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文檔簡介

關于空間平面方程第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三一、平面的確定條件

由立體幾何知道，過空間一點可以而且只可以作一個垂直于一條已知直線的平面．利用這個結論，若平面經過一定點M0(x0,y0,z0),

且與向量n={A,B,C}垂直,則這個平面就唯一確定了．與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向量．那么，可以確定平面的兩個條件是：返回下一頁上一頁第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三返回下一頁上一頁下面我們利用以上結論建立平面的方程．第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三

現(xiàn)在來建立平面

的方程.設平面

過點是平面

的法向量.

在平面

上任取一點

M(x,y,z)，則點

M

在平面上的充要條件是nMM0二、點法式方程返回下一頁上一頁第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三該方程稱為平面的點法式方程.所以有返回下一頁上一頁第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三例

5-10

求過點(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k

的平面方程.

解

所求平面的法向量n=i+2j+3k

，又因為平面過(2,1,1)，所以由公式可得該平面方程為即

x+2y+3z－7=0.返回下一頁上一頁第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三解所求平面方程為化簡得例5-11求過三點)4,1,2(-A、)2,3,1(--B和)3,2,0(C的平面方程.返回下一頁上一頁取第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三由平面的點法式方程平面的一般方程法向量三、平面的一般方程返回下一頁上一頁第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標面；類似地可討論

情形.類似地可討論情形返回下一頁上一頁第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三例5-12

設一平面通過

x軸和點M(4,3,1)，試求該平面的方程.解因為所求平面通過x軸，

所以可設它的方程為By+Cz=0.由于點M

在所求的平面上，因此有3BC=0，將C=3B

代回方程④，并簡化，即得所求平面方程為y

3z=0④返回下一頁上一頁第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三

設平面兩平面法向量的夾角稱為兩平面的夾角.它們的夾角為

.④四、兩平面的夾角返回下一頁上一頁第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期三返回下一頁上一頁則平面1、2

垂直的充要條件是A1A2+B1

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