直線l：y=t（t為實(shí)數(shù)）與拋物線E交于點(diǎn)A，與圓F交于B，C兩點(diǎn)，且點(diǎn)B位于點(diǎn)C8.存在函數(shù)fx使得對(duì)于?x∈R都有fgx=x，則函數(shù)gx可能為（

）

A．gx評(píng)卷人得分二、多選題9.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是z，1?iz=1+i，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．z2022=4

B．10.吹氣球時(shí)，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為r（V），r'V為r（V）的導(dǎo)函數(shù)．已知r（V）在0≤V≤3上的圖象如圖所示，若0≤V1＜V2≤3，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．11.在所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)A是三棱柱的頂點(diǎn)，M，N、Q是所在棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中直線AQ與直線MN垂直的是（

）

A．

B．

C．

D．

12.如圖，已知扇形OAB的半徑為1，∠AOB=π2，點(diǎn)C、D分別為線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且CD=1，點(diǎn)E為AB?上的任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．OE?AB的最小值為0

評(píng)卷人得分三、填空題13.已知雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為14.若直線y=x+a和直線y=x+15.若函數(shù)fx=sinx?cos16.十字貫穿體（如圖1）是美術(shù)素描學(xué)習(xí)中一種常見的教具．如圖2，該十字貫穿體由兩個(gè)全等的正四棱柱組合而成，且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直，若底面正方形邊長為2，則這兩個(gè)正四棱柱公共部分所構(gòu)成的幾何體的內(nèi)切球的體積為__________．

評(píng)卷人得分四、解答題17.已知遞增等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4a2=a1a3，S3=14．

18.小李下班后駕車回家的路線有兩條．路線1經(jīng)過三個(gè)紅綠燈路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是13；路線2經(jīng)過兩個(gè)紅綠燈路口，第一個(gè)路口遇到紅燈的概率是12，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率是23．假設(shè)兩條路線全程綠燈時(shí)的駕車回家時(shí)長相同，且每個(gè)紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立．

(1)若小李下班后選擇路線1駕車回家，求至少遇到一個(gè)紅燈的概率．19.如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．20.如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F．

(1)證明：DF⊥平面ABC．

(2)若AE=2，二面角D-AC21.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a＞b＞0，點(diǎn)F1,0為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率不為0的直線l1交橢圓于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l1與x軸垂直時(shí)，MN=3．

(1)求橢圓22.已知函數(shù)fx=xenx?nx（n∈N*且n≥2）的圖象與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)．

(1)求點(diǎn)P處的切線方程y=gx，并證明：

參考答案1.C

【解析】

分別求出集合M和集合N，然后取交集即可.

集合M=x|xx?2＜0=x|02.D

【解析】

由正弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可得到答案.

A.2＞π2,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知y=sinx在?2,2上不為增函數(shù)，故排除；

B.y=?2x在?2,2上單調(diào)遞減，故排除；

C.y=ex=e?x，故函數(shù)在3.A

【解析】

由正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率．

由已知P(μ?1≤X≤μ)4.C

【解析】

按兩種情況分類計(jì)算，一種是只有高一（1）班被安排到A基地。另一種是還有一個(gè)班和高一（1）班一起被安排到A基地，兩類排法數(shù)相加可得答案.

5個(gè)班去A，B，C，D四個(gè)勞動(dòng)教育基地進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一個(gè)班，

如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么總的排法是C42A33=36種，

如果是還有一個(gè)班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么總的排法是C41A35.C

【解析】

作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想可得函數(shù)y=6sinωx的最小正周期T=4，結(jié)合T=2πω計(jì)算即可.

由題意知，

作出函數(shù)y=6sinωx和y=6cosωx的圖象，

設(shè)兩圖象相鄰的3個(gè)交點(diǎn)分別為A、B、C，如圖所示，

則AB=6.B

【解析】

表示出直角三角形的邊長，繼而表示出面積，求得中間矩形的面積，根據(jù)菱形面積等于四個(gè)直角三角形面積加上中間矩形面積，化簡可得答案.

由圖形可知：含銳角α的直角三角形兩直角邊長為sinα,cosα，

含銳角β的直角三角形兩直角邊長為sinβ,cosβ，

故菱形的面積為2×12×1×1×sin(α+β7.B

【解析】

先判斷出拋物線焦點(diǎn)和圓心重合，由拋物線定義得AF=AD，又FB=2，可得△FAB的周長為FA+AB+FB=DB+2，又知2＜DB＜4，即可求解.

