2019版數(shù)學(xué)大江蘇專版：第八章 立體幾何與空間向量8.5 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§8。5空間向量及其運算考情考向分析本節(jié)是空間向量的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及空間直角坐標系、空間向量的有關(guān)概念、定理、公式及四種運算等內(nèi)容．一般不單獨命題，常以簡單幾何體為載體；以解答題的形式出現(xiàn)，考查平行、垂直關(guān)系的判斷和證明及空間角的計算，解題要求有較強的運算能力．1．空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個平面的向量2．空間向量中的有關(guān)定理（1)共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(a≠0）,b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得b＝λa.（2)共面向量定理如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y），使得p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理如果三個向量e1，e2，e3不共面,那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y,z），使得p＝xe1＋ye2＋ze3。3．空間向量的數(shù)量積及運算律（1）數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角a,b是空間兩個非零向量,過空間任意一點O,作eq\o（OA，\s\up6（→))＝a,eq\o(OB，\s\up6（→)）＝b，則∠AOB叫做向量a與向量b的夾角,記作<a,b〉,其范圍是0≤<a，b〉≤π,若〈a，b〉＝eq\f(π，2），則稱a與b互相垂直，記作a⊥b。②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個非零向量a，b，則|a｜|b｜cos〈a,b〉叫做向量a,b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運算律①（λa）·b＝λ(a·b）;②交換律：a·b＝b·a;③分配律:a·(b＋c)＝a·b＋a·c。4．空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝（b1，b2,b3）。向量表示坐標表示數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共線a＝λb（b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0（a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模｜a|eq\r（a\o\al(2，1)＋a\o\al（2，2)＋a\o\al（2,3)）夾角<a，b>（a≠0，b≠0）cos〈a，b>＝eq\f（a1b1＋a2b2＋a3b3,\r（a\o\al(2,1）＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)）·\r（b\o\al（2,1）＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)）)知識拓展1．向量三點共線定理在平面中A,B,C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→）)＝xeq\o（OB，\s\up6（→))＋yeq\o(OC，\s\up6（→))(其中x＋y＝1），O為平面內(nèi)任意一點．2．向量四點共面定理在空間中P，A,B,C四點共面的充要條件是:eq\o（OP,\s\up6(→）)＝xeq\o（OA,\s\up6（→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→））＋zeq\o（OC，\s\up6(→))（其中x＋y＋z＝1）,O為空間中任意一點．題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√"或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．（√)(2）在向量的數(shù)量積運算中（a·b)·c＝a·（b·c）．(×）（3）對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c。(×）（4）兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．（×）（5）若A,B，C，D是空間任意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6(→)）＋eq\o(CD，\s\up6（→))＋eq\o（DA,\s\up6(→))＝0。（√）（6)若a·b〈0，則〈a，b〉是鈍角．(×）題組二教材改編2．