壓桿穩(wěn)定計(jì)算

第16章壓桿穩(wěn)定16.1壓桿穩(wěn)定性的概念在第二章中，曾討論過受壓桿件的強(qiáng)度問題，并且認(rèn)為只要壓桿滿足了強(qiáng)度條件，就能保證其正常工作。但是，實(shí)踐與理論證明，這個(gè)結(jié)論僅對短粗的壓桿才是正確的，對細(xì)長壓桿不能應(yīng)用上述結(jié)論，因?yàn)榧?xì)長壓桿喪失工作能力的原因，不是因?yàn)閺?qiáng)度不夠，而是由于出現(xiàn)了與強(qiáng)度問題截然不同的另一種破壞形式，這就是本章將要討論的壓桿穩(wěn)定性問題。當(dāng)短粗桿受壓時(shí)(圖16-1a)，在壓力F由小逐漸增大的過程中，桿件始終保持原有的直線平衡形式，直到壓力F達(dá)到屈服強(qiáng)度載荷F(或抗壓強(qiáng)度載荷F)，桿件發(fā)生強(qiáng)度破壞時(shí)為止。但是，如果用相同的材料，做一與圖16-1a所示的樣粗細(xì)而比較長的桿件(圖16-1b)，當(dāng)壓力F比較小時(shí)，這一較長的桿件尚能保持直線的平衡形式，而當(dāng)壓力F逐漸增大至某—數(shù)值F時(shí)，桿件將突然變彎，不再保持原有的直線平衡形式，因而喪失了承載能力。我們受壓直桿突然變彎的現(xiàn)象，稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。此時(shí)，F(xiàn)可能遠(yuǎn)小于F(或F)。可見，細(xì)長桿在尚未產(chǎn)生強(qiáng)度破壞時(shí)，就因失 1 s b穩(wěn)而破壞。圖16－1失穩(wěn)現(xiàn)象并不限于壓桿，例如狹長的矩形截面梁，在橫向載荷作用下，會出現(xiàn)側(cè)向彎曲和繞軸線的扭轉(zhuǎn)(圖16-2)；受外壓作用的圓柱形薄殼，當(dāng)外壓過大時(shí)，其形狀可能突然變成橢圓(圖16-3)；圓環(huán)形拱受徑向均布壓力時(shí)，也可能產(chǎn)生失穩(wěn)(圖16-4)。本章中，我們只研究受壓桿件的穩(wěn)定性。圖16-3所謂的穩(wěn)定性是指桿件保持原有直線平衡形式的能力。實(shí)際上它是指平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。我們借助于剛性小球處于三種平衡狀態(tài)的情況來形象地加以說明。第一種狀態(tài)，小球在凹面的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5a所示。先用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置，然后再把干擾力去掉，小球能回到原來的平衡位置。因此，小球原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。第二種狀態(tài)，小球在凸面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5c所示。當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，小球?qū)⒗^續(xù)下滾，不再回到原來的平衡位置。因此，小球原有的干衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。第三種狀態(tài)，小球在平面上的O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，如圖16-5b所示，當(dāng)用外加干擾力使其偏離原有的平衡位置后，把干擾力去掉后，小球?qū)⒃谛碌奈恢肙再次處于平衡，既沒有恢復(fù)原位的趨勢，也沒有繼續(xù)偏離的趨勢。因此。我們稱小原有的平衡狀態(tài)為隨遇平衡。圖16-5圖16-6通過上述分析可以認(rèn)識到，為了判別原有平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須使研究對象偏離其原有的平衡位置。因此。在研究壓桿穩(wěn)定時(shí)，我們也用一微小橫向干擾力使處于直線平衡狀態(tài)的壓桿偏離原有的位置，如圖16-6a所示。