光線光學(xué)演示文稿

光線光學(xué)演示文稿當(dāng)前1頁，總共40頁。（優(yōu)選）第一講光線光學(xué)當(dāng)前2頁，總共40頁。1、反射定律根據(jù)這一原理，馬上可知在均勻媒質(zhì)中，光線是直線，即光的直線傳播定律。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)的理論基礎(chǔ)，從它可以導(dǎo)出幾何光學(xué)的全部定律。例如：

作AC⊥M，AC＝CD，P是BD線與平面鏡面的交點(diǎn)。所以P點(diǎn)位于平面ACDB內(nèi)。根據(jù)費(fèi)馬定理，APB＜AQB，實(shí)際光線APB是極小值，因此DPB是一條直線，AP＝PD。當(dāng)前3頁，總共40頁。2、折射定律（斯涅耳定律）這個(gè)定律是于1621年由W.Snell從實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)的，又：故光程為極小值。當(dāng)反射或折射面不是平面而是曲面時(shí)，反射定律和折射定律同樣成立。當(dāng)前4頁，總共40頁。3、物像之間的等光程性——光程取恒定值4、凹球面鏡反射——光程取極大值設(shè)A、B為橢球面的兩個(gè)焦點(diǎn)，球面在橢球面內(nèi)部，并相切于P點(diǎn)，光線為APB（滿足反射定律），易證APB＝ARB＞AQB，故光線比相鄰的路程要大，即光程取極大值。當(dāng)前5頁，總共40頁。費(fèi)馬原理與哈密頓原理都是變分原理，形式上相似。本章將根據(jù)費(fèi)馬原理推得描述光線傳播路徑的方程，并且把分析力學(xué)中的一套研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方法搬到光學(xué)中來，這種方法稱為哈密頓光學(xué)。哈密頓光學(xué)適用研究光在折射率分布（非均勻）的媒質(zhì)中的傳播。

經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓原理為（參考《理論力學(xué)教程》周衍柏P.309）：其中L為拉格朗日函數(shù)，L＝T-V是力學(xué)體系的動(dòng)能與勢能之差。從哈密頓原理可推出拉格朗日方程：§1-2哈密頓光學(xué)一、光線微分方程當(dāng)前6頁，總共40頁。其中——廣義坐標(biāo)，其中——廣義坐標(biāo)。由費(fèi)馬原理：

光學(xué)拉格朗日函數(shù)定義為：

于是（）式可寫為：

稱為光學(xué)哈密頓原理。

當(dāng)前7頁，總共40頁。光學(xué)拉格朗日方程為：

把（）式代入，得：

同理：

光線方程當(dāng)前8頁，總共40頁。在近軸情況下：

，光線方程變?yōu)椋豪霉饩€方程可以求出各種介質(zhì)中光線的性質(zhì)。舉例如下：（近軸光線方程）此時(shí)n為常數(shù)，

，代入（1.2.10）式，得到：上式是直線方程，因此在均勻媒質(zhì)中，光線的形狀是直線。設(shè)折射率分布為，與z無關(guān)。利用近軸光線方程，有：1、均勻介質(zhì)2、自聚焦介質(zhì)當(dāng)前9頁，總共40頁。把折射率分布代入，有

，解之，得：類似地，有：系數(shù)

由初始條件（入射點(diǎn)和入射方向）決定。如入射點(diǎn)在，方向角為時(shí)，光線是周期為的子午光線，光線被限定在平面內(nèi)。入射點(diǎn)和方向角取適當(dāng)值時(shí)，光線以螺旋形式傳播，它距軸為恒定距離。當(dāng)前10頁，總共40頁。∴光線方程可寫為：為光線切線方向的單位矢量。對(duì)具有徑向?qū)ΨQ的媒質(zhì)，沿著方向。于是：3、球面對(duì)稱介質(zhì)當(dāng)前11頁，總共40頁。這意味著所有光線都是平面曲線，所在平面皆通過原點(diǎn)O，并且沿每條光線也即nd=常數(shù)——布給（Bouguer）公式。它與質(zhì)點(diǎn)在中心力場中運(yùn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒形式類似。由幾何關(guān)系有（見《光學(xué)原理》上冊(cè)P.167）：代入（）式，有：當(dāng)前12頁，總共40頁。4、麥克斯韋魚眼把n(r)代入(1.2.20)式中，并令:其中是常數(shù)，折射率只是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)。從某一物點(diǎn)發(fā)出的所有光線匯交在同一象點(diǎn)上。證明如下：其中c為（）式中的常數(shù)，可得：積分得：當(dāng)前13頁，總共40頁。其中a為積分常數(shù)，即：上式為麥克斯韋魚眼中的光線方程。通過的曲線簇為:從上式可以看出，這些曲線都通過點(diǎn)，其中，所以來自一個(gè)任意點(diǎn)的所有光線，均相交于點(diǎn)到O連線上的點(diǎn)：和分別在O的兩邊，并且。當(dāng)前14頁，總共40頁。因此，魚眼是一種理想成像，也稱絕對(duì)儀器。又和兩點(diǎn)是滿足光線方程（1.2.24）的，因此每一條光線與固定圓相交于一直徑的兩端A，B（對(duì)不同的光線A，B點(diǎn)不同）。把極坐標(biāo)變換到笛卡爾坐標(biāo)中：（）式可化為：式是：（）式表示魚眼中每一條光線都是一個(gè)圓。從魚眼中的光線可以看出，光線彎向折射率高的一邊，對(duì)一般情況也可證明（《光學(xué)原理》P.168）當(dāng)前15頁，總共40頁。在分析力學(xué)中，除了用拉格朗日方程來描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律外，還有哈密頓正則方程。其形式簡單而對(duì)稱，更加抽象、概括，而且易于向量子力學(xué)過渡。類似地光線光學(xué)中除了光學(xué)拉格朗日方程外，也可推得光學(xué)哈密頓正則方程，形式簡單而對(duì)稱，更加抽象概括，易于向波動(dòng)光學(xué)過渡。