［P84練習(xí)T5]如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a,eq\o（AD，\s\up6(→）)＝b,eq\o（AA1，\s\up6（→）)＝c,則向量eq\o（BM,\s\up6(→））可用a，b，c表示為______________．答案－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c解析eq\o(BM,\s\up6(→））＝eq\o（BB1，\s\up6（→））＋eq\o(B1M,\s\up6（→))＝eq\o（AA1，\s\up6（→)）＋eq\f（1,2）(eq\o（AD，\s\up6（→））－eq\o（AB,\s\up6(→）））＝c＋eq\f（1,2)(b－a）＝－eq\f(1,2）a＋eq\f(1,2)b＋c.3．[P91練習(xí)T6］設(shè)a＝(2,2m－3，n＋2）,b＝（4，2m＋1，3n－2），且a∥b，則實數(shù)m，n的值分別為________．答案eq\f(7,2),6解析∵a∥b，∴eq\f（2，4)＝eq\f（2m－3,2m＋1）＝eq\f（n＋2,3n－2），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f(7,2）,,n＝6.））題組三易錯自糾4．在空間直角坐標系中,已知A(1，2,3),B(－2,－1，6)，C（3,2，1)，D（4，3，0），則直線AB與CD的位置關(guān)系是________．答案平行解析由題意得,eq\o(AB，\s\up6（→））＝(－3，－3，3)，eq\o（CD,\s\up6（→))＝(1，1，－1)，∴eq\o（AB,\s\up6(→）)＝－3eq\o（CD,\s\up6（→)），∴eq\o（AB，\s\up6(→））與eq\o（CD,\s\up6（→)）共線，又AB與CD沒有公共點,∴AB∥CD.5．與向量（－3，－4,5）共線的單位向量是__________________________________．答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3\r（2),10），\f（2\r（2）,5），－\f（\r(2)，2）））和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3\r(2）,10),－\f(2\r（2)，5)，\f(\r(2）,2)）)解析因為與向量a共線的單位向量是±eq\f（a,｜a|)，又因為向量（－3，－4,5）的模為eq\r(－32＋－42＋52)＝5eq\r(2)，所以與向量(－3，－4,5）共線的單位向量是±eq\f（1,5\r(2)）（－3，－4,5)＝±eq\f（\r（2），10）(－3,－4，5)．6．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且eq\o（OP，\s\up6(→））＝eq\f(3,4)eq\o(OA，\s\up6(→））＋eq\f(1，8)eq\o(OB，\s\up6(→）)＋teq\o(OC,\s\up6(→）),若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝________。答案eq\f（1，8）解析∵P，A，B,C四點共面，∴eq\f(3,4）＋eq\f(1，8）＋t＝1，∴t＝eq\f(1，8)。題型一空間向量的線性運算1.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中,O為AC的中點．用eq\o（AB，\s\up6(→)）,eq\o(AD，\s\up6（→）),eq\o(AA1，\s\up6（→)）表示eq\o（OC1，\s\up6(→)），則eq\o（OC1,\s\up6（→）)＝________________.答案eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up6(→）)＋eq\f(1,2)eq\o（AD，\s\up6（→)）＋eq\o（AA1,\s\up6（→））解析∵eq\o（OC,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)eq\o(AC，\s\up6(→）)＝eq\f(1，2）(eq\o(AB,\s\up6（→))＋eq\o（AD，\s\up6（→）)），∴eq\o（OC1,\s\up6(→)）＝eq\o（OC,\s\up6(→)）＋eq\o(CC1,\s\up6(→）)＝eq\f(1,2)(eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6(→）)）＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1，2）eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\f(1,2）eq\o(AD,\s\up6(→)）＋eq\o(AA1,\s\up6（→））.2.如圖，在三棱錐O—ABC中，M，N分別是AB，OC的中點，設(shè)eq\o(OA,\s\up6（→))＝a，eq\o（OB，\s\up6(→）)＝b，eq\o(OC,\s\up6（→)）＝c，用a,b，c表示eq\o(NM,\s\up6(→))，則eq\o(NM,\s\up6（→））＝________.