當(dāng)軸向壓力F由小變大的過程中，可以觀察到：1)當(dāng)壓力值F較小時(shí)，給其一橫向干擾力，桿件偏離原來的平衡位置。若去掉橫向1干擾力后，如圖16-6b所示。所以，該桿原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡。2)當(dāng)壓力值F超過其一限度F時(shí)，平衡狀態(tài)的性質(zhì)發(fā)生了質(zhì)變。這時(shí)，只要有一輕微就會繼續(xù)曲，不再恢復(fù)原狀，如圖16-6d所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡。3)界于前二者之間，存在著一種臨界狀態(tài)。當(dāng)壓力值正好等于F時(shí)，一旦去掉橫向干擾力，壓桿將在微彎狀態(tài)下達(dá)到新的平衡，既不恢復(fù)原狀，也再繼續(xù)彎曲，如圖16-6c所示。因此，該桿原有直線平衡狀態(tài)是隨遇平衡，該狀態(tài)又稱為臨界狀態(tài)。臨界狀態(tài)是桿件從穩(wěn)定平衡向不穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化的極限狀態(tài)。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)的軸向壓力稱為臨界力或臨界載荷，用F表示。cr由上述可知，壓桿的原有直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與所受軸向壓力大小有關(guān)。當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿即向失穩(wěn)過渡。所以，對于壓桿穩(wěn)定性的研究，關(guān)鍵在于確定壓桿的臨界力。16.2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力圖16-7a為一兩端為球形鉸支的細(xì)長壓桿，現(xiàn)推導(dǎo)其臨界力公式。圖16-7根據(jù)前節(jié)的討論，軸向壓力到達(dá)臨界力時(shí)，壓桿的直線平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。在微小橫向干擾力解除后，它將在微彎狀態(tài)下保持平衡。因此，可以認(rèn)為能夠保持壓桿在微彎狀態(tài)下平衡的最小軸向壓力，即為臨界力。選取坐標(biāo)系如圖l6-7a所示，假想沿任意截面將壓桿截開，保留部分如圖16-7b所示。由保留部分的平衡得MxFv(a)在式(a)中，軸向壓力F取絕對值。這樣在圖示的坐標(biāo)系中彎矩M與撓度v的符號cr總相反，故式(a)中加了一個(gè)負(fù)號。當(dāng)桿應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)，根據(jù)撓曲線近似微分方程有d2vMxFvcr(b)dx2EIEI由于兩端是球鉸支座，它對端截面在任何方向的轉(zhuǎn)角都沒有限制。因而，桿件的微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最弱的縱向平面，所以上式中的I應(yīng)該是橫截面的最小慣性矩。令Fk2cr(c)EI式（b）可改寫為d2vk2v0(d)dx2此微分方程的通解為vCsinkxCcoskx(e)式中C、C為積分常數(shù)。由壓桿兩端支這一界條件2x0，v0(f)xl，v0(g)將式(f)代入式(e)，得C0，于是vCsinkx(h)1式(g)代入式(h)，有Csinkl0(i)在式(i)中，積分常數(shù)C不v0，這意味著壓桿處于直線平衡狀態(tài)，與事先假設(shè)壓桿于微彎狀態(tài)相矛盾，所以只能有sinkl0(j)由式(j)解得klnn0，1，2，nk＝ (k)l則n22Fk2crl2 EI或Fn22EIn0，1，2，(l)cr l2因?yàn)閚可取0，1，2，…中任一個(gè)整數(shù)，所以式(1)表明，使壓桿保持曲線形態(tài)平衡的壓力，在理論上是多值的。而這些壓力中，使壓桿保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界力。