概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1第一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二問(wèn)題的提出： 在一些實(shí)際問(wèn)題中，我們需要了解隨機(jī)變量的分布函數(shù)外，更關(guān)心的是隨機(jī)變量的某些特征。例：在評(píng)定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，最關(guān)心的 是平均產(chǎn)量；在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的 平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的 偏離程度；

考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；第二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§1數(shù)學(xué)期望

例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績(jī) 如下：

評(píng)定他們的成績(jī)好壞。甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910

解：計(jì)算甲的平均成績(jī)：

計(jì)算乙的平均成績(jī)：

所以甲的成績(jī)好于乙的成績(jī)。第三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二定義：定義：數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。第四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例2：有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接 組成整機(jī)，求整機(jī)壽命N(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望。解：

是指數(shù)分布的密度函數(shù)問(wèn)題：將2個(gè)電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī)， 整機(jī)的平均壽命又該如何計(jì)算？根據(jù)N的概率密度f(wàn)min(x),可得到E(N).第五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例3：設(shè)有10個(gè)同種電子元件，其中2個(gè)廢品。裝配儀器時(shí)，從這10個(gè)中任取1個(gè)，若是廢品，扔掉后重取

1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：第六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例4：設(shè)一臺(tái)機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停工。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障獲利5萬(wàn)元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？ 解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機(jī)器發(fā)生故障天數(shù)，設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤(rùn)，則第七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例5：第八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例6：第九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二10幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望第十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例7：已知某零件的橫截面是個(gè)圓，對(duì)橫截面的直徑X進(jìn)行測(cè)量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截面面積S的數(shù)學(xué)期望。第十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例8：第十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例9：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為：

X=1第十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

第十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二數(shù)學(xué)期望的特性：

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況第十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二證明：下面僅對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量給予證明：第十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二19第十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二20第二十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例11：一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)出發(fā)，旅客有10 個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求

(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨(dú)立)本題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和來(lái)求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。

解：引入隨機(jī)變量： 第二十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例12：第二十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二23總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例11的方法：“X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和，利用E(X)=E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)”

根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用。第二十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二24定義：定義：數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。第二十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二25

第二十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二26幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望第二十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二27數(shù)學(xué)期望的特性：

這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量線性組合的情況第二十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§2方差設(shè)有一批燈泡壽命為：一半約950小時(shí)，另一半約1050小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000小時(shí)；問(wèn)題：哪批燈泡的質(zhì)量更好？(質(zhì)量更穩(wěn)定)

單從平均壽命這一指標(biāo)無(wú)法判斷，進(jìn)一步考察燈泡壽命X與均值1000小時(shí)的偏離程度。

第二十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二29我們需要引進(jìn)一個(gè)量來(lái)描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度偏離的度量：平均偏離：絕對(duì)值（不好研究）第二十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二30但是，絕對(duì)值（大）平方（大)所以我們研究方差

定義設(shè)X是一隨機(jī)變量，

為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。存在，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即方差實(shí)際上是一個(gè)特殊的函數(shù)g(X)=(X-E(X))2

的期望第三十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，此外，利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差得計(jì)算公式(常用)：第三十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望第三十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：第三十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例3：解：

第三十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例4：解：X的概率密度為：第三十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例5：設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布，其概率密度 為：即對(duì)指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)θ第三十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二方差的性質(zhì)：

第三十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二證明：第三十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二39X與Y相互獨(dú)立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3。E(X-2Y)；D(X-2Y)。

解：由數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)

第三十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例6：Xkpk011-pp第四十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例7：解：第四十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二例8：設(shè)活塞的直徑(以cm計(jì)) 汽缸的直徑 X,Y相互獨(dú) 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。第四十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二表1幾種常見分布的均值與方差數(shù)學(xué)期望方差

分布率或密度函數(shù)

分布0－1分布

pp(1-p)二項(xiàng)分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布

均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布第四十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二45幾個(gè)與期望及方差有關(guān)的練習(xí)題1、設(shè)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)=

；2、設(shè)X~

B(n,p),已知E(X)=1.6,D(X)=1.28,則n=;P=;3、設(shè)X~P(λ)，且P(X=1)=P(X=2),則E(X)=

,D(X)=;第四十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二46總結(jié)方差的計(jì)算方法定義法：函數(shù)的數(shù)學(xué)期望方差的性質(zhì)常用公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2X分解成數(shù)個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，利用D(X)=D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)”

根據(jù)題型，以上方法可能獨(dú)立使用，也可能結(jié)合使用。第四十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二47作業(yè)題P94：1，7第四十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內(nèi)容。定義：

第四十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二49協(xié)方差的計(jì)算證(2):注:X,Y相互獨(dú)立第四十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二協(xié)方差的性質(zhì)：思考題：第五十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二51證明4)：利用第五十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二52例1、設(shè)(X,Y)的分布律為：0101-p010p求COV(X,Y).0101-p010p第五十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二530101-p010p第五十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二54易知:X01Y01E(X)=PE(Y)=P第五十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二55例2：設(shè)(X,Y)的概率密度為：第五十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二56XY11D0第五十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二57第五十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二58相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)線性關(guān)系第五十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二59證明（1）第五十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二60第六十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二61相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)是描述了X與Y線性相關(guān)程度X,Y不相關(guān)(弱)X,Y相互獨(dú)立(強(qiáng))(沒(méi)有線性關(guān)系）(沒(méi)有任何關(guān)系）可能會(huì)有別的關(guān)系，如二次關(guān)系。第六十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二62復(fù)習(xí)公式第六十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二63實(shí)用的相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式第六十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二64第六十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二65Variable1Variable2DataCorrelations第六十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二66Variable1Variable2DataCorrelations第六十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二67Variable1Variable2DataCorrelations%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])第六十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二68Variable1Variable2DataCorrelations%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])r=1.00000.70510.70511.0000第六十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二69練習(xí)題計(jì)算文檔testdata2.txt中數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)步驟：1、用textread函數(shù)讀取文檔testdata2.txt中的數(shù)據(jù)

2、用corrcoef函數(shù)計(jì)算讀取的兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)第六十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二70Solution%readdata[var1,var2]=textread('testdata2.txt','%f%f','headerlines',1)%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])%Plotdatapointsfigure(1)plot(var1,var2,'ro')Variable2Variable1第七十頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二71程序運(yùn)行結(jié)果r=1.000000000000000.594792457879950.594792457879951.00000000000000所以相關(guān)系數(shù)等于：0.59479245787995第七十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，編輯于2023年，星期二72相關(guān)系數(shù)等于：－0.5947