淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用

PAGE甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)生畢業(yè)論文題目：淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用作者：指導(dǎo)教師：數(shù)學(xué)與信息學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)教育專業(yè)2021級(jí)三年制2班2013年主要內(nèi)容簡(jiǎn)介:導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析基本概念，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野,是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、求曲線的斜率問(wèn)題和求函數(shù)的極值最值等問(wèn)題的有力工具。本文就導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用，談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。首先，就導(dǎo)數(shù)的概念入手，依次講述了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系、求導(dǎo)數(shù)的方法、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等方面的內(nèi)容。并舉了大量的例題，其中一些例題方法新穎，可供讀者參考。其次，主要講了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用，包括函數(shù)的單調(diào)性、極值最值的求法。用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法以及求曲線斜率的方法等。在每個(gè)應(yīng)用后都附有相關(guān)例題加以說(shuō)明。來(lái)突出導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性。總之，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)對(duì)本文的閱讀讀者會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)有更深的了解與認(rèn)識(shí)。淺談導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用摘要：導(dǎo)數(shù)概念是數(shù)學(xué)分析基本概念，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野,也是研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式、求曲線的斜率問(wèn)題和求函數(shù)的極值最值等問(wèn)題的有力工具。本文就導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，談一點(diǎn)個(gè)人的感悟和體會(huì)。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)極限應(yīng)用函數(shù)不等式一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算1．導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x)在處附近有定義，如果Δx→0時(shí)，Δy與Δx的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)y=f(x)在Δx→0處的導(dǎo)數(shù)，記作；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率，即斜率為過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：.3.導(dǎo)函數(shù)、可導(dǎo)：如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，即對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。此時(shí)稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).4．可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù).5.依定義求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）求函數(shù)的改變量（2）求平均變化率（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝6．幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (C為常數(shù))；()；；；；；；。7．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：；；；8．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u′x=′(x)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f((x))在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且或=f′(u)′(x).9.求導(dǎo)數(shù)的方法:(1)求導(dǎo)公式(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式(4)導(dǎo)數(shù)定義10.導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算的相關(guān)例題例1（1）求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；（2）運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)解：（1），，即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率k=0因此曲線在（1，1）處的切線方程為y=1（2）注：切線是導(dǎo)數(shù)的“幾何形象”,是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋,要熟練掌握求切線方程的方法.例2若f（x）在R上可導(dǎo)，（1）求f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則為奇函數(shù).分析:（1）需求f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)；（2）求，然后判斷其奇偶性.（1）解:設(shè)f（－x）=g（x）,則===－=－∴f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù).（2）證明:===－=－∴為奇函數(shù).注:用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意Δy中自變量的變化量應(yīng)與Δx一致.例3已知函數(shù)，數(shù)列的第一項(xiàng)，以后各項(xiàng)按照如下方式取定：曲線y＝在處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和兩點(diǎn)的直線平行（如圖）。求證：當(dāng)n時(shí)：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）證明：（=1\*ROMANI）∵∴曲線在處的切線斜率∵過(guò)和兩點(diǎn)的直線斜率是∴.（=2\*ROMANII）∵函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，而，∴，即因此又∵令則∵∴因此故例4.已知一個(gè)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)P（0，2），并且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解：（Ⅰ）由的圖像經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，所以,.由在處的切線方程是，知.故所求的解析式是.（Ⅱ）,解得當(dāng)當(dāng)故在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．例5證明過(guò)拋物線y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1<x2）上兩點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0）的切線，與x軸所成的銳角相等.解：，，即，，即.設(shè)兩條切線與x軸所成的銳角為、β，則，，故tan=tanβ.又、β是銳角，則=β.二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.以導(dǎo)數(shù)概念為載體處理函數(shù)圖像問(wèn)題函數(shù)圖像直觀地反映了兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，由于受作圖的局限性，這種規(guī)律的揭示有時(shí)往往不盡人意.導(dǎo)數(shù)概念的建立拓展了應(yīng)用圖像解題的空間。例1設(shè)函數(shù)的圖像為C1，函數(shù)的圖像為C2，已知在C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)的切線互相垂直.求，之間的關(guān)系；若＞0，＞0，求的最大值.分析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩切線的位置關(guān)系即可求出，的關(guān)系，求的最大值可借助不等式求解.解析（1）對(duì)于C1：，有，對(duì)于C2：有，設(shè)C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為（），由題意知過(guò)交點(diǎn)（）的兩條切線互相垂直，∴即①又點(diǎn)（）在C1與C2上，故有②由①②消去可得，（2）由于＞0，＞0且，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最大值為.