知識(shí)講解離散型隨機(jī)變量及其分布列理提高110

離散型隨機(jī)變量及其分布列編稿：趙雷審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.了解離散型隨機(jī)變量的概念..理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念..掌握離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)基本性質(zhì)，并會(huì)用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題..理解兩個(gè)特殊的分布列：“兩點(diǎn)分布”和“超幾何分布”。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量.“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：a.試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行.B.試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè).c.每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見(jiàn)，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)..隨機(jī)變量的定義一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.通常用大寫拉丁字母x,y,z(或小寫希臘字母奉n，Z)等表示。要點(diǎn)詮釋：(1)所謂隨機(jī)變量，即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來(lái)的，但又是客觀存在的。例如，任意擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上這兩種結(jié)果，雖然這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來(lái)表示它，比如，我們用?來(lái)表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的次數(shù)，則40,表示試驗(yàn)結(jié)果為反面向上，41,表示試驗(yàn)結(jié)果為正面向上。(2)隨機(jī)變量實(shí)質(zhì)是將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。.離散型隨機(jī)變量的定義如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的例子很多.例如某人射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0,1,…，10；某網(wǎng)頁(yè)在24小時(shí)內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y也是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的所有可能取值為0,1,2，…..隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量有以下兩種：(1)離散型隨機(jī)變量：(2)連續(xù)型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量可以取其一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.要點(diǎn)詮釋：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別：離散型隨機(jī)變量，它所可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè)，或者說(shuō)能將它的可能取值按一定次序一一列出.連續(xù)性隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，我們無(wú)法將其中的值一一列舉.例如，拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)就是一個(gè)離散型隨機(jī)變量；某人早晨在出租車站等出租車的時(shí)間(單位：秒)就不是一個(gè)離散型隨機(jī)變量.5.若自是隨機(jī)變量，封=〃己+b，其中a,b是常數(shù)，則”也是隨機(jī)變量，并且不改變其屬性(離散型、連續(xù)型)。要點(diǎn)二、離散性隨機(jī)變量的分布列.分布列定義:設(shè)離散型隨機(jī)變量占所有可能取得的值為x1,x2，…,x3,…xn,若占取每一個(gè)值Xj（i=1,2,…，n）的概率為x1x2xi*口PP1P2PiPn為隨機(jī)變量自的概率分布，簡(jiǎn)稱己的分布列.要點(diǎn)詮釋：離散型隨機(jī)變量的分布列，不僅清楚地反映離散型隨機(jī)變量所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一個(gè)值的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布狀況，是進(jìn)一步研究離散型隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)量特征的基礎(chǔ)。.分布列的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）Pi>0,i=1,2，…，n；（2）P#P2+…+Pn=1要點(diǎn)詮釋：.