《材料力學》第6章簡單超靜定問題習題解

第六章簡單超靜定問題習題解[習題6-1]試作圖示等直桿的軸力爭解：把B支座去掉，代之以拘束反力R（↓）。設2F作用點為，BF作用點為D，則：NBDRBNCDBFNACB3F變形諧調條件為：l0NACaNCD2aNBDEAEAEAa0NAC2NCDNBD0RBRBF)RB3F0RB（實質方向與假定方向相反，即：↑）4故：NBD5F4NCD5FFF44NAC5F7F3F44軸力爭以下圖。4x(a)321N(F/4)0-5-4-3-2-101234567軸力爭[習題6-2]圖示支架承受荷載F10kN，，2，3各桿由同一種資料制成，其橫截面面積分別為21，2A2150mm，2A。試求各桿的軸力。3200mm解：以節(jié)點A為研究對象，其受力爭以下圖。X0N02Ncos30N312Ncos30N0cos3002N233N102N23N33N10???(1)Y000N3sin30NFsin3010N3N20????(2)1變形諧調條件：設A節(jié)點的水平位移為x，豎向位移為y，則由變形協(xié)調圖（b）可知：00l1ysin30xcos30l2xl003ysin30xl1l2xcos3030l1l3l323設l1ll，則ll3223NNlNl21233EAEAEA132lN1N33N2A1A32A2N1N3N3210020021502N1N2N32N32N2N?????(3)12(1)、(2)、(3)聯(lián)立解得：N18.45kN；N268kN；N111.54kN（方向如圖所示，為壓力，故應寫作：NkN1）。[習題6-3]一剛性板由四根支柱支撐，四根支柱的長度和截面都相同，以下圖。假如荷載F作用在A點，試求這四根支柱各受多少力。解：以剛性板為研究對象，則四根柱子對它對作用力均鉛垂向上。分別用N1,N,N,N表示。234由其均衡條件可列三個方程：Z0N1NNNF2340N1N2N3N4F????(1)M0x22N2aNa4220N2N?????(2)4M0y22N1aFeNa32202FeNN1????(3)3a由變形協(xié)調條件成立增補方程N1lN3l2N2EAEAEAN1N2N32。。。。。。。。。。（）(1)、（）、（）、（）聯(lián)立，解得：NN24F41eN()14F1eN()342aF[習題6-4]剛性桿AB的左端鉸支，兩根長度相等、橫截面面積相同的鋼桿CD和EF使該剛性桿處于水平地點，如所示。如已知F50kN，兩根鋼桿的橫截面面積試求兩桿的軸力和應力。2A1000mm，解：以AB桿為研究對象，則：M0AN1aN2a5020N12N2150????(1)變形協(xié)調條件：l22l1N2l2NlEAEAN22N??????(2)1(1)、(2)聯(lián)立，解得：N130kNN260kN1N1A30000N1000mm230MPa2N2A60000N21000mm60MPa[習題6-5]圖示剛性梁受均布荷載作用，梁在A端鉸支，在B點和C點由兩根鋼桿BD和CE22支承。已知鋼桿BD和CE的橫截面面積2200mm和1400mm，鋼桿的許用應力[]170MPa，試校核該鋼桿的強度。解：以AB桿為研究對象，則：M0AN11N23(303)320N13N2135?????(1)變形協(xié)調條件：l11l23l23l1N1.8l23EA2Nl1EA1N21.83N1200400N1N??????(2)2(1)、（）聯(lián)立，解得：N138.571kN（壓）；N232.143kN（拉）故可記作：N381；N232.143kN強度校核：|N1|||96.4275MPa[]170MPa1，切合強度條件。2A400mm1N32143N2MPa[]170MPa2，切合強度條件。2A200mm1[習題6-6]試求圖示構造的同意荷載[F]。已知桿AD，CE，BF的橫截面面積均為A，桿資料

的許用應力為[]，梁AB可視為剛體。解：以AB桿為研究對象，則：Y0N1NNF230N1N2N3F1)M0AN22aN3aFa02N2N3F?????(2)變形協(xié)調條件：2lll3122N32lNl1Nl2EAEAEA4NNN(3)312(1)(2)(3)聯(lián)立，解得：2FNN；125N3F5強度條件：2F1A25[]5A[]F2.5[]2AF3A5[]F5A[]故：[F]]A[習題6-7]橫截面積為的短木柱，用四根40mm5mm的等邊角鋼加固，并承受壓力，以下圖。已知角鋼的許用應力MPa

