線性規(guī)劃的基本概念與基本定理詳解演示文稿

線性規(guī)劃的基本概念與基本定理詳解演示文稿當前1頁，總共53頁。（優(yōu)選）線性規(guī)劃的基本概念與基本定理當前2頁，總共53頁。解：問題的可行域是上圖所示的無界凸多邊形區(qū)域，在此無界可行域上，目標函數(shù)值無上界，所以這個線性規(guī)劃問題有無界解。定義5：對于極大化目標函數(shù)的標準線性規(guī)劃問題，定義其無界解如下：對于任何給定的正數(shù)M，存在可行解X

滿足AX=b，X≥0，使cX>M。那么稱該線性規(guī)劃問題有無界解。由定義可知，無界解的意思是：若是極大化目標函數(shù)，則在可行域上目標函數(shù)值無上界；若是極小化目標函數(shù)，則在可行域上目標函數(shù)值無下界。那么，有無界解的線性規(guī)劃問題一定沒有最優(yōu)解。 maxs.t例1.考慮線性規(guī)劃問題：當前3頁，總共53頁。例2.maxf=s.t解：此問題的可行域如上圖，是一個無界的多邊形。但極大化目標函數(shù)卻以1為上界。因此這個線性規(guī)劃問題沒有無界解，而且事實上，此問題目標函數(shù)最優(yōu)值maxf=1在可行域射線 上均可達到。三.基、基本可行解定義6：對于約束條件Ax=b，設(shè)A是秩m的mｘn矩陣，用(Pj,j=1~n)表示A的第j列向量。即A=(

)。由A的m個列向量構(gòu)成的m階方陣B=(

)若B是非奇異的，即detB?0，則稱B為一個基或稱為一個基矩陣。因為SLP問題中含有約束條件Ax=b，因此也通常稱B為線性規(guī)劃SLP的一個基。當前4頁，總共53頁。解：A=使minf=滿足例3.求x1----x5由上面定義可知，B中m個列向量是線性無關(guān)的，并且它是A的列向量組的一個最大無關(guān)組。按定義，A中m個列向量，只要是線性無關(guān)的就可以構(gòu)成一個基。定義7：若變量對應(yīng)A中列向量包含在基B中，則稱為B的基變量；若變量對應(yīng)A中的列向量不包含在基B中，則稱為B中的非基變量。當前5頁，總共53頁。定義8：設(shè)Ax=b,x0一個基，其對應(yīng)的基變量構(gòu)成的m維列向量記為這時若全非基是線性無關(guān)，因此是一組基。而不在這個基中，所以x1,

x2為非基變量。的列是線性無關(guān)的，即則當前6頁，總共53頁。于是得到方程組Ax=b的一個解：非基變量稱之為對應(yīng)于基B的基本解。這個定義也告訴我們怎樣找一個基本解）變量等于0，則Ax=bBxB=b,得唯一解xB=B-1b.記為如：上面例2中，非基變量x1=x2=0.則可得x3=5,x4=-2,x5=21.所以x0=(0,0,5,-2,21)是對應(yīng)于基B的一個基本解，但由于x4=-2<0.不能滿足約束條件，所以這個基本解不是原問題的可行解。（為什么？）這是因為，按照定義，基本解中的n-m個非基變量必須取0值只有m個基變量取值才可能不等于0。但可以取負值。因此基本解不一定滿足SLP的非負要求。

定義9：對應(yīng)于基B的基本解，若基變量取非負值，即xB=B-1b>=0，則稱它為滿足約束Ax=b,x>=o的基本可行解。對應(yīng)地稱B為可行基，因SLP中具有此約束條件。也通常稱為SLP的基本可行解。當前7頁，總共53頁。上面我們講到基本解中有n-m個分量必須取零值，而只有m個基變量取非零值。而基本可行解，它一方面是基本解，另一方面又是可行解，因為它是基本解，所以n-m個非基變量取0值；它是可行解，則m個基變量取非負值，從而基本可行解正分量是個數(shù)不超過m.定義10：使目標函數(shù)達到最優(yōu)值的基本可行解，稱為基本最優(yōu)值。例4：（SLP)如例3，試找一個基本可行解。解：是其一個基矩陣.p1,p3,p5是一個基。

