概率論與數(shù)理統(tǒng)計

關于概率論與數(shù)理統(tǒng)計1第一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二問題的提出： 在一些實際問題中，我們需要了解隨機變量的分布函數(shù)外，更關心的是隨機變量的某些特征。例：在評定某地區(qū)糧食產量的水平時，最關心的 是平均產量；在檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的 平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的 偏離程度；

考察臨沂市區(qū)居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異 程度；第二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二§1數(shù)學期望

例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下：

評定他們的成績好壞。甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)2065158910

解：計算甲的平均成績：

計算乙的平均成績：

所以甲的成績好于乙的成績。第三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二定義：定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。第四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例2：有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命 服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接 組成整機，求整機壽命N(以小時計)的數(shù)學期望。解：

是指數(shù)分布的密度函數(shù)問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機， 整機的平均壽命又該如何計算？根據(jù)N的概率密度fmin(x),可得到E(N).第五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例3：設有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配儀器時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取

1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。解：X的分布律為：第六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例4：設一臺機器一天內發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內期望利潤是多少？ 解：設X表示一周5天內機器發(fā)生故障天數(shù)，設Y表示一周內所獲利潤，則第七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例5：第八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二例6：第九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二10幾種重要分布的數(shù)學期望第十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

第十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

第十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截面面積S的數(shù)學期望。第十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例8：第十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例9：設隨機變量(X,Y)的概率密度為：

X=1第十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

第十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二數(shù)學期望的特性：

這一性質可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況第十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二證明：下面僅對連續(xù)型隨機變量給予證明：第十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二19第十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二20第二十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例11：一民航送客車載有20位旅客自機場出發(fā)，旅客有10 個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求

(設每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設各旅 客是否下車相互獨立)本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學期望等于隨機變量數(shù)學期望之和來求數(shù)學期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。

解：引入隨機變量： 第二十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例12：第二十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二23總結數(shù)學期望的計算方法數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的性質隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望例11的方法：“X分解成數(shù)個隨機變量之和，利用E(X)=E(X1+X2+…+Xn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)”

根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結合使用。第二十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二24定義：定義：數(shù)學期望簡稱期望，又稱均值。第二十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二25

第二十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二26幾種重要分布的數(shù)學期望第二十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二27數(shù)學期望的特性：

這一性質可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況第二十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二§2方差設有一批燈泡壽命為：一半約950小時，另一半約1050小時→平均壽命為1000小時；另一批燈泡壽命為：一半約1300小時，另一半約700小時→平均壽命為1000小時；問題：哪批燈泡的質量更好？(質量更穩(wěn)定)

單從平均壽命這一指標無法判斷，進一步考察燈泡壽命X與均值1000小時的偏離程度。

第二十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二29我們需要引進一個量來描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值與E(X)的偏離程度偏離的度量：平均偏離：絕對值（不好研究）第二十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二30但是，絕對值（大）平方（大)所以我們研究方差

定義設X是一隨機變量，

為標準差或均方差。存在，則稱之為X的方差。記為D(X)或Var(X)，即方差實際上是一個特殊的函數(shù)g(X)=(X-E(X))2

的期望第三十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二對于離散型隨機變量X，對于連續(xù)型隨機變量X，此外，利用數(shù)學期望的性質，可得方差得計算公式(常用)：第三十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例1：設隨機變量X具有數(shù)學期望第三十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例2：設隨機變量X具有0-1分布，其分布律為： 解：第三十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例3：解：

第三十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例4：解：X的概率密度為：第三十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例5：設隨機變量X服從指數(shù)分布，其概率密度 為：即對指數(shù)分布而言，方差是均值的平方，而均值恰為參數(shù)θ第三十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二方差的性質：

第三十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二證明：第三十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二39X與Y相互獨立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3。E(X-2Y)；D(X-2Y)。

解：由數(shù)學期望和方差的性質

第三十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例6：Xkpk011-pp第四十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二

例7：解：第四十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二第四十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二例8：設活塞的直徑(以cm計) 汽缸的直徑 X,Y相互獨 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能裝入汽缸的概率。第四十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二表1幾種常見分布的均值與方差數(shù)學期望方差

分布率或密度函數(shù)

分布0－1分布

pp(1-p)二項分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布

均勻分布U(a,b)指數(shù)分布正態(tài)分布第四十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二45幾個與期望及方差有關的練習題1、設X的數(shù)學期望E(X)=2,方差D(X)=4,則E(X2)=

；2、設X~

B(n,p),已知E(X)=1.6,D(X)=1.28,則n=;P=;3、設X~P(λ)，且P(X=1)=P(X=2),則E(X)=

,D(X)=;第四十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二46總結方差的計算方法定義法：函數(shù)的數(shù)學期望方差的性質常用公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2X分解成數(shù)個相互獨立的隨機變量之和，利用D(X)=D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)”

根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結合使用。第四十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二47作業(yè)題P94：1，7第四十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二§3協(xié)方差及相關系數(shù)

對于二維隨機變量(X,Y)，除了討論X與Y的數(shù)學期望和方差外，還需討論描述X與Y之間相互關系的數(shù)字特征。這就是本節(jié)的內容。定義：

第四十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二49協(xié)方差的計算證(2):注:X,Y相互獨立第四十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二協(xié)方差的性質：思考題：第五十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二51證明4)：利用第五十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二52例1、設(X,Y)的分布律為：0101-p010p求COV(X,Y).0101-p010p第五十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二530101-p010p第五十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二54易知:X01Y01E(X)=PE(Y)=P第五十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二55例2：設(X,Y)的概率密度為：第五十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二56XY11D0第五十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二57第五十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二58相關系數(shù)的性質線性關系第五十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二59證明（1）第五十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二60第六十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二61相關系數(shù)的意義相關系數(shù)是描述了X與Y線性相關程度X,Y不相關(弱)X,Y相互獨立(強)(沒有線性關系）(沒有任何關系）可能會有別的關系，如二次關系。第六十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二62復習公式第六十二頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二63實用的相關系數(shù)計算公式第六十三頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二64第六十四頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二65Variable1Variable2DataCorrelations第六十五頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二66Variable1Variable2DataCorrelations第六十六頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二67Variable1Variable2DataCorrelations%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])第六十七頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二68Variable1Variable2DataCorrelations%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])r=1.00000.70510.70511.0000第六十八頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二69練習題計算文檔testdata2.txt中數(shù)據(jù)的相關系數(shù)步驟：1、用textread函數(shù)讀取文檔testdata2.txt中的數(shù)據(jù)

2、用corrcoef函數(shù)計算讀取的兩個隨機變量數(shù)據(jù)的相關系數(shù)第六十九頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二70Solution%readdata[var1,var2]=textread('testdata2.txt','%f%f','headerlines',1)%Computesamplecorrelation[r]=corrcoef([var1,var2])%Plotdatapointsfigure(1)plot(var1,var2,'ro')Variable2Variable1第七十頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二71程序運行結果r=1.000000000000000.594792457879950.594792457879951.00000000000000所以相關系數(shù)等于：0.59479245787995第七十一頁，共八十三頁，編輯于2023年，星期二72相關系數(shù)等于：－0.5947