答案eq\f(1，2）(a＋b－c）解析eq\o(NM,\s\up6(→））＝eq\o（NA,\s\up6(→))＋eq\o(AM，\s\up6（→))＝（eq\o(OA,\s\up6(→）)－eq\o(ON，\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o（OA，\s\up6（→）)－eq\f(1，2）eq\o(OC,\s\up6（→))＋eq\f（1，2）（eq\o(OB，\s\up6（→)）－eq\o(OA,\s\up6(→）))＝eq\f（1，2)eq\o（OA,\s\up6(→））＋eq\f（1,2)eq\o（OB,\s\up6（→))－eq\f(1，2)eq\o（OC,\s\up6（→））＝eq\f(1,2)(a＋b－c）．思維升華用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用典例如圖所示，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1，點M,N分別在AC1和BC上,且滿足eq\o(AM,\s\up6（→))＝keq\o（AC1,\s\up6(→）)，eq\o（BN，\s\up6(→）)＝keq\o(BC,\s\up6（→))(0≤k≤1）．(1）向量eq\o（MN,\s\up6（→)）是否與向量eq\o(AB，\s\up6(→）),eq\o(AA1,\s\up6（→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行？解（1)∵eq\o（AM，\s\up6(→））＝keq\o（AC1,\s\up6(→）），eq\o(BN,\s\up6（→)）＝keq\o(BC,\s\up6（→)),∴eq\o(MN，\s\up6（→)）＝eq\o(MA,\s\up6(→)）＋eq\o(AB，\s\up6(→）)＋eq\o（BN,\s\up6（→)）＝keq\o(C1A，\s\up6(→))＋eq\o（AB，\s\up6（→）)＋keq\o(BC,\s\up6（→))＝k（eq\o(C1A，\s\up6(→)）＋eq\o（BC,\s\up6（→）)）＋eq\o（AB，\s\up6(→））＝k(eq\o(C1A,\s\up6（→）)＋eq\o(B1C1,\s\up6(→））)＋eq\o(AB,\s\up6（→）)＝keq\o（B1A,\s\up6(→）)＋eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→)）－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→）)－k(eq\o(AA1，\s\up6(→）)＋eq\o（AB,\s\up6（→)））＝(1－k）eq\o（AB，\s\up6(→)）－keq\o(AA1,\s\up6（→）），∴由共面向量定理知向量eq\o（MN，\s\up6(→））與向量eq\o(AB，\s\up6(→)）,eq\o(AA1，\s\up6（→))共面．（2)當k＝0時,點M，A重合，點N，B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)，當0〈k≤1時，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，又由(1）知eq\o（MN,\s\up6（→）)與eq\o(AB,\s\up6（→）),eq\o(AA1,\s\up6（→）)共面，∴MN∥平面ABB1A1。思維升華（1）證明空間三點P，A,B共線的方法①eq\o(PA，\s\up6(→）)＝λeq\o（PB,\s\up6（→))(λ∈R);②對空間任一點O,eq\o（OP,\s\up6（→））＝eq\o(OA，\s\up6（→）)＋teq\o（AB,\s\up6（→）)(t∈R）；③對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6（→))＝xeq\o(OA,\s\up6（→））＋yeq\o（OB,\s\up6（→））（x＋y＝1）．(2)證明空間四點P,M，A,B共面的方法①eq\o（MP，\s\up6（→））＝xeq\o（MA,\s\up6(→)）＋yeq\o（MB，\s\up6(→））;②對空間任一點O，eq\o(OP，\s\up6（→））＝eq\o(OM，\s\up6(→)）＋xeq\o（MA,\s\up6（→)）＋yeq\o（MB,\s\up6(→）)；③對空間任一點O，eq\o（OP，\s\up6（→)）＝xeq\o（OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA，\s\up6(→)）＋zeq\o(OB，\s\up6(→))（x＋y＋z＝1）；④eq\o（PM，\s\up6（→)）∥eq\o（AB，\s\up6（→)）（或eq\o（PA，\s\up6(→）)∥eq\o（MB，\s\up6（→))或eq\o（PB，\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6（→)))．