則x1,x3,x5為基變量。X2,x4為非基變量。令x2=x4=0.得x1=2,x3=3,x5=9.故x1=(2,0,3,0,9)是原問題的一個基本可行解，B1為基可行基。當前8頁，總共53頁。那么滿足Ax=b,

x0的正分量個數(shù)不超過m的可行解（Rank(Amn)=m）是否一定是基本可行解呢？我們舉例說明這個問題。它有正分量個數(shù)等于m(m=2)的可行解:x1=3,x2=1,x3=0,x4=0但它不是基本可行解。證：（反證法）假設(shè)可行解x=(3,1,0,0)T是上面約束的基本可行解。因為基本可行解中非基變量取0值，基變量取非負值。在這個可行解中x1,x2非零正值，因此x1,x2不可能是非基變量，只能是基變量。按定義，基變量對應(yīng)的系數(shù)矩陣中的列向量p1,p2應(yīng)構(gòu)成一個基矩陣B.但這里p1,p2

是線性相關(guān)的（p1=p2),這與B是基矩陣矛盾。故知x=(2,1,0,0)T不是基可行解。例5.已知約束條件為：當前9頁，總共53頁。其可行域如上圖，可行解（3，1，0，0）T。用x1,

x2表示則為圖上點（3，1）。由圖可見這不是可行域的頂點。而我們將證明基本可行解是可行域的頂點。而在例4中p1,p3線性無關(guān)，所以B=(p1,p3)是一個基矩陣，對應(yīng)的基本解為（4，0，0，0）T。用坐標x1,

x2表示則為平面上的點（4，0），是上圖可行域的頂點。由此例可見，雖然可行解（3，1，0，0）T

正分量個數(shù)不超過m，但它的正分量對應(yīng)的列向量不是線性無關(guān)的，不能與一基矩陣相聯(lián)系，所以它不是一個基本可行解?，F(xiàn)在我們把例4中松弛變量x3,

x4去掉，約束變?yōu)楫斍?0頁，總共53頁。對于這個基B=(p1,p3)的基本可行解（4，0，0，0）T。除了非基變量x2=x4=0外，還有基變量x3=0,這樣的基本可行解稱為退化的基本可行解。定義11：有基變量取0值的基本可行解，稱為退化的基本可行解，它對應(yīng)的基B稱為退化的可行基。

m個基變量均取正值的基本可行解，稱為非退化的基本可行解對應(yīng)基B稱為非退化的可行基。如果一個線性規(guī)劃問題的所有基本可行解都是非退化的，則稱這個線性規(guī)劃問題是非退化的。

由以上定義可知，如果約束問題有m個基變量，則在退化的基本可行解中，正分量個數(shù)一定小于m。在基本可行解中取正值的變量一定是基變量。這樣基本可行解中正分量個數(shù)也不會超過m。但是上面的例4已經(jīng)說明，正分量個數(shù)不超過m的可行解不一定是基本可行解，還要看可行解中正分量對應(yīng)的列向量是否線性無關(guān)而定。然而基本可行解中正分量對應(yīng)的系數(shù)矩陣的列向量一定線性無關(guān)。當前11頁，總共53頁。

定理1：設(shè)A是mn矩陣，秩為m,對于Ax=b,x0有：（1）可行解x0=是基本可行解的充要條件是x0的分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)。（2）如果x=(0,0….0)T即x=0是可行解，則它一定是基本可行解。證明：（1）必要性.假定x0是基本可行解，由基本可行解定義可知，x0中的正分量一定是基變量，基變量對應(yīng)系數(shù)矩陣A中的列向量一定在基B中，則線性無關(guān)。充分性.假定x0正分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)，只要證明x0是基本可行解。因為矩陣A的秩m，則km（k是x0的正分量個數(shù)）當前12頁，總共53頁。當k<m時，因rank(A)=m

現(xiàn)在線性無關(guān)，可以再從A的其余列中找出適當m-k個向量，不妨設(shè)使

線性無關(guān)，從而構(gòu)成A的一個基，對應(yīng)x0中的基變量取值為：因為有取0值的基變量，所以x0是對應(yīng)于基（）的一個退化基本可行基解。當k=m時，只要m個線性無關(guān)的向量構(gòu)成一個基，而對應(yīng)x0中的分量取正值的列向量線性無關(guān)。因此也構(gòu)成一個基，所以x0就是對應(yīng)于該基的一個非退化的基本可行解。當前13頁，總共53頁。定義１２：設(shè)A是mn矩陣，秩為m，對于Ax=b,x0的可行解x，如果滿足：（１）x的正分量個數(shù)小于或等于m（２）x的正分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)。