由題意知：拋物線焦點(diǎn)1,0恰為圓心F，拋物線準(zhǔn)線l:x=?1，圓半徑為2，可得圓F與l相切，設(shè)直線8.D

【解析】

先判斷出gx必為偶函數(shù).對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性一一判斷，即可得到答案.

因?yàn)閷?duì)于?x∈R都有fgx=x，且y=x為偶函數(shù)，

所以gx必為偶函數(shù).

對(duì)于A：gx=sinx為奇函數(shù).故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：gx=x2+29.BC

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求得z，得共軛復(fù)數(shù)z，然后再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的定義、幾何意義判斷各選項(xiàng)．

由題意z=1+i1?i=(1+i)2(1?i)(110.BD

【解析】

A：設(shè)tanα=r1?r01?0,tanθ=r2?r12?1，由圖得α＞θ，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B:根據(jù)圖象和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得r'1＞r'2，所以該選項(xiàng)正確；

C:設(shè)V1=0,V2=3,r(32)＞r(11.AC

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得AQ,MN的坐標(biāo)，計(jì)算AQ?MN，即可判斷A,B,C,D的正誤.

所有棱長都相等的正三棱柱中，點(diǎn)A是三棱柱的頂點(diǎn)，M，N、Q是所在棱的中點(diǎn),故可設(shè)棱長為2，在正三棱柱中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

對(duì)于A，A(3,0,0),Q(0,0,0),M(0,1,1),N(0,0,2),

故AQ=(?3,0,0),MN=(0,?1,1)12.BCD

【解析】

以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，得B0，1，A1，0，設(shè)∠EOA=θ，則Ecosθ，sinθθ∈0,π2，求出AB?OE=2sinθ?π4，利用θ的范圍可判斷A；

求出EA、EB的坐標(biāo)，由EA?EB=1?2sinθ+π4，利用θ的范圍可判斷B；設(shè)Ct,0t∈0,1，可得D0,1?t2，求出EC、ED，由EC?ED=1?sinθ+φ，利用t、φ、θ，的范圍可判斷CD.

以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，所以B0，1，A1，0，

設(shè)∠EOA=θ，則Ecosθ，sinθθ∈0,π2，OE=13.2

【解析】

由題意，得e＝ca＝1+(ba14.2

【解析】

由條件可得直線y=x+a和直線y=x+b間的距離為2，由此可求a?b的值.

設(shè)直線y=x+a和圓x?12+y?12=1相交與點(diǎn)A,B，直線y=x+b與圓x?12+y?12=1相交于點(diǎn)M,N，圓心為C，

因?yàn)橹本€y=x+a和直線15.?π2（答案不唯一，φ取?π2【解析】

依題意，知y=sinx與y=cos(x+φ)同時(shí)取到最大值1，進(jìn)而可得φ=2mπ?π2(m∈Z)，令m=0可得符合題意的φ的值．

函數(shù)fx=sinx?cosx+φ的最大值為1，

∴可取y=sinx與y=cos(x16.43【解析】

分析該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，作出該幾何體的草圖，該幾何體可以看成兩個(gè)全等的四棱錐或八個(gè)全等的三棱錐組成，利用等體積法求出其內(nèi)切球的半徑，即可代入球的體積公式，即可求出結(jié)果.

該幾何體的直觀圖如圖所示，這兩個(gè)正四棱柱公共部分所構(gòu)成的幾何體為兩個(gè)全等的四棱錐S?ABCD和P?ABCD組成；

由題意，這兩個(gè)直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是內(nèi)切球的球心，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，設(shè)AC的中點(diǎn)為H，連接BH，SH，可知SH即為四棱錐S?ABCD的高，

在Rt△ABH中，BH=AB2?AH2=6?17.(1)an=2【解析】

（1）設(shè)an的公比為q，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量的運(yùn)算即可求得通項(xiàng)；

（2）（方法一）利用已知條件列舉出數(shù)列各項(xiàng)，然后分組求和即可；

（方法二）寫出數(shù)列bn的通項(xiàng)，然后分組求和即可.

