圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定 教學(xué)設(shè)計

1.3.2圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定教學(xué)目標(biāo)(一)知識目標(biāo)(1)了解圓內(nèi)接多邊形和多邊形外接圓的概念；(2)掌握圓內(nèi)接四邊形的概念及其性質(zhì)定理；(3)熟練運用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進行計算和證明．(二)能力目標(biāo)(1)通過圓的特殊內(nèi)接四邊形到圓的一般內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力；(2)通過定理的證明探討過程，促進學(xué)生的發(fā)散思維；(3)通過定理的應(yīng)用，進一步提高學(xué)生的應(yīng)用能力和思維能力．(三)情感目標(biāo)(1)充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，激發(fā)學(xué)生的探究的熱情；(2)滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點．教學(xué)重、難點重點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理．難點：定理的靈活運用．教學(xué)過程(一)基本概念如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內(nèi)接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．(二)創(chuàng)設(shè)研究情境問題：一般的圓內(nèi)接四邊形具有什么性質(zhì)？研究：圓的特殊內(nèi)接四邊形(矩形、正方形、等腰梯形)1、邊的性質(zhì)：(1)矩形：對邊相等，對邊平行．(2)正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．(3)等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．歸納：圓內(nèi)接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質(zhì)．2、角的關(guān)系相鄰兩內(nèi)角互補有兩組相等的角相對兩內(nèi)角互補矩形是是是正方形是是是等腰梯形不是是是猜想：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．(三)證明猜想教師引導(dǎo)學(xué)生證明．(參看思路)思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內(nèi)接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結(jié)果呢？思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內(nèi)接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結(jié)果呢？(四)性質(zhì)及應(yīng)用定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角．經(jīng)過上面的討論，我們得到了圓內(nèi)接四邊形的兩條性質(zhì).一個自然的想法是，它們的逆命題成立嗎？如果成立，就可以得到四邊形存在外接圓的判定定理.假設(shè)：四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°.求證：A、B、C、D在同一圓周上(簡稱四點共圓).分析：在不同一直線上的三點確定一個圓.經(jīng)過A、B、C三點作圓O.如果能夠由條件得到圓O過點D，那么就證明了命題.顯然，圓O與點D有且只有三種關(guān)系：(1)點D在圓外；(2)點D在圓內(nèi)；(3)點D在圓上.只要證明在假設(shè)條件下只有(3)成立，也就證明了命題.老師引導(dǎo)學(xué)生完成證明.可得：圓內(nèi)接四邊形判定定理如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓.在圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明中，我們用分類思想對點D與A、B、C三點確定的圓的位置關(guān)系進行探討，在每一種情形中都運用了反證法.當(dāng)問題存在多種情形時，通過對每一種情形分別論證，最后獲證結(jié)論的方法，稱為窮舉法.(五)例題解析例1如圖，圓⊙O和⊙O1相交于A，B兩點，經(jīng)過點A，B的直線EF，MN與兩圓分別相交于E，F(xiàn)；M，N.求證：EF//FN.證明：連接AB.因為四邊形ABEM是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠ABF=∠M.又因為四邊形ABFN是⊙O1內(nèi)接四邊形，所以∠ABF+∠N=180°.所以EF//FN.例2如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過A作⊙O的切線交CB的延長線于P，已知∠EAD=∠PCA.求證：DA2=CD×BP.證明：因為EP是⊙O的切線，所以所以∠EAD=∠DCA，∠PAB=∠PCA.又因為∠EAD=∠PCA，所以∠DCA=∠PAB=∠PCA，所以AD=AB.又因為圓內(nèi)接四邊形ABCD，所以∠PBA=∠D，所以△DCA與△BAP相似，因此因為AD=AB，所以DA2=CD×BP.例3如果兩個三角形有一條公共邊，這條邊所對的角相等，并且造公共邊的同側(cè)，那么這兩個三角形有公共的外接圓.已知：如圖，∠C，∠D在AB同側(cè)，∠C=∠D.求證：△ABC和△ABD有公共的外接圓.證明：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，在⊙O的弧AB上取點E，是E與C在AB的兩側(cè).因為A，E，B，C四點共圓，所以∠ACB+∠AEB=180°.又已知∠ACB=∠ADB，所以∠ADB+∠AEB=180