跟蹤訓(xùn)練如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別是A1D1，D1D,D1C1的中點．(1）試用向量eq\o(AB，\s\up6(→))，eq\o（AD，\s\up6（→)），eq\o(AA1，\s\up6（→))表示eq\o（AG,\s\up6(→)）；（2)用向量方法證明平面EFG∥平面AB1C。(1）解設(shè)eq\o（AB,\s\up6（→))＝a，eq\o（AD,\s\up6(→）)＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由圖得eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o（AA1,\s\up6(→）)＋eq\o（A1D1，\s\up6(→)）＋eq\o(D1G，\s\up6(→）)＝c＋b＋eq\f(1,2)eq\o(DC，\s\up6(→））＝eq\f（1,2）a＋b＋c＝eq\f（1,2）eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（AD,\s\up6（→))＋eq\o(AA1，\s\up6(→)).(2）證明由題圖，得eq\o（AC，\s\up6（→）)＝eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(BC，\s\up6(→）)＝a＋b，eq\o（EG，\s\up6(→）)＝eq\o（ED1，\s\up6（→))＋eq\o(D1G，\s\up6(→))＝eq\f（1，2)b＋eq\f(1,2）a＝eq\f（1，2）eq\o(AC，\s\up6(→）)，∵EG與AC無公共點，∴EG∥AC,∵EG?平面AB1C,AC?平面AB1C，∴EG∥平面AB1C。又∵eq\o（AB1，\s\up6(→））＝eq\o(AB,\s\up6（→)）＋eq\o（BB1，\s\up6（→)）＝a＋c，eq\o(FG,\s\up6(→)）＝eq\o(FD1,\s\up6（→））＋eq\o（D1G,\s\up6（→)）＝eq\f（1,2）c＋eq\f（1,2）a＝eq\f（1,2)eq\o（AB1，\s\up6（→）），∵FG與AB1無公共點,∴FG∥AB1,∵FG?平面AB1C，AB1?平面AB1C，∴FG∥平面AB1C，又∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用典例如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1＝2,∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1)求線段AC1的長；(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;（3)求證:AA1⊥BD.（1)解設(shè)eq\o（AB，\s\up6（→））＝a，eq\o（AD，\s\up6（→）)＝b,eq\o(AA1，\s\up6（→)）＝c，則｜a｜＝|b｜＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1。∵eq\o（AC1,\s\up6(→））＝eq\o（AC，\s\up6（→)）＋eq\o（CC1，\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1，\s\up6(→）)｜＝|a＋b＋c｜＝eq\r（a＋b＋c2)＝eq\r(｜a｜2＋｜b|2＋｜c|2＋2a·b＋b·c＋c·a）＝eq\r(12＋12＋22＋20－1－1)＝eq\r（2）.∴線段AC1的長為eq\r（2）。(2）解設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝｜cos〈eq\o（AC1,\s\up6（→))，eq\o（A1D,\s\up6（→）)〉｜＝eq\f（｜\o（AC1,\s\up6（→））·\o(A1D,\s\up6（→）)｜，｜\o（AC1，\s\up6（→））||\o(A1D,\s\up6(→))｜）?！遝q\o(AC1，\s\up6（→)）＝a＋b＋c，eq\o（A1D,\s\up6(→））＝b－c，∴eq\o(AC1，\s\up6（→)）·eq\o（A1D，\s\up6（→））＝(a＋b＋c)·(b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2,｜eq\o(A1D,\s\up6（→））|＝eq\r(b－c2)＝eq\r（｜b|2－2b·c＋|c｜2)＝eq\r（12－2×－1＋22)＝eq\r（7）?！郼osθ＝eq\f（｜\o（AC1，\s\up6(→))·\o（A1D,\s\up6(→））|，|\o（AC1，\s\up6（→））｜｜\o(A1D,\s\up6（→））｜)＝eq\f(｜－2｜,\r（2）×\r(7)）＝eq\f（\r(14），7).故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為eq\f（\r(14）,7）.（3）證明∵eq\o(AA1，\s\up6(→）)＝c，eq\o(BD，\s\up6（→））＝b－a，∴eq\o（AA1，\s\up6(→）)·eq\o（BD，\s\up6（→））＝c·(b－a）＝c·b－c·a＝(－1）－（－1)＝0，∴eq\o(AA1，\s\up6(→))⊥eq\o（BD,\s\up6（→)），即AA1⊥BD.