則稱x是一個基本可行解。若x=0是可行解，則定義它是一個基本可行解。注：定義９與定義１２的等價性可由定義７推出。（2）因為A的秩為m,所以在A中一定存在m個線性無關(guān)的列向量，將其構(gòu)成一個B,對應(yīng)于可行解x=(0,0,…0)T中的基變量?。爸担钥尚薪鈞=0是對應(yīng)于基B的退化的基本可行解。根據(jù)這個定理，基本可行解也可以定義如下：當前14頁，總共53頁。四.凸集我們先考察二維平面上直線段上任意一點的表示形式。取x.y為平面上兩點，用以原點為起點的向量來表示x和y。

并設(shè)z是線段xy上任意一點，得向量z-y.它與向量x-y平行且方向相同。于是有

當時，z=y；時，z=x當由0連續(xù)變動到1時，點z由y沿此直線連續(xù)的變動到x，且因z-y平行x-y，則有：于是有：這說明當時，表示以x.y為端點的直線段上的所有點，因而它代表以x.y為端點的直線段。一般地，如果x.y是n維歐氏空間Rn中的兩點，則有如下定義：當前15頁，總共53頁。定義13：如果x=(x1…xn)T,y=(y1…yn)T是Rn中任意兩點，定義

的點所構(gòu)成的集合為以x,y為端點的線段，對應(yīng)的點x,y叫做這線段的端點，而對應(yīng)的點叫做這線段的內(nèi)點。

定義14：設(shè)R是Rn中的一個點集，（即），對于任意兩點以及滿足的實數(shù),恒有

則稱R為凸集。

根據(jù)以上定義12及13可以看到，凸集的幾何意義是：連接凸集中任意兩點的直線段仍在此集合內(nèi)。

例如實心的圓，實心的矩形，實心的球體，實心的長方體等等均是凸集，圓周不是凸集。

直觀地看，凸集是沒有凹入的部分，其內(nèi)部沒有孔洞。當前16頁，總共53頁。

例5：集合是R3中的一個凸集。（可按定義證明）例7：（LP）問題：的可行域證明：設(shè)由定義知，只要證明x1,x2的任意凸組合即可。因例6：是R2中的一個凸集。上圖中(a)(b)是凸集，而(c)(d)不是凸集。(a)(b)(c)(d)當前17頁，總共53頁。定義15：設(shè)x1,x2…xk是Rn中的k個點，若存在實數(shù)滿足使則稱x是x1,x2…xk的凸組合。

定理2(SLP)問題的可行集

是Rn中的一個凸集（證明與例7相似）

定義16：設(shè)A是矩陣，b是m維列向量，集合如果R是凸集，則稱R為多面凸集。注：此處b的分量可取負值。有可見故知R是凸集。注：可以用歸納法證明：如果R是凸集，則R中任意有限個點的凸組合均在R中。當前18頁，總共53頁。約束條件為Ax=b，x>=0，則可寫成：因此，（SLP）問題的可行集是一個多面凸集。多面凸集可以有界，亦可無界。例8：將下面的約束條件：寫成Ax<=b的形式一般地，我們可以把任何線性規(guī)劃問題的條件都寫成Ax<=b的形式。例如：當前19頁，總共53頁。解：上面的約束條件可以轉(zhuǎn)化為：其圖如下（1），是一個二維有界的多面凸集。（1）（2）當前20頁，總共53頁。所確定的是一個無界的多面凸集。如上圖（2）

