彈性力學(xué)第九章課件

第一節(jié)有關(guān)概念及計(jì)算假定第二節(jié)彈性曲面的微分方程第三節(jié)薄板橫截面上的內(nèi)力第四節(jié)邊界條件扭矩的等效剪力第五節(jié)四邊簡支矩形薄板的重三角級數(shù)解第六節(jié)矩形薄板的單三角級數(shù)解第七節(jié)矩形薄板的差分解第八節(jié)圓形薄板的彎曲第九節(jié)圓形薄板的軸對稱彎曲第九章薄板彎曲問題薄板是厚度遠(yuǎn)小于板面尺寸的物體。§9-1有關(guān)概念及計(jì)算假定定義薄板的上下平行面稱為板面。薄板的側(cè)面，稱為板邊。平分厚度的面,稱為中面。比較薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用--

薄板的彎曲問題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用--

平面應(yīng)力問題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用--

梁的彎曲問題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用--

桿件的拉壓問題；(3)在內(nèi)力中，僅由橫向剪力與橫向荷

載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計(jì)。(2)在中面位移中,w是主要的，而縱向位

移u,v很小，可以不計(jì)；(1)具有一定的剛度，橫向撓度；1.

垂直于中面的線應(yīng)變可以不計(jì)。取，由，得 故中面法線上各點(diǎn)，都具有相同的橫向位移，即撓度w。

本章研究小撓度薄板的彎曲問題。

根據(jù)其內(nèi)力和變形特征，提出了3個(gè)計(jì)算假定(kirchhoff)：計(jì)算假定彎應(yīng)力（合成彎矩）及扭應(yīng)力（合成扭矩）橫向切應(yīng)力（合成橫向剪力）擠壓應(yīng)力

2.

次要應(yīng)力分量遠(yuǎn)小于其他應(yīng)力分量，它們引起的形變可以不計(jì)。薄板中的應(yīng)力與梁相似，也分為三個(gè)數(shù)量級：

(1)在薄板彎曲問題中，略去了次要應(yīng)力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。說明：⑵薄板彎曲問題的物理方程(b)與平面應(yīng)力問題的物理方程相同。但沿板厚方向，對于平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問題的應(yīng)力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。⑶從計(jì)算假定1、2，得出

故中面法線在薄板彎曲時(shí)保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。實(shí)踐證明，只要是小撓度的薄板，薄板的彎曲理論就可以應(yīng)用，并具有足夠的精度。類似于梁的彎曲理論，在薄板彎曲問題中提出了上述3個(gè)計(jì)算假定，并應(yīng)用這3個(gè)計(jì)算假定,簡化空間問題的基本方程，建立了小撓度薄板彎曲理論。 §9-2彈性曲面的微分方程

本節(jié)從空間問題的基本方程出發(fā)，應(yīng)用3個(gè)計(jì)算假定進(jìn)行簡化，導(dǎo)出按位移求解薄板彎曲問題的基本方程。薄板問題解法2.將其他未知函數(shù)─縱向位移u,v；主要應(yīng)變分量;主要應(yīng)力分量；次要應(yīng)力分量及最次要應(yīng)力均用w來表示。

薄板彎曲問題是按位移求解的，主要內(nèi)容是：

4.導(dǎo)出板邊的邊界條件。3.導(dǎo)出求解w的方程。

1.取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。

2.

將，用表示。應(yīng)用幾何方程及計(jì)算假定2，得又由計(jì)算假定3，

故得3.主要應(yīng)變用表示。

應(yīng)用其余三個(gè)幾何方程，得：(a)4.主要應(yīng)力用表示。應(yīng)用薄板的三個(gè)物理方程及式(a)，得：(9-4)因?yàn)樯舷掳迕媸谴筮吔?，必須精確滿足應(yīng)力邊界條件