思維升華（1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系,通過向量共線確定點在線段上的位置．(2)利用夾角公式,可以求異面直線所成的角,也可以求二面角．（3）可以通過｜a｜＝eq\r（a2),將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解．跟蹤訓(xùn)練如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°。(1)求eq\o（AC1，\s\up6(→））的長；（2）求eq\o（BD1,\s\up6(→）)與eq\o(AC,\s\up6（→)）夾角的余弦值．解（1)記eq\o(AB,\s\up6（→)）＝a,eq\o（AD，\s\up6（→））＝b，eq\o(AA1,\s\up6（→））＝c,則|a｜＝|b|＝｜c|＝1，〈a，b>＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).|eq\o（AC1,\s\up6(→）)｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2)＋\f（1，2)＋\f(1,2))）＝6，∴|eq\o（AC1,\s\up6（→))｜＝eq\r(6），即AC1的長為eq\r（6）。(2)eq\o（BD1,\s\up6（→))＝b＋c－a，eq\o（AC,\s\up6(→)）＝a＋b，∴|eq\o（BD1,\s\up6(→））|＝eq\r（2)，|eq\o（AC,\s\up6(→）)｜＝eq\r(3),eq\o(BD1，\s\up6（→）)·eq\o（AC,\s\up6(→))＝（b＋c－a)·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1,∴cos〈eq\o（BD1,\s\up6（→)），eq\o（AC,\s\up6（→)）〉＝eq\f（\o（BD1,\s\up6(→）)·\o(AC，\s\up6（→)），|\o（BD1,\s\up6（→））||\o(AC，\s\up6(→)）|）＝eq\f(\r（6),6).即eq\o(BD1，\s\up6（→））與eq\o（AC,\s\up6（→)）夾角的余弦值為eq\f(\r（6)，6).坐標法在立體幾何中的應(yīng)用典例(10分)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2,M，N分別是A1B1，A1A的中點．(1)求eq\o（BN,\s\up6(→))的模；（2)求cos〈eq\o(BA1，\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→））〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M。思想方法指導(dǎo)利用向量解決立體幾何問題時，首先要將幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題,通過建立坐標系利用向量的坐標進行求解．規(guī)范解答(1)解如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸,z軸，建立空間直角坐標系．由題意得B(0，1，0），N（1,0，1），所以｜eq\o（BN,\s\up6（→))｜＝eq\r（1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3）。[2分］（2)解由題意得A1(1,0，2），B（0，1，0),C(0，0,0),B1（0，1,2)，所以eq\o(BA1，\s\up6(→)）＝(1，－1,2)，eq\o(CB1，\s\up6（→）)＝（0，1,2）,eq\o（BA1，\s\up6(→))·eq\o（CB1,\s\up6(→))＝3,｜eq\o（BA1，\s\up6（→））｜＝eq\r（6),｜eq\o(CB1,\s\up6（→)）｜＝eq\r（5）,所以cos<eq\o(BA1，\s\up6（→）)，eq\o（CB1，\s\up6（→）)〉＝eq\f（\o（BA1，\s\up6(→))·\o(CB1，\s\up6(→））,|\o（BA1，\s\up6(→))｜｜\o（CB1,\s\up6（→))｜）＝eq\f(\r（30），10).［6分]（3）證明由題意得C1(0,0,2),Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2），\f(1,2),2)),eq\o（A1B,\s\up6(→）)＝（－1,1,－2），eq\o（C1M，\s\up6（→））＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2),\f(1,2），0）），［8分]所以eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o（C1M，\s\up6（→）)＝－eq\f（1，2)＋eq\f(1,2）＋0＝0，所以eq\o(A1B,\s\up6（→））⊥eq\o（C1M，\s\up6(→）),即A1B⊥C1M.