圓知識點總結(jié)

知結(jié)圖

d

1圓的定義：(1)線段OA繞著它的一個端O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓．圓是到定點的距離等于定長的點的集合固定的端點O做圓心，線段OA叫半。圓的幾何表示以點O為心的圓記作“⊙O作圓”2判定一個點否在⊙O．r

d

弦弧與有的義（1弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦中的）（2直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑途中的CD）直徑是最長的弦。（3半圓圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4弧、優(yōu)弧、劣弧、等弧（度數(shù)和長度）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧?；∮梅枴啊小北硎?，以AB為端點的弧記作“作圓AB”或“弧弧多用三個字母表示）3．的性質(zhì)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線是它的對稱軸．垂徑定及推論：(1)直于弦直徑平分這弦，并平分弦所對兩條弧

A(2)分弦不是直)的直垂直于弦，且平分所對的兩條．

O(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

C

E

D{二推三}①AB是徑②ABCD

③

④

BCBD

⑤

ACAD

B

(5)平行弦夾的弧相等．(2)旋轉(zhuǎn)不變性圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重

F合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．

O（一等等四量關(guān)系在同圓或等中，兩個圓心，兩條，兩條弦，

D兩條弦距，四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等．

D

CC

4與圓有關(guān)的(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．

B

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．（3）圓周角的性：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．∴∠∠ACB

A

C②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．在⊙O，∵DC=∴∠∠D

B

O③的圓周所對的為直徑；半或直徑對的圓周角直角．

A

在⊙O，∵是直徑或∵∠∴∠C=90∴直徑

看例1

C如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半那么這個三角形是直角三角形．5三角形的外確定圓的條件：不同直上三個點確定一個圓。

B

A外接圓、內(nèi)接三角形三角形的外心：是三角形邊中垂的交點，是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部三形外心三角形個頂點的距相等．注：直角（斜邊中點半徑是斜邊一半）、等腰，等邊三角形外心位置（）圓內(nèi)接四邊形1)個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角∵四邊形ABCD是內(nèi)接邊形∴∠C+∠BAD=180B+∠D=180°∠DAE=∠C試試規(guī)律：圓內(nèi)接平行四邊形是矩形6．線和圓位置關(guān)系：方法：定圓心到直的距離與徑關(guān)系設(shè)⊙O半徑為R，點O到直線l的距離為．(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>R．(2)直線和⊙O有唯一公共點直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O有兩個公共點直線l和⊙O相交d<R．7切線的判定性質(zhì)：(1)切線的性質(zhì)：（1切線與圓有一個公共點（）切線到圓心的距離等于圓的半徑（）的切線直于過切點半徑．即：過圓心、過切點、垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件

M

OAN∵M(jìn)N是線∴MN⊥OAp29例2環(huán)規(guī)律p30試試(2)線的判：①經(jīng)過徑的外端并垂直于條半徑的直是圓的線．兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

B●即：∵M(jìn)NOA

∴是的線

例

O②到圓的距離于圓的半徑直線圓的切．

C

A

D切的定兩方、半，垂；2、作直證徑8.(1)切線長：從圓一點作的切線，這點和切之間的線段長度叫切線長．(2)線長定：從外一點作圓兩條切，它們的切長相等這一點和圓的連線分兩條切線夾角．∵、PB是兩條切線

B∴PA=PB分BPA9．切圓、切三角形(1)三角形的內(nèi)心是三角形三角

P

平分線交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部它

A

1到三角三邊的距離等．線段規(guī)律：1

面積分法：

2sr=（p=a+b+cp

E

(代數(shù)法)線定：

F

BA2

A

BD

BD2

B

OE

FC

abOF=a+b+c

Sr2角度規(guī)律：p344規(guī)律p35試一試注：特殊三角形的外心位置（）圓外切四邊形(1)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形圓外切四邊形對邊之和相等．結(jié)論圓外切平行四邊形是菱形10圓和圓的置關(guān)系圓與圓的位置關(guān):種三類）外離（圖1）無共點d>R+r外切（圖2）有個公共點相交（圖3）有個公共點R-r<d<R+r內(nèi)切（圖4）有個公共點內(nèi)含（圖5）無共點大于等于11．兩的質(zhì)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線(1)相切兩圓的連心線經(jīng)過切點共線）(2)相交兩圓的連心線垂直平分公弦．∵⊙和相于AB（圖）∴是AB的垂直平分線注：不圓相交，有公共弦，心距有兩種裝圓問題，滾圓問題，動圓問題12.正多形質(zhì)計各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多形多邊形：邊數(shù)大于等于3)（1多邊形的軸對稱性正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊共有n條對稱軸，每條對稱都通過正邊形的中心。（2多邊形的中心對稱性邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。（3多邊形的畫法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