本題以函數(shù)圖像為背景考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和語(yǔ)言轉(zhuǎn)化能力，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，即某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即為該點(diǎn)的切線斜率.2．以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)單調(diào)性對(duì)函數(shù)單調(diào)性的研究，導(dǎo)數(shù)作為強(qiáng)有力的工具提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，通過(guò)判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，來(lái)確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性．當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性．例2討論下列函數(shù)的單調(diào)性：1．（且）；2．（且）；解：1．函數(shù)定義域?yàn)镽．當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．2．函數(shù)的定義域是或若，則當(dāng)時(shí)，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上是增函數(shù)3．證明不等式彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性把要證明的一元不等式通過(guò)構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為再通過(guò)求的最值，實(shí)現(xiàn)對(duì)不等式證明，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用為解決此類問(wèn)題開辟了新的路子，使過(guò)去不等式的證明方法從特殊技巧變?yōu)橥ǚ?，彰顯導(dǎo)數(shù)方法運(yùn)用的靈活性、普適性。例3求證證明：我們給出以下幾種證明方法，顯然，所要證明的不等式等價(jià)于（＊） 方法1由，得．于是，要證不等式（＊），只要證，也即證，這等價(jià)于．因而原式得證． 方法2要證不等式（＊），只要證明下面的不等式就可以了．（＊＊）這等價(jià)于,也就是．即．因而原不等式得證． 方法3由二元基本不等式，得如果對(duì)柯西不等式比較熟悉，那么證明不等式（＊＊）是顯而易見(jiàn)的．對(duì)于以上方法關(guān)鍵要能對(duì)所給不等式作熟練等價(jià)變形．對(duì)于此題也可運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，進(jìn)而可以證明最大值小于.方法4設(shè)函數(shù)．對(duì)求導(dǎo)：令，得；令，得上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為。因而不等式得證。顯然此法比前幾種方法簡(jiǎn)潔明了多了。4．求曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)可以十分便捷地分析處理解析幾何中的有關(guān)切線問(wèn)題。例4已知函數(shù).求曲線在點(diǎn)處的切線方程；設(shè).如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：.解析：（I）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：,即.(II)如果有一條切線過(guò)點(diǎn),則存在，使.因而根據(jù)題意，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.設(shè),則.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： + -↗極大值↘極小值↗由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得,即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。綜上，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則，即。此題巧妙地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求得了函數(shù)的極值，利用極值的取值范圍討論了三次方程的根的情況，以達(dá)到了證明不等式的目的。5．由導(dǎo)數(shù)來(lái)求最值問(wèn)題的方法可知，解這類實(shí)際問(wèn)題需先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點(diǎn)，確定最值點(diǎn)及最值．在設(shè)變量時(shí)可采用直接法也可采用間接法．求函數(shù)極值時(shí)，導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：（1）求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)；（2）在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。例5（1）如圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖像與x軸所圍成圖形中有個(gè)內(nèi)接矩形ABCD，求這個(gè)矩形面積的最大值。解析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)且0<x<2,∵圖像的對(duì)稱軸為x=2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4-x,0),∴∴矩形面積為令，解得，∵,∴取∵極值點(diǎn)只有一個(gè)，當(dāng)時(shí)，矩形面積的最大值（2）把長(zhǎng)度為16cm的線段分成兩段，各圍成一個(gè)正方形，它們的面積之和的最小值為多少？分析：建立面積和與一正方形的周長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，再求最小值．解答：設(shè)一段長(zhǎng)為cm，則另一段長(zhǎng)cm．∴面積和∴S′＝，令S′＝0有＝8．列表：(0，8)8(8，16)S′－0＋∴當(dāng)＝8時(shí)，S有最小值8cm2．這是解實(shí)際應(yīng)用題的一般方法．先構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再求滿足條件的解，極值或最值．小結(jié)：導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問(wèn)題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問(wèn)題，不等式問(wèn)題，還可以解析幾何相聯(lián)系，可以在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)問(wèn)題。[參考文獻(xiàn)][1]劉玉璉數(shù)學(xué)分析講義[Ｍ]北京：高等教育出版社，1992.[2]吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[Ｍ]山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1980.[3]何仲永《運(yùn)用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式》.指導(dǎo)教師姓名職稱論文評(píng)語(yǔ)成績(jī)指導(dǎo)教師總評(píng)意見(jiàn)：評(píng)審人：年月日注：1．評(píng)語(yǔ)、成績(jī)須由指導(dǎo)教師填寫。2．評(píng)語(yǔ)及總評(píng)意見(jiàn)應(yīng)包括學(xué)術(shù)價(jià)值、實(shí)際意義、達(dá)到水平、學(xué)術(shù)觀點(diǎn)和論證有無(wú)錯(cuò)誤。

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對(duì)內(nèi)對(duì)外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱的法律體現(xiàn)，因此，必須對(duì)印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項(xiàng)業(yè)務(wù)的正常運(yùn)作，由公司指定專人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。專用章，為方便工作專門刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專用章、財(cái)務(wù)專用章、業(yè)務(wù)專用章、倉(cāng)庫(kù)簽收章等。3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定印章指定專人負(fù)責(zé)保管和使用，保管印章的地方(桌、柜等)要牢固加鎖，印章使用后要及時(shí)收存。財(cái)務(wù)專用章由財(cái)務(wù)部負(fù)責(zé)保管，向銀行備案的印章，應(yīng)由財(cái)務(wù)部會(huì)計(jì)、總經(jīng)辦分別保管。3、印章要注意保養(yǎng)，防止碰撞，還要及時(shí)清洗，以保持印跡清晰。4、一般情況下不得將印章攜出公司外使用，如確實(shí)因工作所需，則應(yīng)由印章管理員攜帶印章到場(chǎng)蓋章或監(jiān)印。5、印章管理人員離職或調(diào)任時(shí)，須履行印章交接手續(xù)。四、公章刻制印章需本公司法人代表批準(zhǔn)，并由印章管理專責(zé)人負(fù)責(zé)辦理刻制并啟用并交由專人進(jìn)行保管。五、印章的使用使用任何的印章，需由相應(yīng)負(fù)責(zé)人審核簽字。為方便工作，總經(jīng)理可授權(quán)印章管理專責(zé)人審核一般性事務(wù)用印。用印前印章管理人員須認(rèn)真審核，明確了解用印的內(nèi)容和目的，確認(rèn)符合用印的手續(xù)后，在用印登記簿上逐項(xiàng)登記，方可蓋章。3、對(duì)需要留存的材料，蓋印后應(yīng)留存