取n=0，沒有意義，只能取n=1。于是得兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力公式2EIF(16-1)cr l2式(16-1)又稱為歐拉公式。在此臨界力作用下，k＝，則式(h)可寫成lxvCsin(m) 1 l可見，兩端鉸支細(xì)長壓桿在臨界力作用下處于微彎狀態(tài)時(shí)的撓曲線是條半波正弦曲l線。將x代入式(m)，可得壓桿跨長中點(diǎn)處撓度，即壓桿的最大撓度2xlvCsinCvxl1l21max2C是任意微小位移值。C之所以沒有一個(gè)確定值，是因?yàn)槭?b)中采用了撓曲線的近1 1似微分方程式。如果采用撓曲線的精確微分方程式，那么C值便可以確定。這時(shí)可得到最大撓度v與壓力F之間的理論關(guān)系，如圖16-8的OB曲線。此曲線表明，當(dāng)壓力小于臨界F時(shí),F與v之間的關(guān)系是直線OA，說明壓桿一直保持直線平衡狀F時(shí)壓桿撓度急劇增加。Ccr 1vvmax圖16-8在以上討論中，假設(shè)壓桿軸線是理想直線，壓力F是軸向壓力，壓桿材料均勻連續(xù)。這是一種理想情況，稱為理想壓桿。但工程實(shí)際中的壓桿并非如此。壓桿的軸線難以避免有一些初彎曲，壓力也無法保證沒有偏心，材料也經(jīng)常有不均勻或存在缺陷的情況。實(shí)際壓桿的這些與理想壓桿不符的因素，就相當(dāng)于作用在桿件上的壓力有一個(gè)微小的偏心距e。試驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)際壓桿的F與v的關(guān)系如圖16-8中的曲線maxOD表示，偏心距愈小，曲線OD愈靠近OAB。16.3不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界力壓桿臨界力公式(16-1)是在兩端鉸支的情況下推導(dǎo)出來的。由推導(dǎo)過程可知，臨界力與約束有關(guān)。約束條件不同，壓桿的臨界力也不相同，即桿端的約束對臨界力有影響。但是，不論桿端具有怎樣的約束條件，都可以仿照兩端鉸支臨界力的推導(dǎo)方法求得其相應(yīng)的臨界力計(jì)算公式，這里不詳細(xì)討論，僅用類比的方法導(dǎo)出幾種常見約束條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。16.3.1一端固定另一端自由細(xì)長壓桿的臨界力圖16-9為—端固定另一端自由的壓桿。當(dāng)壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，它在曲線形式下保持平衡。將撓曲線AB對稱于固定端A向下延長，如圖中假想線所示。延長后撓曲線是一條半波正弦曲線，與本章第二節(jié)中兩端鉸支細(xì)長壓桿的撓曲線一樣。所以，對于—端固定另一端自由且長為l的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為2l的壓桿的臨界力，即2EIFcr2l2圖16-9圖16-10圖16-1116.3.2兩端固定細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線如圖16-10所示。該曲線的兩個(gè)拐點(diǎn)C和D分別 l l在距上、下端為處。居于中間的長度，撓曲續(xù)是半波正弦曲線。所以，對于兩端42l固定且長為l的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為的壓桿的臨界力，即22EIFcrl2216.3.3一端固定另一端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力在這種桿端約束條件下，撓曲線形狀如圖16-11所示。在距鉸支端B為0.7l處，該曲線有一個(gè)拐點(diǎn)C。因此，在0.7l長度，撓曲線是一條半波正弦曲線。所以，對于一端固定另一端鉸支且長為l的壓桿，其臨界力等于兩端鉸支長為0.7l的壓桿的臨界力，即2EIFcr0.7l2綜上所述，只要引入相當(dāng)長度的概念，將壓桿的實(shí)際長度轉(zhuǎn)化為相當(dāng)長度，便可將任何桿端約束條件的臨界力統(tǒng)一寫2EIF(16-2)crl2稱為歐拉公式的一般形式。