專題四 探索性問題

n2223334專題四n2223334知鏈探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論要經(jīng)過推斷并加以證明的題型。探索性問題一般有三種類型：（）條件探索型問題；（2）結(jié)論探索型問題；（3）探索存在型問題。條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目?；鶡?.2014濰坊圖知正方形ABCD點(diǎn)A(1定“把正方形ABCD先沿軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換．如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2014次變換后，正方形的對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?)A．(—2012,2)B．（一2012，一2）C.(—2013,—2)D.(—2013,2)2.

（2014年川巴中）如圖是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱“楊三角它發(fā)現(xiàn)比西方要早五百年左此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的！楊三角中有許多規(guī)律，如它的每一行的數(shù)字正好對應(yīng)了）（n為負(fù)整數(shù)）的展開式中a次數(shù)從大到小排列的項的系數(shù)如（）=a展式中的系數(shù)1恰對應(yīng)圖中第三行的數(shù)字；再如，a+b）=a+3a+b展開式中的系數(shù)1、、恰好對應(yīng)圖中第四行的數(shù)字．請認(rèn)真觀察此圖，寫出）的展開式，）4

=

．中鏈類型一條件索型題【例】2014年四川巴中）如圖，在四邊形中，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點(diǎn)，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF．（1）請你添加一個條件，使得△≌△CFH，你添加的條件是，并證明．（2）在問題（1）中，BH與EH滿足什么關(guān)系時，四邊形矩形，請說明理由．【分析（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時，都可以證明△≌△CFH，（2）由（1）可得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時，四邊形BFCE矩形．1

類型二結(jié)論索型題【例如圖，已知拋物線y=x

2

+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0，-1)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)判斷△MAB的形狀，并說明理由；(3)過原點(diǎn)的任意直線不與y軸重合)交拋物線于CD兩點(diǎn)，連接MC，MD，試判斷MCMD是否垂直，并說明理由．【分析1）待定系數(shù)法即可解得．（2）由拋物線的解析式可知，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△是等腰直角三角形．（3）分別過C點(diǎn)D點(diǎn)作軸的平行線，交x軸于E、F，M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，（m，m

2

-1）（n，n

2

ECOE-1），通EG∥DH，得出，從而求得n的關(guān)系，DFOF根據(jù)m、n的關(guān)系，得出CGM∽△MHD，利用對應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．2

【例(2014年湖北咸寧如圖方形OABC的邊OA在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)﹣4P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時出發(fā)，以相同的速度沿軸的正方向運(yùn)動，規(guī)定點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)O時，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．連接，過P點(diǎn)作BP的垂線，與過點(diǎn)Q平行于y軸的直線相交于點(diǎn)D．BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為（s）．（1PBD的度數(shù)為D的坐標(biāo)為（用t表示）；（2）當(dāng)t為何值時，△為等腰三角形？（3）探索△POE周長是否隨間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．【分析（1易證△BAP≌△PQD從而得到DQ=AP=t從而可以求出∠的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）由于∠EBP=45°，故1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解，然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍，最終確定符合要求的值．（3）由（2）已證的結(jié)論很容易得到△POE周長等于，從而解決問題．3

類型三探索在型題1【例】2014?蘭州）如圖，拋物線yx2

mxx軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)如果不存在，請說明理由；（3點(diǎn)E時線段上的一個動點(diǎn)過點(diǎn)Ex軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時E點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出求出m、的值即可；（2）由1）解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以C為圓心CD為半徑作弧交對稱軸于PD為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點(diǎn)P垂直于對稱軸與點(diǎn)E，3由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；1（3）先求出的解析式，設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣a+2），就可以表示F的坐標(biāo)，由四邊2形CDBF的面積=

BCD

CEF

BEF

求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．4

課訓(xùn)1.按下列規(guī)律排列的一列數(shù)對1,2),(4,5)(7,8),?個數(shù)對是___________。2.如下數(shù)表是由1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．（1）表中8行的最后一個數(shù)是______________它是自然_____________的平方，8行共有____________個數(shù)；（2）用含n的代數(shù)式表示：第行的第一個數(shù)是___________________最后一個數(shù)是________________，第行共有_______________個數(shù)；（3）求第n行各數(shù)之和．3.（2013?威海）如圖，在面直角坐標(biāo)系，Rt△OAC，Rt11△OAC，eq\o\ac(△,Rt)OAC，Rt△OA?邊都在坐標(biāo)軸上，∠AOC=∠22334411AOC=∠AOC=∠AOC=?°若點(diǎn)A的坐標(biāo)3OA=OC，223344112OA=OC，OA=OC?依此律，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（）23342014A.0

33322

4.（2013?貴陽）在ABC中，BC=a，AC=bAB=c，c為最長邊，當(dāng)a

2

+b

2

=c

2

時，△ABC是直角三角形；a

2

+b

2

≠c

2

時，利用代數(shù)式a

2

+b

2

和c

2

的大小關(guān)系，探究△ABC的形（按角分類）．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為、8、9時，△ABC為______三角形；當(dāng)△三邊分別為6、8、11時，△ABC為______三角形．（2）猜想，當(dāng)2+b2_____c2，ABC為銳角三角形；a2+b2______c2時，ABC為鈍角三角形．（3）判斷當(dāng)a=2，b=4，△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍．5

52014?河南線－x

2

+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(5,03兩點(diǎn)，直線y與y軸交于點(diǎn)C，，與x軸交于點(diǎn)D.P4是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作PF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。（1）求拋物線的解析式；（）若PE=5EF,求m的值；（3）若點(diǎn)E

/

是點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)、是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)E

/

落在y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（2013?長沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋與x軸y軸分別交于點(diǎn)A，B，動點(diǎn)，b)在第一象限內(nèi)，由點(diǎn)P向x，所作的垂線，垂足