連計算連

可將正多邊形的中心與一邊組成等腰三角形，再用解直角三角形的知識進(jìn)行求解。正n邊的內(nèi)角度數(shù)為－180°;正邊的一個內(nèi)角(n-2)180°÷n.正邊外角和等于360°正n邊形中心360÷

所以正n邊的個外角為：°n.正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形中心心與正多邊形頂點連線的長度叫半。中與邊的距離叫做邊距（1在O△ABC是三角形，有關(guān)計算在eq\o\ac(△,Rt)BOD中行OD:BD:OB=（2正四邊形的有關(guān)計算在eq\o\ac(△,Rt)中行，:AE:OA=1:1:2（3正六邊形的有關(guān)計算在eq\o\ac(△,Rt)中行AB:OB:OA=1::CBC

1::

2O

O

OB

D

A

A

E

D

A

B正多邊計算的解題路：正多邊形

腰三角形轉(zhuǎn)化

化13.弧、扇形以及錐的有計算問題

R圓的面積公式：，周長C＝2πR．在半徑的中的圓心角所對的弧長的計算公式為

L

n360如扇形的的半徑為，圓心角為°，形面積的計算公式2SlR2圓錐的面展開圖是一個扇形，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r圓的側(cè)面積為πRl聯(lián)系：側(cè)面展扇形和圓錐聯(lián)系

圓錐側(cè)面展開圖是扇形，它的半徑是這個圓錐母線它的弧長是這個圓錐的底面的周

2.側(cè)扇弧長=

2πr=

n180

；3.側(cè)扇面積=

πRl=

n360

得

On°圓錐的面積與底之和稱為圓錐全面積為

A

B注：求面積的方法直接法→由面積公式直接得到

l間法即割法和法→行量換14圓中常的輔助線

求影分積

（1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．（2）弦心距利用垂徑定進(jìn)行證或計算，或用“圓、弧弦、弦距”間的關(guān)系進(jìn)行明．（3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”成的直角三角形進(jìn)行計算．（4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角（弦、直等構(gòu)造徑所對的圓角——角．（6)遇到切線，作過切點的弦，構(gòu)造弦切角．（到切線作過點的半，構(gòu)造直（8)欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：①若知道直線和圓有公共點時，常連結(jié)公共點和圓心證明直線垂直；②不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．（9)遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點．（10)遇到三角形的內(nèi)心，常作：①內(nèi)心到三邊的垂線②連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點．（11)遇相交兩圓，常作：①公共弦；②心線．口訣：半與弦長計算弦心距中間。圓上有一切線，點圓心徑連。要想證明是切線半徑垂線仔辨。是直，成半，想直角徑弦?；∮兄悬c圓連，垂定理要記。圓周角邊條弦，徑和弦端點。弦切角邊線弦，同弧角等找。要想作個外圓，各邊作中垂線還要作個切圓，內(nèi)角分線夢。如果遇到交圓，要忘作共弦。內(nèi)外相切的兩圓，過切點切線。若是上連心，切點肯定上面。補充．1.弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．2.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等過圓內(nèi)一點引兩條弦，弦被這點所分成的兩段的積相等幾語言：若ABCD交點則PA·PB=PC·PD（交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項3.切割線定理：

從圓外一點引圓的切和割線，線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長比例中項。幾何語言：PT切于T，PBA是O割線PT的=（切割線定理）（切割線定理推論(割線定理）4.割線定理：

從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等幾何語言：∵PBA，

是的割線5.(1)三角形的重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍．(2)垂心：是三角形三邊高線的交點．兩圓公線（切點連半徑，