[10分]1．在下列命題中：①若向量a,b共線,則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線,則向量a，b一定不共面；③若三個向量a,b，c兩兩共面，則向量a，b,c共面；④已知空間的三個向量a,b，c,則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc。其中正確命題的個數(shù)是________．答案0解析a與b共線，a，b所在的直線也可能重合,故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②不正確；三個向量a，b,c中任意兩個一定共面，但它們?nèi)齻€卻不一定共面，故③不正確；只有當a，b，c不共面時，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個命題中正確的個數(shù)為0.2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1）,b＝（2，m,－m),且a∥b,則實數(shù)m＝________。答案－2解析當m＝0時，a＝（1,3，－1）,b＝(2,0,0)，a與b不平行，∴m≠0，∵a∥b，∴eq\f（2m＋1,2)＝eq\f（3，m）＝eq\f（m－1,－m)，解得m＝－2。3．若直線l的方向向量為a＝(1，0,2），平面α的法向量為n＝(－2，0，－4），則l與α的位置關(guān)系為________．答案l⊥α解析∵a＝（1，0，2）,n＝（－2,0,－4)，∴n＝－2a,即a∥n，∴l(xiāng)⊥α。4．已知a＝（1，0，1），b＝（x,1，2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為________．答案eq\f（π，6)解析∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1，1，2)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b，|a｜|b｜）＝eq\f（3，\r（2)×\r（6)）＝eq\f(\r(3)，2),又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a與b的夾角為eq\f（π，6）。5．已知a＝(2,1，－3）,b＝（－1,2,3),c＝(7,6，λ）,若a，b，c三向量共面，則λ＝________.答案－9解析由題意知c＝xa＋yb，即（7,6,λ）＝x(2,1，－3)＋y（－1，2，3)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，）)解得λ＝－9。6。如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中,四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形,則B,D兩點間的距離是________．答案eq\r（3－\r（2)）解析∵eq\o（BD,\s\up6(→)）＝eq\o(BF，\s\up6（→）)＋eq\o（FE，\s\up6（→))＋eq\o(ED,\s\up6(→)），∴|eq\o（BD，\s\up6(→））｜2＝｜eq\o(BF,\s\up6(→))|2＋｜eq\o（FE,\s\up6(→))｜2＋｜eq\o（ED,\s\up6(→)）｜2＋2eq\o(BF,\s\up6(→））·eq\o（FE,\s\up6（→))＋2eq\o（FE,\s\up6（→))·eq\o(ED，\s\up6(→))＋2eq\o（BF,\s\up6(→）)·eq\o(ED，\s\up6(→)）＝1＋1＋1－eq\r（2）＝3－eq\r(2），故｜eq\o（BD，\s\up6(→）)|＝eq\r(3－\r(2))。7．已知2a＋b＝(0，－5,10),c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，｜b|＝12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為________．答案60°解析由題意,得(2a＋b）·c＝0＋10－20＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.又∵a·c＝4，∴b·c＝－18,∴cos〈b，c〉＝eq\f（b·c，|b｜｜c｜)＝eq\f（－18,12×\r（1＋4＋4））＝－eq\f(1，2)，又∵〈b,c>∈[0°,180°］,∴<b，c>＝120°，∴兩直線的夾角為60°.8.如圖所示，已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC，M,N分別為OA，BC的中點，點G在線段MN上，且eq\o（MG，\s\up6（→）)＝2eq\o(GN，\s\up6(→）)，若eq\o（OG,\s\up6（→))＝xeq\o(OA，\s\up6（→))＋yeq\o(OB，\s\up6(→))＋zeq\o（OC,\s\up6(→））,則x，y，z的值分別為______．