由式(16-2)可見，桿端約束對臨界力的影響表現(xiàn)在系數(shù)上。稱為長度系數(shù)，l為壓桿的相當(dāng)長度，表示把長為l的壓桿折算成兩端鉸支壓桿后的長度。幾種常見約束情況下的長度系數(shù)列入表16-1中。表16-1壓桿的長度系數(shù)壓桿的約束條件壓桿的約束條件長度系數(shù)兩端鉸支一端固定，另一端自由兩端固定一端固定，另一端鉸支=1=2=1/2≈0.7表16-1中所列的只是幾種典型情況，實(shí)際問題中壓桿的約束情況可能更復(fù)雜，對于這些復(fù)雜約束的長度系數(shù)可以從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊中查得。16.4歐拉公式的適用圍經(jīng)驗(yàn)公式16.4.1臨界應(yīng)力和柔度將式(16-2)的兩端同時(shí)除以壓桿橫截面面積A，得到的應(yīng)力稱為壓桿的臨界應(yīng)力，crF2EIcr(a)crAl2A引入截面的慣性半徑iIi2(16-3)A將上式代入式(a)，得2Ecrl2i若令l(16-4)i則有2E(16-5)cr2l式(16-5)就是計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的公式，是歐拉公式的另一表達(dá)形式。式中，i稱為壓桿的柔度或長細(xì)比，它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力的影響。從式(16-5)可以看出，壓桿的臨界應(yīng)力與柔度的平方成反比，柔度越大，則壓桿的臨界應(yīng)力越低，壓桿越容易失穩(wěn)。因此，在壓桿穩(wěn)定問題中，柔度是一個(gè)很重要的參數(shù)。16.4.2歐拉公式的適用圍d2vMx在推導(dǎo)歐拉公式時(shí)，曾使用了彎曲時(shí)撓曲線近似微分方程式，而這個(gè)dx2EI方程是建立在材料服從虎克定律基礎(chǔ)上的。試驗(yàn)已證實(shí)，當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材樹比例極限時(shí)，由歐拉公式得到的理論曲線與試驗(yàn)曲線十分相符，而當(dāng)臨界應(yīng)力超過p p時(shí)，兩條曲線隨著柔度減小相差得越來越大(如圖16-12所示)。這說明歐拉公式只有在臨界應(yīng)力不超過材料比例極限時(shí)才適用，即圖16-12 2EI E或(b)cr2pP若用表示對應(yīng)于臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)的柔度值，則p pE（16-6）pP僅與壓桿材料的彈性模量E和比例極限有關(guān)。例如，對于常用的Q235鋼，E＝p p200GPa，＝200MPa，代入式(16-6)，得p20010999.3200106從以上分析可以看出：當(dāng)時(shí)，，這時(shí)才能應(yīng)用歐拉公式來計(jì)算壓p cr p桿的臨界力或臨界應(yīng)力。滿足的壓桿稱為細(xì)長桿或大柔度桿。p16.4.3中柔度壓桿的臨界應(yīng)力公式在工程中常用的壓桿，其柔度往往小于。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種壓桿喪失承載能p力的原因仍然是失穩(wěn)。但此時(shí)臨界應(yīng)力已大于材料的比例極限，歐拉公式已不cr p適用，這是超過材料比例極限壓桿的穩(wěn)定問題。對于這類失穩(wěn)問題，曾進(jìn)行過許多理論和實(shí)驗(yàn)研究工作，得出理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的技算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式和拋物線公式。1.直線公式把臨界應(yīng)力與壓桿的柔度表示成如下的線性關(guān)系。ab(16-7)cr式中a、b是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù),可以查相關(guān)手冊得到。