二、哈密頓正則方程當(dāng)前16頁，總共40頁。其中拉氏函數(shù)定義光學(xué)廣義動(dòng)量:其中是光線在點(diǎn)沿方向的方向余弦，稱為光方向余弦。當(dāng)前17頁，總共40頁。定義光學(xué)哈密頓函數(shù):根據(jù)拉氏方程，及廣義動(dòng)量的定義有：作變量代換，光學(xué)拉格朗日函數(shù)的微分為：當(dāng)前18頁，總共40頁。對(duì)比（）和（）有：∴H為的函數(shù):（）式稱為哈密頓正則方程。給定哈密頓函數(shù)H，便可計(jì)算光路。為了便于寫出H，一般用折射率及光學(xué)方向余弦（廣義動(dòng)量）來表示。當(dāng)前19頁，總共40頁。這就是相對(duì)論光學(xué)哈密頓函數(shù)的表達(dá)式。在力學(xué)中對(duì)穩(wěn)定約束系統(tǒng)H等于力學(xué)體系的總動(dòng)量。三、哈密頓正則方程在近軸光學(xué)中的應(yīng)用對(duì)于旋轉(zhuǎn)對(duì)稱系統(tǒng)，設(shè)：則：把H作泰勒展開，得：當(dāng)前20頁，總共40頁。在近軸近似下，H取到u,v的一次方項(xiàng)（高階項(xiàng)對(duì)應(yīng)于象差），由哈密頓正則方程，有：其中：其中：當(dāng)前21頁，總共40頁。例1：單折射球面球面方程：當(dāng)前22頁，總共40頁。例2：薄透鏡四、程函方程對(duì)于薄透鏡可得：程函（eikonal）是一個(gè)十分重要的物理量。標(biāo)量波動(dòng)方程為：其中表示電場的某一分量，。設(shè)（）的解為：其中是x,y,z的緩變實(shí)函數(shù)，把（）式代入（）式，得：從實(shí)部得：當(dāng)前23頁，總共40頁。在的條件下（或是x,y,z的緩變函數(shù)，），有：(1.2.46)式稱為程函方程，它是幾何光學(xué)的基本方程。其中L為程函，表示波前（波陣面），即等位相曲面。例：從程函方程導(dǎo)出光線方程定義：光線——幾何波陣面L＝常數(shù)的正交軌線。由程函方程：當(dāng)前24頁，總共40頁。在上面的推導(dǎo)中用到了程函方程和微分關(guān)系：當(dāng)前25頁，總共40頁。波動(dòng)光學(xué)的基本方程

其中：n——介質(zhì)的折射率，c——真空中的光速

——光波的電場分量§1-3幾何光學(xué)與波動(dòng)光學(xué)的過渡一、波動(dòng)光學(xué)過渡到幾何光學(xué)設(shè)上述波動(dòng)方程解的形式為：其中：——振幅，——程函，當(dāng)前26頁，總共40頁。代入波動(dòng)方程得：如果波長很小，則在波長的數(shù)量級(jí)內(nèi)，折射率平緩變化，因而振幅因子中的也平緩變化。所以當(dāng)時(shí)，（1.6.7）化為:當(dāng)前27頁，總共40頁。