答案eq\f（1，6），eq\f（1，3），eq\f(1，3）解析∵eq\o（OG,\s\up6(→）)＝eq\o(OM,\s\up6(→)）＋eq\o(MG,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2)eq\o(OA,\s\up6（→））＋eq\f（2，3）eq\o(MN,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\f（2,3)（eq\o(ON,\s\up6(→)）－eq\o(OM,\s\up6（→）））＝eq\f(1,2)eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\f（2，3）eq\o（ON,\s\up6（→））－eq\f(2，3）eq\o(OM，\s\up6(→)）＝eq\f（1，2)eq\o（OA,\s\up6(→）)＋eq\f（2,3)×eq\f(1,2）（eq\o(OB，\s\up6（→)）＋eq\o(OC，\s\up6(→)）)－eq\f(2，3)×eq\f(1，2)eq\o(OA，\s\up6(→))＝eq\f（1，6）eq\o(OA，\s\up6（→)）＋eq\f(1，3)eq\o(OB，\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o（OC，\s\up6（→）），又eq\o（OG，\s\up6（→))＝xeq\o(OA，\s\up6（→)）＋yeq\o（OB，\s\up6（→)）＋zeq\o（OC,\s\up6(→)），∴x＝eq\f(1,6)，y＝z＝eq\f（1，3).9．A，B,C，D是空間不共面四點，且eq\o(AB,\s\up6（→))·eq\o(AC，\s\up6(→))＝0，eq\o(AC，\s\up6(→））·eq\o（AD,\s\up6(→）)＝0，eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o(AD,\s\up6（→）)＝0,則△BCD的形狀是________三角形．（填銳角、直角、鈍角中的一個）答案銳角解析因為eq\o(BC,\s\up6（→）)·eq\o(BD,\s\up6(→)）＝(eq\o（AC,\s\up6(→)）－eq\o(AB，\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6（→))－eq\o（AB，\s\up6（→))）＝eq\o(AC，\s\up6（→）)·eq\o（AD，\s\up6(→))－eq\o（AC,\s\up6(→)）·eq\o（AB,\s\up6（→)）－eq\o（AB,\s\up6(→)）·eq\o（AD,\s\up6（→))＋eq\o（AB,\s\up6(→））2＝eq\o(AB，\s\up6（→)）2>0，所以∠CBD為銳角．同理∠BCD，∠BDC均為銳角．10．已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①（eq\o(A1A，\s\up6(→））＋eq\o(A1D1，\s\up6(→)）＋eq\o（A1B1,\s\up6（→)))2＝3eq\o（A1B1，\s\up6（→))2;②eq\o(A1C,\s\up6(→))·（eq\o（A1B1，\s\up6(→)）－eq\o(A1A，\s\up6(→）））＝0;③向量eq\o(AD1,\s\up6(→））與向量eq\o（A1B，\s\up6（→))的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為｜eq\o（AB,\s\up6(→))·eq\o（AA1，\s\up6(→)）·eq\o(AD,\s\up6(→））｜.其中正確的序號是________．答案①②解析①中，(eq\o（A1A,\s\up6（→）)＋eq\o(A1D1，\s\up6(→））＋eq\o（A1B1,\s\up6(→））)2＝eq\o(A1A，\s\up6（→）)2＋eq\o(A1D1，\s\up6(→））2＋eq\o（A1B1，\s\up6(→））2＝3eq\o(A1B1，\s\up6(→)）2,故①正確；②中，eq\o（A1B1，\s\up6(→)）－eq\o（A1A，\s\up6(→)）＝eq\o（AB1,\s\up6（→))，因為AB1⊥A1C，故②正確；③中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但eq\o（AD1,\s\up6（→)）與eq\o(A1B,\s\up6（→))的夾角為120°，故③不正確；④中，｜eq\o（AB,\s\up6(→））·eq\o（AA1,\s\up6(→）)·eq\o(AD,\s\up6（→)）｜＝0，故④也不正確．11．已知空間三點A(－2，0，2)，B（－1，1,2），C(－3，0，4），設(shè)a＝eq\o（AB,\s\up6(→）),b＝eq\o(AC,\s\up6（→)）。(1）若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6（→)），求向量c；（2)求向量a與向量b的夾角的余弦值．