由式(16-7)可見，臨界應(yīng)力隨著柔度的減小而增大。cr必須指出，直線公式雖然是以的壓桿建立的，但絕不能認(rèn)為凡是的p p壓桿都可以應(yīng)用直線公式。因?yàn)楫?dāng)值很小時(shí)，按直線公式求得的臨界應(yīng)力較高，可能早已超過了材料的屈服強(qiáng)度或抗壓強(qiáng)度，這是桿件強(qiáng)度條件所不允許的。因s b此，只有在臨界應(yīng)力不超過屈服強(qiáng)度(或抗壓強(qiáng)度)時(shí)，直線公式才能適用。cr s b若以塑性材料為例，它的應(yīng)用條件可表示為aab或scrsb若用表示對應(yīng)于時(shí)的柔度值，則s sas(16-8) s b這里，柔度值是直線公式成立時(shí)壓桿柔度的最小值，它僅與材料有關(guān)。對Q235鋼來說，235MPa，a=304MPa，b1.12MPa。將這些數(shù)值代入式(16-8)，得s30423561.6s 1.12當(dāng)壓桿的柔度值滿足條件時(shí)，臨界應(yīng)力用直線公式計(jì)算，這樣的壓桿被s p稱為中柔度桿或中長桿。2.拋物線公式把臨界應(yīng)力與柔度的關(guān)系表示為如下形式crcrs1a2c(16-9)c式中是材料的屈服強(qiáng)度，a是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)，是歐拉公式與拋物線公式s c適用圍的分界柔度，對低碳鋼和低錳鋼E(16-10)c0.57s16.4.4小柔度壓桿當(dāng)壓桿的柔度滿足條件時(shí)，這樣的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿。實(shí)驗(yàn)證明，小柔度桿主要是由于應(yīng)力到材料的屈服強(qiáng)度(或抗壓強(qiáng)度)而發(fā)生破壞，破壞時(shí)很難觀察到失穩(wěn)現(xiàn)象。這說明小柔度桿是由于度不足而的，應(yīng)當(dāng)以材料的屈服強(qiáng)度或抗壓強(qiáng)度作為極限應(yīng)力，這屬于第二章所研究的受壓直桿的強(qiáng)度計(jì)算問題。若形式上也作為穩(wěn)定問題來考慮，則可將材料的屈服強(qiáng)度(或抗壓強(qiáng)度)s b看作臨界應(yīng)力，即cr（或）crsb16.4.5臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿的臨界應(yīng)力隨著壓桿柔度變化情況可用圖16-13的曲線表示，該曲線是采用直線公式的臨界應(yīng)力總圖，總圖說明如下：圖16-131)當(dāng)時(shí)，是細(xì)長桿，存在材料比例極限的穩(wěn)定性問題，臨界應(yīng)力用歐拉公p式計(jì)算。2)當(dāng)（或）<時(shí)，是中長桿，存在超過比例極限的穩(wěn)定問題，臨界應(yīng)力用s b p直線公式計(jì)算。3)當(dāng)（或）時(shí)，是短粗桿，不存在穩(wěn)定性問題，只有強(qiáng)度問題，臨界應(yīng)s b力就是屈服強(qiáng)度或抗壓強(qiáng)度。s b由圖16-13還可以看到，隨著柔度的增大，壓桿的破壞性質(zhì)由強(qiáng)度破壞逐漸向失穩(wěn)破壞轉(zhuǎn)化。由式(16-5)和式(16-9)，可以繪出采用拋物線公式時(shí)的臨界應(yīng)力總圖，如圖16-14所示。圖16-1416.5壓桿穩(wěn)定性計(jì)算從上節(jié)可知，對于不同柔度的壓桿總可以計(jì)算出它的臨界應(yīng)力，將臨界應(yīng)力乘以壓桿橫截面面積，就得到臨界力。值得注意的是，因?yàn)榕R界力是由壓桿整體變形決定的，局部削弱(如開孔、槽等)對桿件整體變形影響很小，所以計(jì)算臨界應(yīng)力或臨界力時(shí)可采用未削弱前的橫截面面積A和慣性矩I。壓桿的臨界力F與壓桿實(shí)際承受的軸向壓力F之比值，為壓桿的工作安全系數(shù)n，cr它應(yīng)該不小于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)n。