§2.2線形規(guī)劃的基本定理一基本可行解與極點解的等價性例如多邊形，多面體的頂點，圓周上，球面上的頂點等都是頂點。當前21頁，總共53頁。若x≠0是可行域的極點，設(shè)x的正分量要證明x是基本可行解，由上節(jié)的定理1知，只需證明這些數(shù)分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)。上面我們已經(jīng)說（SLP）的可行域是由直線，平面或超平面為邊界構(gòu)成的凸多邊形或凸多面體（亦即多面凸集）因此線形規(guī)劃問題可行域的頂點就是極點。定理3

x是線形規(guī)劃（SLP）可行域R的極點的充要條件是：x是基本可行解。證明：必要性。設(shè)x是可行域的極點，要證明x是基本可行解。若x=0是可行域的極點。則x=0是可行解，由上節(jié)定理1中（2）即知x是基本可行解。當前22頁，總共53頁。現(xiàn)在構(gòu)造一個n維列向量y，它的第分量分別為，其余分量為0，則有y≠0。且

Ay==0由于≠0。（1<=i<=k），取可見〉0且xy>=0因而是兩個可行解。分別記為：

有：當前23頁，總共53頁。因故取則這表明：x可以表示成R中其它點的凸組合。這與x是R的極點相矛盾。故必要性得證。充分性：設(shè)x是（SLP）的基本可行解。要證x是可行域的極點。若x=0是基本可行解，而存在可行域中的點，使x=0能表成：的形式。即=0因此這表明x=0不能表成可行域中兩點的凸組合，因此是極點。若x≠0是基本可行解。由定理1知，x的正分量對應(yīng)A中列向量線形無關(guān)。反證法：若基本可行解x不是可行域的極點。則可行域中當前24頁，總共53頁。存在異于x的不同兩點設(shè)為y和z?；蚯視r=0所以上式變?yōu)椋憾室蚨鴜與z是可行解，應(yīng)滿足兩式相減得因為y與z是不相同的兩點。他們的分量至少有一個不相等。即不全為0。因此線性相關(guān)。這與x是基本可行解相矛盾。故x是基本可行解。則必為可行域的頂點。當前25頁，總共53頁。證明：（1）設(shè)有可行解若=0，則由定理1（2）知就是基本可行解。若≠0，不妨設(shè)的正分量為前k個。二基本定理

定理4假定線性規(guī)劃（SLP）的A是m×n的矩陣。秩為m，且A的列向量均不是零向量。（1）若有可行解，則必有基本可行解（即非空可行集R必有極點）（2）若有最優(yōu)解，則目標函數(shù)必定在基本可行解上（極點）達到極值。（即若有最優(yōu)解，則必有基本最優(yōu)解）（3）若目標函數(shù)在多于一個極點上達到最優(yōu)，則必在這些極點的凸組合上達到最優(yōu)。當前26頁，總共53頁。由于線性相關(guān)，于是存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)至少有一個,否則可取構(gòu)造n維列向量,則知

因為存在則可取而如果正分量對應(yīng)A中列向量線性無關(guān)，則由定理1（1）知就是基本可行解。如果正分量A中的列向量線性相關(guān)，有定理1（1）知不是基本可行解。（下面的證明思想就是構(gòu)造比正分量要少的新可行解，考慮是不是基本可行解。）當前27頁，總共53頁。這樣得出一個正分量是個數(shù)比少的可行解，它除了后面的n-k個分量等于0外，前面k個分量中的第l個分量也等于0。這樣我們便可以在線性相關(guān)向量組中去掉向量如果剩下的向量線性無關(guān)，由定理1（1）即知就是基本可行解。否則再重復(fù)上面的步驟，可以得到可行解它的正分量個數(shù)越來越少，經(jīng)過有限步，必然得到一個可行解。則可見是可行解。它的第l個分量令當前28頁，總共53頁?；蛘邉t它必為基本可行解（定理1（2））或者但其正分量個數(shù)或者大于1對應(yīng)的列向量線性無關(guān)，或者正分量個數(shù)等于1，這時對應(yīng)A中只有一個列向量，因為已假定A的列向量不是零向量，而一個非零向量必然線性無關(guān)。因此不論怎樣就是基本可行解（定理1（1））（2）設(shè)是（SLP）最優(yōu)解。并設(shè)是目標函數(shù)最優(yōu)值，即?，F(xiàn)在證明是存在基本可行解是最優(yōu)解。如果，則因是最優(yōu)解，首先必須是可行解。因此，就是基本可行解（定理1（2）），取就得到基本最優(yōu)解。如果則中必有正分量不妨設(shè),其中。若正當前29頁，總共53頁。分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)，則就是基本可行解（定理1（1）），取即得到基本最優(yōu)解.若正分量對應(yīng)A中的列向量線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使：。構(gòu)造n維列向量y使其第1，2，……k分量分別為而其余分量為0，則有y≠0且取可見>0且即和是兩個可行解，分別記為及。它們的目標函數(shù)值分別為：當前30頁，總共53頁。因為是最優(yōu)解，所以：,又因為故于是有;這表明及均為最優(yōu)解。又由的取法知