[]s160，彈性模量Es200GPa；木材的許用應力[]w12MPa，彈性模量Ew10GPa。試求短木柱的同意荷載。解：（）木柱與角鋼的軸力由蓋板的靜力均衡條件：（1）由木柱與角鋼間的變形相容條件，有（2）由物理關系：（）式（）代入式（2），得（）解得：代入式（），得：（2）同意載荷由角鋼強度條件由木柱強度條件：故同意載荷為：[習題6-8]水平剛性橫梁AB上部因為某1桿和2桿懸掛，下部由鉸支座C支承，以下圖。

因為制造偏差，桿1和長度短了。已知兩桿的資料和橫截面面積均相同，且1E2200GPa，12A。試求裝置后兩桿的應力。解：以AB梁為研究對象，則：M0C0N12Nsin451022NN????(1)142變形協(xié)調條件：l1AA1l222BB1AA12l1BB112l2l122l2NlN2l1222EAEAN1l4N2lEAEA???...(2)(1)、(2)聯(lián)立，解得：2EAN1；(2lN2(4EA216)l1(2E22(2002310MPam2(4E24200(231016)MPam[習題6-9]圖示階梯狀桿，其上端固定，下端與支座距離。已知上、下兩段桿的橫22截面面積分別為600mm和300mm，資料的彈性模量E。試作圖示荷載作用下桿的軸力爭。解：設裝置后，支座B的反力為R（↓），則：BNBCRBNCDR40（D為60kN集中力的作用點）BNADRB100變形協(xié)調條件：nlii1210RkNm(R(R100)B3BB61102626666mRB2.4RB96RB1201266RB90BkN)。故：NBC15kN；NCD25kN；NAD85kN。軸力爭以下列圖所示。x(m)4N(kN)050軸力爭[習題6-10]兩頭固定的階梯狀桿以下圖。已知AC段和BD段的橫截面面積為A，CD段的6()01橫截面面積為2A；桿的彈性模量為E1210Cl。試求0當溫度高升C30后，該桿各部分產生的應力。解：變形協(xié)調條件：l0lNl0t2NaEAN2aA)E(2lt4a03NaEAlt03NEAlt40446010622NltEA1210(c)30C21010kN/mAm33NkPaMPaAC100800()100.8ABD100800A(kN)NCD50400(kPa)MPa

2A[習題6-11]圖示為一兩頭固定的階梯狀圓軸，在截面突變處承受外力偶矩Me。若d12d，試求固定端的支反力偶矩MA和MB，并作扭矩圖。2解：把B支座去掉，代之以拘束反力偶，其矩為M則：BTBCMBTCAMMBe變形協(xié)調條件：A、B為兩固定端支座，不同意其發(fā)生轉動，故：0ABACCB(MBGIM)aM2a2eBGIP1P0MBIMeIP1P2B0式中，111444IP1d(2d)16d16I，故：111P2323232MMBe16I2IP2PB0MMBeM216B0MBMe33M32MeeMM（順時針方向轉動）Ae3333TBCMBMe33TCAMMBe32Me33AB軸的軸力爭以下：210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-30-31-32-33x(a)T(Me/33)扭矩圖[習題6-12]圖示一兩頭固定的鋼圓軸，其直徑d。軸在截面C處承受一外力偶矩

Mem。已知鋼的切變模量G。試求截面C雙側橫截面上的最大切應力和截面C的扭轉角。解：把B支座去掉，代之以拘束反力力偶，其矩為M，逆時針方向B轉動。，則：TCBMBTCAMMBe變形協(xié)調條件：A、B為兩固定端支座，不同意其發(fā)生轉動，故：0ABACCB(MBM)eGIPMBGIP10MBM2MBe0MeM，故：B3TCBMBM3e3(kNTCAMMBe2M3e23(kNm)C截面左邊的最大切應力：TCAmax,CAW

P13133

式中，抗扭截面模量Pd6042390(mm)

16166|T|53310NmmCAmax,CAMPa3WPC截面右邊的最大切應力：TCBmax,

PCBW6|T|26710NmmCBmax,3CBWPC截面的轉角：TCBlCBCBCGIP式中，IP132d143.14601271700444mmmm32CBCTlCBCBGIP80310610NN/2mmmm4)0[習題6-13]一空心圓管套在實心圓桿B的一端，以下圖。兩桿在同一截面處各有向來徑