離散型隨機(jī)變量分布列的兩條性質(zhì)是檢驗(yàn)?zāi)呈录母怕驶蛘咭粋€(gè)分布列是否正確的重要依據(jù)。.特別提醒：對(duì)于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和即P&2x）=P&=x）PP&=xkJ+….離散型隨機(jī)變量函數(shù)及其分布列一般地，若［是隨機(jī)變量，f（x）是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則f?）也是隨機(jī)變量，也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量。已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量函數(shù)"=f也）的分布列：①］與n一—對(duì)應(yīng)時(shí)，1的每個(gè)取值的概率就對(duì)應(yīng)著n的每個(gè)取值的概率；如果1有多個(gè)取值對(duì)應(yīng)一個(gè)n的值，那么這個(gè)n值的概率就是這多個(gè)呂值的概率的和。要點(diǎn)詮釋：已知離散型隨機(jī)變量的分布列，求離散型隨機(jī)變量函數(shù)！=fe）的分布列，關(guān)鍵是弄清楚呂取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的n所取的值。要點(diǎn)三、離散性隨機(jī)變量的分布列的求法.求隨機(jī)變量的概率分布有以下幾步：（1）要確定隨機(jī)變量己的可能取值有哪些.明確取每個(gè)值所表示的意義；（2）分清概率類型，計(jì)算己取得每一個(gè)值時(shí)的概率（取球、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣）；（3）列表對(duì)應(yīng)，給出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量的概率分布的求解要注意以下幾點(diǎn)：①搞清楚隨機(jī)變量每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的基本隨機(jī)事件；②計(jì)算必須準(zhǔn)確無(wú)誤；③注意運(yùn)用概率分布的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的概率分布是否正確..常見(jiàn)的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題的概率分布，關(guān)鍵是概率的計(jì)算.所用方法主要有化歸法、數(shù)形結(jié)合法、對(duì)應(yīng)法等對(duì)于取球、抽取產(chǎn)品等問(wèn)題，還要注意是放回抽樣還是不放回抽樣(2)對(duì)于有些問(wèn)題，它的隨機(jī)變量的選取與所問(wèn)問(wèn)題的關(guān)系不是很清楚，此時(shí)要仔細(xì)審題，明確題中的含義，恰當(dāng)?shù)剡x取隨機(jī)變量，構(gòu)造模型，進(jìn)行求解.要點(diǎn)四、兩類特殊的分布列.兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量X的分布列是《01P1-PP像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列.要點(diǎn)詮釋：(1)若隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布，則稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱P(X=1)為成功率.(2)兩點(diǎn)分布又稱為0-1分布或伯努利分布(3)兩點(diǎn)分布列的應(yīng)用十分廣泛如抽取的彩票是否中獎(jiǎng)；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別;投籃是否命中等等；都可以用兩點(diǎn)分布列來(lái)研究..超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則則事件｛X二k｝發(fā)生的概CkCn一k率為P(X=k)=mnm,k=0,1,2,…,m,其中m=min｛M,n｝，且n<N,M<N,n,M,NgN*.CnNX01???mPC0Cn-0MCNMN??????CmCn-m-M-NMCnN稱分布列為超幾何分布列.如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布【典型例題】類型一、隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的判斷例1.寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說(shuō)明隨機(jī)變量所取的值和所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)袋中有大小相同的紅球10個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任取1個(gè)球，每次取到的紅球不放回，直到取出的球是白球?yàn)橹顾枰娜∏虼螖?shù)；(2)從標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張，所取卡片上的數(shù)字之和.【思路點(diǎn)撥】要根據(jù)隨機(jī)變量的定義考慮所有情況.【解析】(1)設(shè)所需的取球次數(shù)為x,則x=1,2,3,4,…，10,11,X=i表示前(i—1)次取到紅球，第i次取到白球，這里i=1,2,…，11.