解(1)∵c∥eq\o（BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6（→)）＝（－3,0，4)－（－1，1，2）＝（－2，－1,2）,∴c＝meq\o(BC,\s\up6（→))＝m（－2,－1，2）＝（－2m，－m，2m），∴|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3，∴m＝±1，∴c＝（－2，－1，2）或(2，1,－2）．(2）∵a＝(1,1，0），b＝（－1,0,2)，∴a·b＝(1,1，0)·（－1，0,2)＝－1，又∵|a|＝eq\r(12＋12＋02）＝eq\r（2），｜b|＝eq\r(－12＋02＋22）＝eq\r（5），∴cos<a,b〉＝eq\f(a·b,｜a|｜b|)＝eq\f(－1，\r(10））＝－eq\f(\r(10）,10），即向量a與向量b的夾角的余弦值為－eq\f（\r(10），10）。12。如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算:(1）eq\o（EF,\s\up6(→））·eq\o(BA,\s\up6(→)）;(2）EG的長；(3)異面直線AG與CE所成角的余弦值．解設(shè)eq\o(AB，\s\up6（→））＝a,eq\o(AC,\s\up6(→)）＝b，eq\o（AD，\s\up6（→)）＝c，則|a|＝|b|＝｜c｜＝1,〈a,b〉＝<b,c〉＝〈c，a〉＝60°.（1)eq\o(EF,\s\up6（→)）＝eq\f(1，2）eq\o（BD,\s\up6（→))＝eq\f（1,2）c－eq\f（1,2)a,eq\o(BA，\s\up6(→））＝－a,eq\o(EF,\s\up6（→））·eq\o（BA,\s\up6（→))＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)c－\f(1,2)a)）·(－a)＝eq\f（1,2）a2－eq\f(1,2）a·c＝eq\f（1,4)。（2）eq\o（EG,\s\up6(→)）＝eq\o（EB,\s\up6（→))＋eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\o（CG，\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）eq\o（AB,\s\up6(→)）＋（eq\o（AC，\s\up6(→）)－eq\o(AB，\s\up6（→））)＋eq\f(1，2）(eq\o(AD,\s\up6(→）)－eq\o(AC，\s\up6（→)））＝－eq\f（1,2)eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\f(1,2）eq\o(AC，\s\up6(→））＋eq\f（1，2）eq\o(AD,\s\up6（→））＝－eq\f(1，2）a＋eq\f（1,2)b＋eq\f(1,2)c,所以eq\o（EG，\s\up6（→）)2＝eq\f(1,4)（－a＋b＋c）2＝eq\f(1,4）（a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c）＝eq\f（1，2)，所以|eq\o(EG,\s\up6(→))｜＝eq\f（\r(2），2)，即EG的長為eq\f（\r（2）,2).（3）eq\o(AG,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）(eq\o(AC,\s\up6(→）)＋eq\o(AD,\s\up6（→）)）＝eq\f（1,2）b＋eq\f（1，2)c，eq\o(CE,\s\up6（→））＝eq\o(CA,\s\up6（→））＋eq\o（AE,\s\up6(→））＝－b＋eq\f(1,2）a，eq\o(AG,\s\up6(→）)·eq\o（CE，\s\up6(→)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）b＋\f(1，2）c))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－b＋\f(1，2)a))＝eq\f(1，2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）a·b－｜b｜2＋\f(1，2）a·c－b·c))＝－eq\f(1，2）,|eq\o(AG，\s\up6（→)）|＝eq\f（\r（3),2）,|eq\o(CE，\s\up6（→））|＝eq\f(\r（3）,2）,cos<eq\o(AG，\s\up6(→）)，eq\o(CE，\s\up6(→))〉＝eq\f（\o(AG,\s\up6(→))·\o(CE,\s\up6(→）),｜\o(AG，\s\up6（→))｜｜\o（CE,\s\up6(→)）|)＝－eq\f(2，3)，由于異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）))，所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為eq\f(2，3）。13．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o（CD，\s\up6（→））＋eq\o(AC,\s\up6(→)）·eq\o(DB，\s\up6（→)）＋eq\o(AD，\s\up6