相同的貫串孔，但兩孔的中心線組成一角。此刻桿B上施加外力偶使桿B扭轉，以使兩孔瞄準，并穿過孔裝上銷釘。在裝上銷釘后卸除施加在桿B上的外力偶。試問管A和桿B橫截面上的扭矩為多大已知桿A和桿B的極慣性矩分別變模量為G。I和IPB；兩桿的資料相同，其切PA解：排除Ⅱ端拘束M（逆時針方向轉動），則因為B桿錨固時處于彈性變形階段，因此解2除拘束II以后，Ⅱ端相關于截面C轉了角。因為預先將桿B的C端扭了一個角，故變形協(xié)調條件為02M2TTM2ABlIAGIPBPAIPBIlBPA[習題6-14]圖示圓截面桿AC的直徑1100mm，A端固定，在截面B處承受外力偶矩Me7kNm，截面C的上、下兩點處與直徑均為d220mm的圓桿EF、GH鉸接。已知各桿資料相同，彈性常數間的關系為G0.4E。試求桿AC中的最大切應力。解：把EF桿與GH桿切斷，代之以拘束反力。由軸AC的受力特色可知，這兩個拘束反力構成一力偶，設它的力偶矩為M（順時針方向轉動）。CMCNEF(d1d2)0.12NEF(kNBCMNCEFABMM7NeCEF桿EF、GH的作用是阻擋C截面轉動，但因這這兩根桿件是可變形固體，故C截面仍有轉角C。lEF2NEFlEF2NEF2C121ddEA0.123(1d)12(2010)d242NEFG變形協(xié)調條件為：ACABBCCTlABABTBClBCCGIGIPP(70.12NEF)1N142462.845NEFEFGIGIGPP70.12NEFN42462.845NEFEFII1PP7NEF42462.845NIEFP141464式中，14(0.1)9.812510()

IPdmm，故：323276NEF42462.845N10NEFEFNEF7/010.61(kN)。故：BC0.12NEF10.61kNm)ABMeMC70.12NEF71.273(kN桿AC的最大切應力出此刻AB段的圓軸表面：maxTmaxWPmax3d16610N31003mmmm[習題6-15]試求圖示各超靜定梁的支反力。[6-15（）]解：把B支座去掉，代之以拘束反力調方程為：R，則變形協(xié)BwB0wBRwBFB0查附錄，得：wBRBR(3a)B3EI39RBEI3awBFF(2a)6EI2(33a)14Fa3339Ra14FaB故，0wwBRBBFEI3EIB14F3014F

RB（↑）

27由Y0得：14F13FRAF（↑）2727由MA0得：14FMAF2a（逆時針方向轉動）279[6-15(b)]解：把B支座去掉，代之以拘束反力為：R，則變形協(xié)調方程BwB0wBMweRB0查附錄，得：wBMeM22(2a)Maee2EIEI223R(2a)8RaBBw(32a2B36EIEI232MaaeB故，0wwBMeBEI3EIMe4RaB30eRB4a（負號表示方向向下，即↓）由Y0得：3MeRA4a（↑）3Me由MA0得：AaMeM2，4aMMeA2a（逆時針方向轉動）[6-15(c)]解：把B支座去掉，代之以拘束反力MB和FB，方向以下圖。則變形協(xié)調條件為：w0；B0BwBqwwBFsMB0查附錄，得：wBq4ql8EI3FlBwB3EIMlBwBMB2EI2432qlFlMlBB故，0wwwBqBFsMB8EI3EI2EIql2FBlMB08322l8FBl12M0???????(1)B0B0BqBFBBMB查附錄，得：3qlBq6EI2FBlBFB2EIMBlBMBEI32qlFBlMBl故，0BqBBBFBM6EI2EIEIql62FlBM20B2qlBl6M0??????(2)B(1)、（2）聯(lián)立，解得：qlFB（↑）；22qlMB（順時針方向轉動）。12依據對稱構造在對物荷載作用下的性質可知，qlFA（↑）；22qlMA（逆時針方向轉動）12[習題6-16]荷載F作用在梁AB及CD的連結處，試求每根梁在連結地方受的力。已知其跨長比和剛度比分別為：l3EI411和l2EI522。解：把連結梁AB與梁CD的墊塊去掉，代之以拘束反力R（↑）和C（↓）。明顯，它們B是一對作使勁反作使勁。RBR。C查附錄IV得：AB在B處的撓度：wB(FR)B3EI13l1CD在C處的撓度為：wC3RlC23EI2變形協(xié)調方程：BwC3(FRB)lC1l233EI123(FC)lCl123II12FRCRCI1I2(l2l1)345(233)32135135FC（↓）。即，梁CD在C地方受的力。167梁AB在B地方受的協(xié)力為：135F32FF（↓）。167167[習題6-17]梁AB因強度和剛度不足，用同一資料和相同截面的短梁AC加固，以下圖。試求：（）二梁接觸處的壓力FC；（）加固后梁AB的最大彎矩和B點的撓度減小的百分數。解：（）求二梁接觸處的壓力FC以AB為研對象，把C處的圓柱墊去掉，代之以拘束反力F（↑）；以AC為研究對象，作用在CC處的力為'F（↓）。CF與C'F是一對作用與反作用C力，'FCF。CAB梁在C處的撓度：C,ww。ABCFCFC查附錄IV得：CFl2F()3ll2)6EI2l2F()3