當時,這時中第l分量等于0，當時,這時中第l分量等于0。所以至少有一個的正分量個數(shù)比的正分量個數(shù)要少，記這個解為。那么也是最優(yōu)解?？梢?，如果不是基本最優(yōu)解，即的正分量對應(yīng)A中的列向量線性相關(guān)，那么總可以令一個最優(yōu)解，其正分量個數(shù)比正分量個數(shù)少。如果是基本最優(yōu)解，即的正分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)，則取,即證明3（2）。當前31頁，總共53頁。（ii）只有唯一的一個正分量，因A的列向量均為非零故的正分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)。同（I）一樣可知即為基本最優(yōu)解。（iii）=0這時=0是可行解。由上面的證明已知=0就是基本最優(yōu)解。到此，我們證明了定理的第（2）部分。（i）的正分量對應(yīng)A中的列向量線性無關(guān)，因此是基本可行解。取即為基本最優(yōu)解（3）假定目標函數(shù)在極點上達到最優(yōu)值又設(shè)它們的任意凸組合為：如果的正分量對應(yīng)A中的列向量線性相關(guān)，則可重復(fù)上述步驟，得到最優(yōu)解經(jīng)過有限步必達到下面的三種情形之一：當前32頁，總共53頁。上面，定理3，定理4是線性規(guī)劃的兩個很重要的定理。證明了線性規(guī)劃的基本可行解等同于可行域的頂點。并且，如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，則必在可行域的頂點上達到最優(yōu)。這樣，一個有最優(yōu)解的（SLP）問題，是一定可以從可行域的極點中（即基本可行解中）求得最優(yōu)解的。而又故知的凸組合也是目標函數(shù)的最優(yōu)值點。至此，我們?nèi)孀C明了定理4。當前33頁，總共53頁。而基本可行解是對應(yīng)A中的m個線性無關(guān)的列向量。A只有n個列向量。從n個列向量中取出m個線性無關(guān)向量相成的向量組。其數(shù)目上有限的。因此基本可行解的數(shù)量也是有限的。它不會超過：個。這樣對一個有最優(yōu)解的線性規(guī)劃利用窮舉法可以在有限步內(nèi)找到基本最優(yōu)解。但運算是很大的。我們后面要學(xué)習的單純形方法就是根據(jù)這一基本定理在有限個基本可行解中尋找基本最優(yōu)解。另外，定理4還告訴我們，若目標函數(shù)在多于一個極點上達到最優(yōu)，則在這些極點的凸組合上也達到最優(yōu)。當前34頁，總共53頁。例：考慮線性規(guī)劃：解：可行域極點為：M1（0.0），M2（2.0）M3（1.2）M4（0.1），其目標函數(shù)值分別為f1=0f2=2f3=2f4=1/2，在M2M3的凸組合上（即在線段M2M3上）也達到最優(yōu)。事實上，可以用圖解法來說明這一點。因目標函數(shù)等值線x1+1/2x2=2與可行域的邊重合，該直線段上的點對應(yīng)目標函數(shù)值均有f=2。

當前35頁，總共53頁。§2.3極射向、可行解的表示定理一極射向設(shè)A是m×n矩陣，rank（A）=m。A=（p1p2……pn）對于A的一個基B=（pj1pj2……pjm)相應(yīng)有。設(shè)這在單純形算法里是一個重要矩陣。其中=I是m階單位矩陣。它的每一列（i=1~m）是第I個分量為1的單位向量。若x是非基變量。對應(yīng)中的第j列向量為：當前36頁，總共53頁。定義極方向：其中定義18（極方向）設(shè)B是（SLP）的一個基。對于非基變量xj下面通過對非基變量xj對應(yīng)列中的元素來定義極方向。當前37頁，總共53頁。