(2)設(shè)所取卡片的數(shù)字之和為1，則1可取3,4,…，11,其中:｛^=3｝表示取出標(biāo)有1,2的兩張卡片；屋=4｝表示取出標(biāo)有1,3的兩張卡片；｛^=5｝表示取出標(biāo)有1,4或2,3的兩張卡片；｛^=6｝表示取出標(biāo)有1,5或2,4的兩張卡片；｛^=7｝表示取出標(biāo)有1,6或2,5或3,4的兩張卡片：｛^=8｝表示取出標(biāo)有2,6或3,5的兩張卡片；｛^=9｝表示取出標(biāo)有3,6或4,5的兩張卡片；屋=10｝表示取出標(biāo)有4,6的兩張卡片；屋=11｝表示取出標(biāo)有5,6的兩張卡片.【總結(jié)升華】隨機(jī)變量并不一定要取整數(shù)值，它的取值一般來(lái)源于實(shí)際問(wèn)題，且有特定的含義，因此，可以是R中的任意值.但這并不意味著可以取任何值，它只能取分布列中的值。且隨機(jī)變量取某值時(shí)，其所表示的某一試驗(yàn)發(fā)生的概率必須符合p/p2+p3+…+pn=1.舉一反三：【變式1】拋擲一枚均勻硬幣一次，隨機(jī)變量可為( )A.拋擲硬幣的次數(shù)B.出現(xiàn)正面向上的次數(shù)C.出現(xiàn)正面向上或反面向上的次數(shù)D.出現(xiàn)正面向上與反面向上的次數(shù)之和【答案】B。因?yàn)锳、C、D中所指的量均非變量，根據(jù)隨機(jī)變量定義，故選B.【變式2】在8件產(chǎn)品中，有3件次品，5件正品，從中任取一件，取到次品就停止，抽取次數(shù)為X,則“X=3”表示的試驗(yàn)結(jié)果為?！敬鸢浮壳皟纱尉〉秸罚谌稳〉酱纹??！咀兪?】甲、乙兩隊(duì)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，規(guī)定采用“七局四勝制”用X表示需要比賽的局?jǐn)?shù)，寫出“X=6”時(shí)表示的試驗(yàn)結(jié)果?！敬鸢浮俊癤=6”表示：甲在前5局比賽中勝了3局并勝第6局，或乙在前5局比賽中勝了3局并勝第6局。類型二、求離散型隨機(jī)變量的分布列【高清課堂：離散型隨機(jī)變量及其分布列408405例題3】例2.擲兩顆骰子，設(shè)擲得點(diǎn)數(shù)和為隨機(jī)變量1：(1)求1的分布列；(2)求P(3<€<7)O【思路點(diǎn)撥】要根據(jù)隨機(jī)變量的定義考慮所有情況.【解析】(1)用數(shù)軸表示出擲骰子的所有結(jié)果如圖所示[2.[2.11109871IW9E759S765987654S7654T^765432AM』? 卜卜，654321擲第一次所得點(diǎn)數(shù)0 12 3 4 5 6擲第二次所得熹敷，目的取值為2,3,4,…，10,11,12。1P(5=2)=P(&=12)=—,362 1P(m=3)=P(m=11)=一=一，36183 1P(1=4)=P(1=10)=——=一,36124P化=5)=P(&=10)=—36P(^=6)=P&=8)=5-,36P化=7)=36=6。，目的分布列為:€23456789101112P1361181121953616536-91121181361 1 5 121(2)P(3＜己＜7)=P(W=4)+P化=5)+P(W=6)=-+-+—=m=-。12936363【總結(jié)升華】確定隨機(jī)變量的可能取值和每一個(gè)可能取值的概率是求概率分布列的關(guān)鍵，本題求概率采用的是古典概型中的列舉法舉一反三：【變式】將一顆骰子擲兩次，求兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)X的分布列?！敬鸢浮繉⒁活w骰子連擲兩次共出現(xiàn)6X6=36種等可能基本事件，其最大點(diǎn)數(shù)X可能取的值為1,2,3,4,5,6。設(shè)(x,y)表示第一枚骰子點(diǎn)數(shù)為x,第二枚骰子點(diǎn)數(shù)為y。1當(dāng)X=1時(shí)包含一個(gè)基本事件：(1,1),.，.P(X=1)=—,36TOC\o"1-5"\h\z? 3 1當(dāng)X=2時(shí)包含三個(gè)基本事件：(1,2),(2,1),(2,2),.，.P(X=2)=—=-，3612--、5 -八7 - _、 1  11同理可求P(X=3)=——,P(X=4)=——,P(X=5)=,P(X=6)=:，36 36 4 36.?.X的分布列為X123456P11235611136例3.一袋中裝有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取3只，以1表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量1的分布列【思路點(diǎn)撥】因?yàn)樵诰幪?hào)為1,2,3,4,5的球中，同時(shí)取3只，所以小號(hào)碼可能是1或2或3,即1可以取1,2,3【解析】隨機(jī)變量1的可能取值為1,2,3當(dāng)呂=1時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為1,則其他兩只球只能在編號(hào)為2,3,4,5的四只球中任取兩只，故有P(€=1)=—4=—=—；C31055當(dāng)呂=2時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為2,則其他兩只球只能在編號(hào)為3,4,5的三只球中任取兩只，故有P(€=2)=C2=—；C3105當(dāng)呂=3時(shí)，即取出的三只球中最小號(hào)碼為3,則其他兩只球只能在編號(hào)為4,5的兩只球中任取兩只，故有P(€=3)=C2-=—C3105因此，1的分布列如下表所示:€123P33151010【總結(jié)升華】求隨機(jī)變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計(jì)算，如古典概率、互斥事件的概率，本題中基本事件總數(shù)，即n=C3，取每一個(gè)球的概率都屬古典概率(等可能性事件的概率).