CllFl2Cw(3)C246EI22EI故，335FlFlCwwwCC4824,ABCFCFEIEIAC梁在C處的撓度：l'3F()3

CFl2CwC324,ACEIEI變形協(xié)調方程：wCw,ABC,AC335FlClFCl348EI24EI24EI5FFCFC4824245F2FC2FC5FFC（↑）4（）求加固后梁AB的最大彎矩和B點的撓度減小的百分數①彎矩的變化狀況加固前：MCFl2Fl2MAFlMmax加固后：'MCFl2Fl2MmaxMA'5FlFl4281FlFl明顯，AB梁的最大彎矩減?。?50%Fl（負彎矩只表示AB梁上側受拉）②B點撓度的變化狀況加固前：3FlwB3EI加固后：'lwwwBCFCCFCFC23FlwCF3EIl5F23F()l33CllFl5Fl24Cw(3)C966EI2224EI24EIEIlll5F22FF()l22CCFl5Fl2224C[]C32EI2EI8EI8EIEI故，'lwwwBCFCCFCFC2Fl32l35Fl96EI32EI2339Fl192EIB點撓度減小的百分數為：333Fl39Fl25Fl3EI192EI3Fl192EI364Fl256439%3EI192EI[習題6-18]圖示構造中梁AB和梁CD的尺寸及資料均相同，已知EI為常量。試繪出梁CD的剪力爭和彎矩圖。解：（）求剩余未知力把剛性桿EF去掉，代之以拘束反力N（↓）和NFE（↑）。它們是一對作EF用與反作使勁。NEFN。FEAB梁在E處的撓度為：wE3Nl48EICD梁在F處的撓度為：wF435qlNl384EI48EI變形形協(xié)調方程：wEw]F343Nl5qlNl48EI384EI48EIN5qlN48384488N5ql8NN5ql16由對稱性可知，ql1CD（↑）221632（2）作CD梁的彎矩圖CF段的彎矩方程：ql2M(x)xxx[0,]3222M(0)0M(l)432l4q2(l)4227ql128M(l)232l2q2(l22)23ql6426ql128EIdM(x)令qx0dx32得：當x時，彎矩取最大值。32MMmax132()3211l32q232(2)22048FD段的彎矩方程：11qlql2M(x)(lx)(lx[,l]3222由對稱性可知：M(4)M(l)427ql128M(32)M32()20482CD梁的彎矩圖以下列圖所示。01122334455667788x(L/32)99110121M(qL*L/2048)CD梁的彎矩圖（3）作CD梁的剪力爭QCF32QFCql5ql32232QFDql5ql5ql3221632QD11ql32Q(qL/32)11109876543210-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11x(L)CD梁的剪力爭[習題6-19]在向來線上打入n個半徑為r的圓樁，樁間距均為l。將厚度為的平鋼板按圖

示方式插入圓樁之間，鋼板的彈性模量為E，試求鋼板內產生的最大曲折應力。解：以AC為研究對象。把AC彎成當前形狀時，在A、C一定向上的力；B樁相當于向下的集中荷載（↓）。變形協(xié)調條件為：wB2r3

F(2l)

2r48EIF96EIr3)(2l12EIr3l依據對稱性，A樁對鋼板的作使勁也是。故AC段的最大彎矩出此刻B處：MFlmax12EIr3ll12EIr2l因為1MmaxEI因此maxEymaxEMmaxEI12EIr6222IllEr2