因此壓桿的穩(wěn)定性條件為stFncrn(16-11) F st由穩(wěn)定性條件便可對壓桿穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算，在工程中主要是穩(wěn)定性校核。通常,nst規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)高，原因是一些難以避免的因素(例如壓桿的初彎曲、材料不均勻、壓力偏心以及支座缺陷等)對壓桿穩(wěn)定性影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過對強(qiáng)度的影響。式(16-11)是用安全系數(shù)形式表示的穩(wěn)定性條件，在工程中還可以用應(yīng)力形式表示穩(wěn)定性條件F(a)A st其中cr(b)stn式中為穩(wěn)定許用應(yīng)力。由于臨界應(yīng)力st隨壓桿的柔度而變，而且對不同柔度的壓桿又定不同的穩(wěn)定安全系數(shù)n，所以是柔度的函數(shù)。在某些結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，常常把材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力st乘以一個(gè)小于st1的系數(shù)作為穩(wěn)定許用應(yīng)力，st即(c)st式中稱為折減系數(shù)。因?yàn)槭侨岫鹊暮瘮?shù)，所以也是的函數(shù)，且總有1。幾種常用材料壓桿的折減系數(shù)于表16-3中，引入折減系數(shù)后，式(a)可寫為F(16-12)A例16-1圖16-15為—用20a工字鋼制成的壓桿，材料為Q235鋼，E=200Mpa，=200MPa，壓桿長度l=5m，F(xiàn)=200kN。若n=2，試校核壓桿的穩(wěn)定性。p st圖16-15解(1)計(jì)算由附錄中的型鋼表查得i2.12cm，i8.51cm，A=35.5cm2。壓桿在i最小的縱向平面抗彎剛度最小，y z柔度最大，臨界應(yīng)力將最小。因而壓桿失穩(wěn)一定發(fā)生在壓桿的縱向平面max l 0.55117.9maxi2.12102y(2)計(jì)算臨界應(yīng)力，校核穩(wěn)定性20010999.3pP200106因?yàn)?，此壓桿屬細(xì)長桿，要用歐拉公式來計(jì)算臨界應(yīng)力max p2E2200103MPa142MPacr2117.92maxA35.5104142106N cr cr 504.1103N504.1kN F 504.1 ncr 2.57n F 200 st所以此壓桿穩(wěn)定。例16-2如圖16-16所示連桿，材料為Q235鋼，其E=200MPa，=200MPa，p235MPa，承受軸向壓力F=110kN。若n=3，試校核連桿的穩(wěn)定性。s st圖16-16解根據(jù)圖16-16中連桿端部約束情況，在xy縱向平面可視為兩端鉸支；在xz平面可視為兩端固定約束。又因壓桿為矩形截面，所以II。 y z根據(jù)上面的分析，首先應(yīng)分別算出桿件在兩個(gè)平面的柔度，以判斷此桿將在哪個(gè)平面失穩(wěn)，然后再根據(jù)柔度值選用相應(yīng)的公式來計(jì)算臨界力。(1)計(jì)算在xy縱向平面，1，z軸為中性軸326332632hAIzl19454.3zi1.732z在xz縱向平面，0.5，y軸為中性軸325.325.232bAIyl0.59062.3yi0.722y，62.3。連桿若失穩(wěn)必發(fā)生在xz縱向平面。y z max y(2)計(jì)算臨界力，校核穩(wěn)定性 E 200109 99.3p200106P,該連桿不屬細(xì)長桿，不能用歐拉公式計(jì)算其臨界力。這里采用直線公式，max p查表16-2，Q235鋼的a304MPa,b1.12MPaa304235s61.6sb1.12，屬中等桿，因此s max pab3041.1262.3MPa234.2MPacr maxFA62.5104234.2103kN351.3kN cr crnFcr351.33.2nstF110st該連桿穩(wěn)定。