S=常數(shù)的曲面叫做波面，其正交曲線就是幾何光學(xué)中的“光線”，光線的方向余弦應(yīng)為，即。在均勻媒質(zhì)內(nèi)，n為常數(shù)，，意指波面的形狀不變，光線沿直線傳播。當(dāng)前28頁，總共40頁。在非均勻媒質(zhì)內(nèi)，與位置有關(guān)，波面形狀要發(fā)生變化，而光線沿波面法向傳播，光線必然彎曲。由程函方程可推得光線方程：由波動(dòng)光學(xué)的波動(dòng)方程出發(fā)，在的近似條件下可得到幾何光學(xué)的程函方程，進(jìn)而可推得光線方程，可見幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在的極限情形。二、幾何光學(xué)到波動(dòng)光學(xué)波動(dòng)光學(xué)幾何光學(xué)波動(dòng)力學(xué)（量子力學(xué)）經(jīng)典光學(xué)當(dāng)前29頁，總共40頁。經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量量子力學(xué)中要用算符表示動(dòng)量算符哈密頓算符薛定諤方程即：是波函數(shù)，德布羅意波波長當(dāng)前30頁，總共40頁。幾何光學(xué)中，與經(jīng)典力學(xué)中動(dòng)量對(duì)應(yīng)的是廣義動(dòng)量，或稱光方向余弦。類比于量子力學(xué)的動(dòng)量算符表示，把光方向余弦用算符表示：取光線傳輸方向z為“時(shí)間”參量，有：光學(xué)哈密頓函數(shù)算符化：當(dāng)前31頁，總共40頁。由對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以直接寫出類似的光學(xué)薛定諤方程：由此式出發(fā)可推出波動(dòng)光學(xué)的基本方程——波動(dòng)方程。用光學(xué)哈密頓算符作用于上式，得：即：把代入上式，得：當(dāng)前32頁，總共40頁。三、光線量子力學(xué)理論1、光場流線結(jié)構(gòu)模型不含時(shí)間的波動(dòng)方程：對(duì)比以上二式，可見：可見g的作用的確類似于量子力學(xué)中的。當(dāng)波動(dòng)光學(xué)的，也即時(shí)，就過渡到幾何光學(xué)。光纖通訊、集成光學(xué)—→光線量子化理論，適用于限制在有限厚介質(zhì)薄膜中定向運(yùn)動(dòng)的光場量子化。當(dāng)前33頁，總共40頁。在介質(zhì)薄層內(nèi)傳輸?shù)墓鈭鍪怯梢皇貍鬏敺较虻臒o窮多幾何流線構(gòu)成。這束光流線具有波線雙重屬性。（1）在光傳輸方向上的橫截面上，流線的密度由光場強(qiáng)度確定；（2）光流線的線跡遵守幾何光學(xué)的費(fèi)馬原理；（3）光流線的結(jié)構(gòu)模型既不否定光的波動(dòng)性，也不否定光的粒子性，而且具有雙重性的本質(zhì)。用光流線模型研究光在致密介質(zhì)中的傳輸特性可以不必過分地追究細(xì)微的光子量子，也不必過分地追究分解元波，只用二個(gè)獨(dú)立的空間位移坐標(biāo)（x,y）和三個(gè)角度參量（流線與傳輸方向夾角）來描述流線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)前34頁，總共40頁。2、光線力學(xué)的原理從幾何光學(xué)的基本原理出發(fā)，對(duì)光場作出力學(xué)理論的描述稱為光線力學(xué)，實(shí)際上為哈密頓光學(xué)。費(fèi)馬原理：拉氏函數(shù)廣義動(dòng)量光線哈密頓函數(shù)取傍軸近似，在近軸情況光學(xué)哈密頓將向非相對(duì)論的情況過渡，對(duì)（1.6.25）式作級(jí)數(shù)展開，取一級(jí)近似，可得：當(dāng)前35頁，總共40頁。對(duì)比經(jīng)典力學(xué)其中是常數(shù)，它與n的關(guān)系為：傍軸光線近似非相對(duì)論力學(xué)非傍軸光線力學(xué)相對(duì)論經(jīng)典力學(xué)折射率n相當(dāng)于勢阱“光線折射率勢阱”當(dāng)前36頁，總共40頁。3、光線量子力學(xué)的基本原理在光線力學(xué)的基礎(chǔ)上，接量子力學(xué)的一般原則，對(duì)力學(xué)量量子化，可以得到光線量子力學(xué)的基本問題。引進(jìn)光線量子常數(shù)取光線傳輸方向Z為“時(shí)間”參量，對(duì)力學(xué)量算符簡化，有：（1）坐標(biāo)（2）動(dòng)量（3）哈密頓量（4）非相對(duì)論哈密頓算符當(dāng)前37頁，總共40頁。由算符的等價(jià)性，得：即：光線相對(duì)論量子力學(xué)方程，也稱K-G方程。標(biāo)量波動(dòng)方程光線量子力學(xué)中的光線流：具有波粒二象性的流線。表示在ds面元上光線流的幾率密度。當(dāng)前38頁，總共40頁。近軸光線量子力學(xué)方程——非相對(duì)論量子力學(xué)方程取平面波為試探光流線分布函數(shù)相對(duì)論量子力學(xué)