因此，如果xj是基B的非基變量，就有極方向Dj存在，而Dj的分量由

列中反號及1和0組成。具體的說，Dj中第分量取值為的第i分量的反號即-.Dj中第j分量取值為1，其余非基變量下標（除去j）所對應(yīng)的分量取值為0。下面舉例說明極方向的概念：例：考慮線性規(guī)劃問題：當前38頁，總共53頁。顯然

是一個基陣，B-1=B先將它化為標準形式：問題的可行域如上圖所示。當前39頁，總共53頁。問題是哪個取，哪個取。因為B=（p4，p3）=（pj1,pj2)即j1=4，j2=3。由定義即知：于是，可得D1。并同理可得D2的表示式如下：則對應(yīng)非基變量的極方向分別為：我們來看它們的分量是怎樣取值先考慮,由定義=1，是非基變量所以=0,再看基變量對應(yīng)中的怎樣取值，按定義，應(yīng)取元素的值及。當前40頁，總共53頁。定理5（極方向性質(zhì)）設(shè)Dj是基B的非基變量xj極方向，則有ADj=0.證明：設(shè)

易驗證：一般的我們有：因為當前41頁，總共53頁。即（*）=又由極方向定義及（*）式有：在上例中由已知A及D1的表達式得AD1=0即為下式當前42頁，總共53頁。

定義19：對于極方向若滿足≥0。則稱為極方向。因此上例中是極方向，而不是。定理6設(shè)B是線形規(guī)劃（SLP）的一個可行基，對應(yīng)基本可行解為。若對某個非基變量，存在極射向≥0且滿足C>0。則此線形規(guī)劃問題目標函數(shù)無上界，故無最優(yōu)解。上例中≥0在線形規(guī)劃中這種極方向比較重要。事實上，我的以上例中線形規(guī)劃存在可行性解，同時又存在極方向≥0。由圖象又可見其可行域是無界的。此方程由知可由及表示出來。當取=1，=0時，得到=1，=0。這就是D1由D1及P2的前兩個坐標構(gòu)成平面上向量分別為也畫在前面的坐標圖中。當前43頁，總共53頁。證明：因為≥0而由Th.5.A=0則對實數(shù)λ>0。滿足：A（+

λ）=A=b+

λ≥0因此+λ是可行解。由定理中的條件C>0當λ→∞時，目標函數(shù)f=C（+λ）=C+λC→

∞這表明目標函數(shù)無上界。無最優(yōu)解。證畢。這個定理告訴我們，當存在極射向0時那么+λ，也是可行解，而中一定有正分是（因為至少有=1）但由于a>0可以取任意大的正數(shù)。所以可行解+λ對于中正分量的那些坐標隨λ→+∞而趨于+∞這表示只要存在,可行域必是無界的。當前44頁，總共53頁。但我們已經(jīng)說過，有無界可行域并不意味就有無界解，而加上條件CDj>0后，目標函數(shù)就無上界了。這時就有無界解。因而無最優(yōu)解。我們在回過頭來考慮上面的例子：在上面的例子中=（1,0,1,0)T

及C=（1.-1.0.0)T

故滿足CD1=1>0。而這個線形規(guī)劃又存在基可行解=（0,0,1,2)T當λ>0時，+=（

,0,1+,2)T

也是可行解。但當→∞時，坐標x=→∞因此可行域是無界的而目標函數(shù)f=C（+）=→∞無上界，當前45頁，總共53頁。二可行解的表示定理當可行域無界時，除了考慮可行域的極點外，還要考慮極射向。上節(jié)已經(jīng)分析出結(jié)論：（SLP）可行域的極點（基可行解）不超過個是有限的。設(shè)共有r個極點：如果（SLP）存在極射向，一樣的分析可知，極射向也是有限個。設(shè)為：于是有下面的表示定理：

定理7設(shè)

非空。A是m×n陣，rankA=m且A的列向量均不為零向量。則x是可行解(即x∈R)的充要條件是：存在非負實數(shù)使得當前46頁，總共53頁。

證明：先證充分性。若x能表示成（*）式，要證x∈R?？梢妜∈R再證必要性。即x∈R，要證x能表成（*）式。當前47頁，總共53頁。

知x可以表成（*