例16-3螺旋千斤頂如圖16-17所示。起重絲杠徑d5.2cm，最大長度l50cm。材料為Q235鋼，E=200GPa，240MPa，千斤頂起重量F=100kN。若n＝3.5，試s st校核絲杠的穩(wěn)定性。圖16-17解(1)計(jì)算絲杠可簡化為下端固定，上端自由的壓桿Id464d i Ad44 4l4l425077id5.2(2)計(jì)算F，校核穩(wěn)定性cr200109120c0.57s0.57240106，采用拋物線公式計(jì)算臨界應(yīng)力ccr sc1a224010.43120772MPa197.5MPa5.22104A197.5103kN419.5kNcr cr 4nFcr419.54.2nstF100st千斤頂?shù)慕z杠穩(wěn)定。例16-4某液壓缸活塞桿承受軸向壓力作用。已知活塞直徑D65mm，油壓p1.2MPa。活塞桿長度l1250mm，兩端視為鉸支，材料為碳鋼，220MPa，pE=210GPa。取n6，試設(shè)計(jì)活塞直徑d。st解計(jì)算F活21.2106N3982NFD2p65103 4 4活塞桿工作時(shí)不失穩(wěn)所應(yīng)具有的臨界力值為FnF63982N23892Ncr st設(shè)計(jì)活塞桿直徑因?yàn)橹睆轿粗?，無法求出活塞桿的柔度，不能判定用怎樣的公式計(jì)算臨界力。為此，在計(jì)算時(shí)可先按歐拉公式計(jì)算活塞桿直徑，然后再檢查是否滿足歐拉公式的條件d42EF2EI 6423892Ncrl2 l2464238921.252dm0.0246m3210109可取d25mm，然后檢查是否滿足歐拉公式的條件l4l41250200id25 E 21010997p220106p由于，所以用歐拉公式計(jì)算是正確的。p例16-5簡易吊車搖臂如圖16-18所示，兩端鉸接的AB桿由鋼管制成，材料為Q235鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力140MPa，試校核AB桿的穩(wěn)定性。圖16-18解(1)求AB桿所受軸向壓力，由平衡方程M0，F(xiàn)1500sin302000F0c Q得F53.3KN(2)計(jì)算14122AI i Dd5024122AI415001 l cos30108i 16(3)校核穩(wěn)定性據(jù)108，查表16-3得折減系數(shù)0.55,穩(wěn)定許用應(yīng)力0.55140MPa77MPastAB桿工作應(yīng)力 F 53.3103MPa75.4MPaA5024021064,所以AB桿穩(wěn)定。例6－6由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定，另一端鉸支壓桿的歐拉公式。解一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)后，計(jì)算簡圖如圖16-19所示。為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力F。于是撓曲線的微分方程為圖16－19 d2vM(x) FvFcr(lx)dx2EIEIEIF設(shè)k2cr，則上式可寫為EI d2v Fk2v(lx)dx2 EI以上微分方程的通解為FvAsinkxBcoskx(lx)Fcr由此求出v的一階導(dǎo)數(shù)為 dv FAkcoskxBksinkxdx FcrFFFcrdvx0時(shí)，v0,0dxxl時(shí)，v0dv把以上邊界條件代入v及 中，可得dxFBl0FcrF Ak 0 FcrAsinklBcoskl0 F F 這是關(guān)于A,B和 的齊次線性方程組。因?yàn)锳,B和 不能都為零，所以其F Fcr cr系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即 0 1 lk010sinklcoskl0展開得tgklkl上式超越方程可用圖解法求解。以kl為橫坐標(biāo)，作直線ykl和曲線ytgkl（圖16－20），其第一個(gè)交點(diǎn)得橫坐標(biāo)Kl＝4.49顯然是滿足超越方程得最小根。由此求得圖16－2020.16EI2EIFk2EIcrl2(0.7l)216.