由此求出及，代入得到(9-5)6.更次要應(yīng)力用表示。應(yīng)用第三個(gè)平衡微分方程，將體力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入并對z積分，得由下板面的邊界條件求出，故更次要應(yīng)力為(9-6)說明：⑴在三個(gè)計(jì)算假定下，縱向位移u,v；主要應(yīng)變；主要應(yīng)力；沿z向均為線性分布，在中面為0；次要應(yīng)力（橫向切應(yīng)力）沿z向?yàn)閽佄锞€分布；－－均與材料力學(xué)相似。更次要應(yīng)力（擠壓應(yīng)力）沿z為三次曲線分布。⑵按位移求解薄板彎曲問題，只取為基本未知函數(shù)。在導(dǎo)出求的基本方程中應(yīng)用了3個(gè)計(jì)算假定，與材料力學(xué)解梁的彎曲問題相似。

求內(nèi)力：取出的六面體，x面上，有應(yīng)力，，y面上，有應(yīng)力，，。其中，，=，沿z為直線分布，在中面為0；

，，沿z為二次分布，方向∥橫截面。

x面面積上，應(yīng)力的主矢量和主矩為：x面內(nèi)力─合成主矢量稱為橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,類似地，求出y面面積上的內(nèi)力：y面內(nèi)力彎矩扭矩橫向剪力內(nèi)力的正負(fù)號規(guī)定，根據(jù)應(yīng)力符號確定:正的應(yīng)力方向的主矢量為正;正的應(yīng)力×正的矩臂的力矩方向?yàn)檎?如圖。內(nèi)力符號內(nèi)力均為單位寬度上的主矢量和主矩，所以其量綱均應(yīng)降低一次長度量綱。(e)(f)中面內(nèi)力平衡條件考慮上圖的中面平衡條件，可得：薄板內(nèi)力是橫截面上，應(yīng)力向中面合成的主矢量和主矩。再將用w來表示，同樣地得出撓曲線微分方程將前兩式代入后式，得§9－4邊界條件扭矩的等效剪力薄板的邊界條件：在上下板面（大邊界），已精確地滿足了3個(gè)應(yīng)力邊界條件。邊界條件板邊為小邊界，可以應(yīng)用圣維南原理來簡化邊界條件,將板邊的邊界條件歸結(jié)為中面的位移邊界條件或中面的內(nèi)力邊界條件。

板邊（小邊界）的邊界條件尚未考慮,是求解撓曲線微分方程的邊界條件。，可看成是中面的撓曲微分方程,或中面的平衡方程；邊界條件薄板板邊的邊界條件分為三類：1.固定邊--若為廣義固定邊，則其中為給定的約束位移。若完全固定，則固定邊(a)2.簡支邊

--若為廣義簡支邊，則其中分別為給定的約束位移和彎矩。若，則一般的簡支邊條件為簡支邊因故第二個(gè)條件可以簡化。簡支邊的條件為簡支邊3.自由邊

--若為一般的自由邊，則上式邊界條件共有3個(gè)，與四階微分方程不相對應(yīng)。經(jīng)過約20年后，基爾霍夫指出，薄板板邊上的扭矩可化為等效的橫向剪力。自由邊在EF=dx微分段上，總扭矩，化為E、F上等效的一對力，分別向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，總扭矩，化為F、G上等效的一對力，分別向下（F）和向上（G）。圖中，取出板邊AB（y面），扭矩的等效剪力在F點(diǎn)，合成集中力,向下。再化為寬度上的分布剪力。故AB邊界總的分布剪力為

此外，在A，B兩端，還有兩個(gè)未被抵的集中剪力

用撓度表示為因此，自由邊的邊界條件成為同理可導(dǎo)出的自由邊條件。4.自由邊交點(diǎn)的角點(diǎn)條件─在角點(diǎn)B，集中力為若B點(diǎn)有支承，阻止撓度的發(fā)生，則有若B點(diǎn)無支承，應(yīng)無集中力，有角點(diǎn)條件角點(diǎn)集中力的正負(fù)號及方向，根據(jù)扭矩確定，見習(xí)題9-2。固定邊是位移邊界條件，自由邊是內(nèi)力邊界條件，簡支邊是混合邊界條件。小撓度薄板的彎曲問題，已經(jīng)歸結(jié)為求解撓度w，w應(yīng)滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件。§9－5四邊簡支矩形薄