舉一反三：【變式】一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半.現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得一1分，試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)1的分布列.【答案】設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n,由題意知綠球個(gè)數(shù)為2n,紅球個(gè)數(shù)為4n,盒中的總數(shù)為7n.p也=-1)=1n7n所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)1的分布列為€10一1P412例4.一批零件中有九個(gè)合格品，三個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中隨機(jī)抽取，取出的是廢品則不放

回，求在第一次取到合格品之前取到廢品數(shù)1的分布列.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)槭遣环呕爻闃?，所以隨機(jī)變量1可以只可能取0,1,2,3?！敬鸢浮坑深}意知］可知0,1,2,3,貝UTOC\o"1-5"\h\zC1 3P("0)二管=4,12C1 C1 9P仁=*Ct.天=44,

12 119—3-?-2-?-9-= ,C1C1C1 220P(自P(自€0123P3991444220220c、 C1 C1 C1 C1 1=3)=-3 2 1 9-= C1 C1 C1 C1 22012 11 10 91的分布列如下:【總結(jié)升華】不放回地抽取，1可能的取值為有限的數(shù)值，然后分別求出相應(yīng)的概率即可.舉一反三：【變式】盒中裝有一打（12個(gè)）乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的（用過(guò)的球即為舊的），從盒中任取3個(gè)使用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)1是一個(gè)隨機(jī)變量，求1的分布列【答案】從盒中任取3個(gè)，這3個(gè)可能全是舊的，2個(gè)舊的1個(gè)新的，1個(gè)舊的2個(gè)新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中舊球個(gè)數(shù)可能是3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，即1可以取3,4,5,6C3 1 C1C227P(€=3)='=—；P(€=4)=CC3=27-TOC\o"1-5"\h\zC3 220 C3 22012 12P(€=5)=3a=27；P?=6)=矍=21C；2 55 C3255所以1的分布列為€3456P1727212202205555類型三、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例5.⑴隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為尸（""）=七TOC\o"1-5"\h\z(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù)，則P[1＜自例5.⑴隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律為尸（""）=七12 2的值為（ ）.

2 3 4 5A.-B.—C.—D.-3 4 5 6(2)設(shè)1是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求q的值。X一101P11—2qq2【思路點(diǎn)撥】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)解題?！窘馕觥竣乓?yàn)閜e=【解析】⑴因?yàn)閜e=")=小(n=1，2、a,aaa a 54)，所以一+—+—+—=1，所以a=一，261220 4因?yàn)槎?二D+■=2)=45，…一:。故選D。6… 2立，解得q=… 2立，解得q=1——?jiǎng)tp的值為(A．C．D．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列滿足①GWpW1,i=1,2,3,…，n。i②p+p+p+…+p=1。所以<0<1—2q<1【總結(jié)升華】離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì):p三0,i=1,2…，n；ipjp?+…+p=1舉一反三：【高清課堂：離散型隨機(jī)變量及其分布列408405例題1】X1234111Pp636【變式1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下:)【答案】C由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，知PG=1)+Pq=2)+P(1=3)+Pq=4)=1,由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，111所以P=1—6—3—6=1由分布列性質(zhì)，有a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=—【變式2】某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)1的分布列如下:€45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)三7”的概率.