(1)

設(shè)an的公比為q，則由4a2=a1a3，得4a1q=a1?a1q2．

整理得a1q=4．

又S3=14，得a11+q+q2=14．

聯(lián)立得a1q=4a11+q+q2=14，消去a1，得2q2?5q+2=0．

解得q=2或q=12．

又因?yàn)閍n為遞增等比數(shù)列，

所以q=2，a1=2．

所以an=a1q18.(1)1927

(2)小李應(yīng)選擇路線1；理由見解析【解析】

（1）設(shè)路線1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則X~B3,13，由對(duì)立事件概率公式P(X≥1)=1?P(X=0)計(jì)算概率；

（2）設(shè)路線1累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為Y1，則Y1~B3,13，由二項(xiàng)分布的期望公式得期望EY1，設(shè)路線2第i個(gè)路口遇到紅燈為事件Ai（i=1，2），則PA1=12，PA2=23，

設(shè)路線2累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為Y2，則Y2的所有可能取值為0，1，2，依獨(dú)立事件與互斥事件及對(duì)立事件概率公式計(jì)算出各概率，得期望EY2，比較可得．

(1)

設(shè)路線1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則X~B3,13，

所以至少遇到一個(gè)紅燈的事件為PX≥1，

由對(duì)立事件概率公式，

得PX19.(1)證明見解析

(2)PC【解析】

（1）由正弦定理得PBsinα=ABsin∠APB，即PBsin∠APB=ABsinα，即要證明sin∠ABC=sin∠APB即可，由此利用三角形內(nèi)角和證明可得結(jié)論；

（2）由題意求得PB=sinα，繼而求得PC=2sinα，在△PAB中利用余弦定理求得sinα=55，即可求得答案.

(1)

證明：

在△ABP中，由正弦定理得PBsinα=ABsin∠APB，

即PBsin∠APB=ABsinα，

要證明PBsin∠ABC=ABsinα，只需證明sin∠ABC20.(1)證明見解析

(2)64【解析】

（1）取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，證明四邊形DEGF是平行四邊形,然后利用線面垂直的判定定理證明EG⊥平面ABC,從而得到DF⊥平面ABC.

（2）（方法一）過點(diǎn)E作EH⊥EC，以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)DE=a,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知條件可得DE長，然后利用線面角的向量公式求解即可；

（方法二）連接DG，可證得∠DGE=π6，可得DE長，過點(diǎn)F作FI⊥DG，垂足為I，利用線面垂直及面面垂直的性質(zhì)可得FI⊥平面ACD，連接AI，則∠FAI即為所求角，在三角形中計(jì)算可得答案.

(1)

如圖，

取AC中點(diǎn)G，連接FG和EG，由已知得DE∥BC，且DE=12BC．

因?yàn)镕，G分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，且FG=12BC

所以DE∥FG，且DE=FG．

所以四邊形DEGF是平行四邊形．

所以EG∥DF．

因?yàn)榉鄣腂C⊥AC，易知DE⊥AC．

所以翻折后DE⊥EA，DE⊥EC．

又因?yàn)镋A∩EC=E，EA，EC?平面AEC，

所以DE⊥平面AEC．

因?yàn)镈E∥BC，

所以BC⊥平面AEC．

因?yàn)镋G?平面AEC，所以EG⊥BC．

因?yàn)椤鰽CE是等邊三角形，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，所以EG⊥AC

又因?yàn)锳C∩BC=C，AC，BC?平面ABC．

所以EG⊥平面ABC．

因?yàn)镋G∥DF，所以DF⊥平面ABC．

(2)

（方法一）如圖，

過點(diǎn)E作EH⊥EC，以E為原點(diǎn)，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，設(shè)DE=a，則A3,1,0，B0,2,2a，C0,2,0，D0,0,a，則AB=?3,1,2a，AC=?3,1,0，CD=0,?2,a，

因?yàn)镈E⊥平面AEC．所以ED=0,0,a是平面AEC的法向量，

設(shè)面ACD的法向量為m=x,y,z，則

m?AC=0m?CD=0，即-3x+y=0-2y+az=0，解得x=33yz=2ay．

取y=3a，得21.(1)x24+【解析】

（1）l1與x軸垂直時(shí)M的坐標(biāo)代入橢圓方程和a2=b2+1聯(lián)立可得答案；

（2）設(shè)l1的方程為x=my+1，Mx1,y1，Nx2,y2，與橢圓