板的重三角級數(shù)解求w條件對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊簡支納維將w表示為重三角級數(shù)，

其中m，n為正整數(shù)。代入式(b)，全部邊界條件滿足。將q(x,y)也展為重三角級數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比較兩邊系數(shù)，得 納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于各種形式的荷載q，均可方便地求出解答。它的主要是，只能適用于四邊簡支的薄板。當(dāng)q為集中荷載F，作用于一點(diǎn)時(shí)，可用代替q，并且只在處的微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，于是中當(dāng)q為均布荷載時(shí)，代入式(f)，便可求出，并得出w解答。設(shè)矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊為任意邊界?！?－6矩形薄板的單三角級數(shù)解兩對邊簡支其中是待定的函數(shù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡支邊條件,萊維采用單三角級數(shù)表示撓度，將式(a)代入撓曲線微分方程，得兩對邊簡支將也展開為單三角級數(shù)，兩對邊簡支代入式(b)，比較系數(shù)，得出求的常微分方程，其中為式(d)的特解；其余四項(xiàng)為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中的系數(shù)由其余兩邊界條件來確定。式(d)的解為書中列舉了受均布荷載時(shí),四邊簡支板的解答。矩形薄板應(yīng)用重三角級數(shù)和單三角級數(shù)求解，是非常重要的解法。下面我們進(jìn)一步說明幾點(diǎn)。從求解薄板彎曲問題來看，兩者比較如下：

適用性四邊簡支兩對邊簡支，另兩邊可任意求解較困難，須求解系數(shù)

收斂性慢快應(yīng)用局限于四邊簡支可推廣應(yīng)用到其他各種邊界納維解法萊維解法簡便2.應(yīng)用疊加方法，可將萊維提出的單三角級數(shù)解，用于解決各種矩形薄板的邊

界條件問題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問題中得到了廣泛的應(yīng)用，而且可以推廣應(yīng)用于薄板的動(dòng)力、穩(wěn)定問題,以及能量法中。1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載，如何應(yīng)用萊維法求解？2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載，如何應(yīng)用萊維法求解？思考題

應(yīng)用差分法求解薄板彎曲問題，是比較簡便的。

首先將撓曲線微分方程變換為差分方程,插分方程§9－7矩形板的差分解對點(diǎn)，即固定邊和簡支邊附近的w值，如下圖所示。若AB為簡支邊，對于o點(diǎn)，若AB為固定邊，則對于o點(diǎn)，(a)固定邊(b)簡支邊對于自由邊的情形，邊界點(diǎn)的w值是未知數(shù)，須列式(a)的差分方程，其中涉及邊界外一、二行虛結(jié)點(diǎn)的w值，用自由邊的邊界條件來表示，所以求解時(shí)比較麻煩。對于具有支承邊（簡支邊，固定邊）的矩形板，每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)的w值為未知數(shù)，對每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)應(yīng)列式(a)的方程。其中涉及邊界點(diǎn)和邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的w值，如式(b)或(c)所示。例1四邊簡支的正方形薄板，，受到均布荷載的作用，試取的網(wǎng)格，如圖，用差分法求解薄板中心點(diǎn)的撓度和內(nèi)力（取）。2121012120網(wǎng)格精確解答案:例2同上題，但四個(gè)邊界均為固定邊。網(wǎng)格精確解答案:總之，對于具有支承邊的矩形板，采用差分法求解是十分簡便有效的，取較少的網(wǎng)格便可求得精度較好的撓度值w。而由w求內(nèi)力時(shí)，因?yàn)閷平鈝求導(dǎo)數(shù)后會(huì)降低精度，所以須適當(dāng)?shù)丶用芫W(wǎng)格。

對于的正方形薄板，受均布荷載作用，試取的網(wǎng)格，分別求解下列邊界問題的中心點(diǎn)撓度，并進(jìn)行比較：邊（1）四邊簡