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施通過以上討論可知，影響壓桿穩(wěn)定性的因素有：壓桿的截面形狀，壓桿的長度、約束條件和材料的性質(zhì)等。因而，當(dāng)討論如何提高壓桿的穩(wěn)定件時(shí)，也應(yīng)從這幾方面入手。1．選擇合理截面形狀從歐拉公式可知，截面的慣性I越大，臨界力F越高。從經(jīng)驗(yàn)公式可知。柔度cr l i的數(shù)值就能減小的數(shù)值。越小，臨界應(yīng)力越高。由于，所以提高慣性半徑i可見，在不增加壓桿橫截面面積的前提下，應(yīng)盡可能把材料放在離截面形心較遠(yuǎn)處，以取得較大的I和i，提高臨界壓力。例如空心圓環(huán)截面要比實(shí)心圓截面合理如果壓桿在過其主軸的兩個(gè)縱向平面約束條件相同或相差不大，那么應(yīng)采用圓形或正多邊形截面；若約束不同，應(yīng)采用對兩個(gè)主形心軸慣性半徑不等的截面形狀，例如矩形截面或工字形截面，以使壓桿在兩個(gè)縱向平面有相近的柔度值。這樣，在兩個(gè)相互垂直的主慣性縱向平面有接近相同的穩(wěn)定性。2．盡量減小壓桿長度由式(16-4)可知，壓桿的柔度與壓桿的長度成正比。在結(jié)構(gòu)允許的情況下，應(yīng)盡可能減小壓桿的長度；甚至可改變結(jié)構(gòu)布局，將壓桿改為拉桿(如圖16-21a所示的托架改成圖16-21b的形式)等等。圖16-213．改善約束條件從本章第三節(jié)的討論看出，改變壓桿的支座條件直接影響臨界力的大小。例如長2EI為l兩端鉸支的壓桿，其1，F(xiàn)。若在這一壓桿的中點(diǎn)增加一個(gè)中間支座cr l2l或者把兩端改為固定端(圖16-22)。則相當(dāng)長度變?yōu)閘，臨界力變?yōu)?2EI42EIFcrl2 l22圖16-22可見臨界力變?yōu)樵瓉淼乃谋?。一般說增加壓桿的約束，使其更不容易發(fā)生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。4．合理選擇材料由歐拉公式(16-5)可知，臨界應(yīng)力與材料的彈性模量E有關(guān)。然而，由于各種鋼材的彈性模量E大致相等，所以對于細(xì)長桿，選用優(yōu)質(zhì)鋼材或低碳鋼并無很大差別。對于中等桿,無論是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式或理論分析，都說明臨界應(yīng)力與材料的強(qiáng)度有關(guān)，優(yōu)質(zhì)鋼材在—定程度上可以提高臨界應(yīng)力的數(shù)值。至于短粗桿，本來就是強(qiáng)度問題，選擇優(yōu)質(zhì)鋼材自然可以提高其強(qiáng)度。習(xí)題16-1圖示各根壓桿的材料及直徑均相同，試判斷哪一根最容易失穩(wěn)，哪一根最不容易失穩(wěn)。題16-1圖16-2圖示壓桿的材料為Q235鋼，在圖a平面彎曲時(shí)兩端為鉸支，在圖b平面彎曲時(shí)兩端為固定，試求其臨界力。題16-2圖16-3圖中所示為某型飛機(jī)起落架中承受軸向壓力的斜撐桿。桿為空心圓管，外徑D=52mm徑d=44mm，l950mm。材料為30CrMnSiNi2A，1600MPa,b1200MPa,E=210GPa。試求斜撐桿的臨界壓力F和臨界應(yīng)力。p cr cr題16-3圖16-4三根圓截面壓桿，直徑均為d=160mm，材料為Q235鋼，E=200GPa，235MPa。兩端均為鉸支，長度分別l、l和l，且l2l4l5m，試求各桿s 123123的臨界壓力F。16-5無鋼管廠的穿孔頂桿如圖所示。桿端承受壓力。桿長l4.5m，橫截面直徑d=15cm。材料為低合金鋼，E=210GPa。兩端可簡化為鉸支座，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為n3.3。試求頂桿的許可載荷。st題16-5圖題16-6圖16-6由三根鋼管構(gòu)成的支架如圖所示。鋼管的外徑為30mm，徑為22mm，長度l2.5m，E=210GPa。在支架的頂點(diǎn)三桿鉸接。若取穩(wěn)定安全系數(shù)n3，試求許可st載荷F。