【答案】“射擊一次命中環(huán)數(shù)三7”是指互斥事件”=7"，“己=8”，“己=9”，“己=10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有：P(5三7)=P(5=7)+P(5=8)+P(5=9)+P(5=10)=0.88?【變式3］(2015春資陽(yáng)期末)設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為X123■=P工3HL14￡6TOC\o"1-5"\h\z則p(Ix-31=1)=( )7 5 11A.—B.—C.丁D.—12 12 4 6【答案］B 1 11- 1根據(jù)概率分布的定義d號(hào)出：-+m+~+~=Ld^m=,，3 46 4隨機(jī)變量X的概率分布列為I1234P1314416???P(IX-31=1)=P(4)+P(2)=-512類型四、兩類特殊的分布列例6.一個(gè)袋中有形狀、大小完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球?！?,摸出白球1,摸出紅球(1)從中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，即X=《 ，求X的分1,摸出紅球(2)從中任意摸出兩個(gè)球，用“X=0”表示兩個(gè)球全是白球，用“X=1”表示兩個(gè)球不全是白球，笳的分布列?！舅悸伏c(diǎn)撥］(1)從任意摸一球，只有兩種結(jié)果，或是紅球，或不是紅球(即白球)，符合兩點(diǎn)分布。(2)從中任意摸兩個(gè)球，要么“全是白球”，要么“不全是白球”，只有這兩種結(jié)果，故符合兩點(diǎn)分布。［解析］(1)X的分布列如下表：P34(2)X的分布列如下表:X01PC2 1=一C2 76【總結(jié)升華】(1)兩點(diǎn)分布是一種常見(jiàn)的分布，它的特點(diǎn)是：X的取值只有兩種可能;(2)列兩點(diǎn)分布列時(shí)要注意：保證其概率和為1。舉一反三：【變式1】若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P9C2—C3—8C試求常數(shù)C。【答案】由離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)有：-1-2P(X=0)+P(X=1)=1,即9c2—9C+2=0,得C=3或C=§又???pi>0(i=0,1),19C2-C>0 1 3???應(yīng)滿足h-8C>0,解得9&C&8,???C=1。3例7.(2015春金臺(tái)區(qū)期末)某校高二年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用X表示其中男生的人數(shù)，(1)請(qǐng)列出X的分布列；(2)根據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率。19【答案】(1)略(2)42【思路點(diǎn)撥】(1)本題是一個(gè)超幾何分布，用X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0,1,2,3,4。結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和超幾何分布的概率公式，寫出變量的分布列和數(shù)學(xué)期望。(2)選出的4人中至少有3名男生，表示男生有3個(gè)人，或者男生有4人，根據(jù)第一問(wèn)做出的概率值，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果?！窘馕觥?1)依題意得，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，隨機(jī)變量X表示其中男生的人數(shù)，X可能取的值為0,1,2,3,4。CkCk?C4-kP(X=k)=T__—C410???所以X的分布列為:,k=0,1,2,3,4。Xfl134F210436378zl114(2)由分布列可知至少選3名男生，即P(X>3)=P(X=3)+P(X=4)=A+1=19。211442【總結(jié)升華】本題主要是體現(xiàn)了超幾何分布的概念及其在實(shí)際中的應(yīng)用.舉一反三：【變式1】魚(yú)塘中只有80條鯉魚(yú)和20條草魚(yú)，每條魚(yú)被打撈的可能性相同.撈魚(yú)者一網(wǎng)打撈上來(lái)4條魚(yú)，計(jì)算：(1)(2)(4)其中有1條鯉魚(yú)的概率;其中有2條鯉魚(yú)的概率;其中有3條鯉魚(yú)的概率;4條都是鯉魚(yú)的概率；【答案】從100條魚(yú)中打撈上來(lái)4條魚(yú)，有C(1)(2)(4)其中有1條鯉魚(yú)的概率;其中有2條鯉魚(yú)的概率;其中有3條鯉魚(yú)的概率;4條都是鯉魚(yú)的概率；【答案】從100條魚(yú)中打撈上來(lái)4條魚(yú)，有C4中不同的等可能結(jié)果，這是元素的總數(shù).用X表示被打撈的4100條魚(yú)中的鯉魚(yú)數(shù).因?yàn)槊織l魚(yú)被打撈的可能性相同，所以X服從超幾何分布.即X?H(100,80,4).(1)C1C3 P(X=1)=T0^0=0.0233.C4

100(2)-C2C2c“

P(X=2)=8020=0.1531.C4

100(3)八 C3C1 c,八P(X=3)= =0.4191.C4100(4)/八C4C0cP(X=4)=8020=0.4033.C4100【變式2】在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，試求:⑴取到的次品數(shù)X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率.【答案】⑴由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C3，從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為Q嚎卜，那么從100件產(chǎn)品中任取3件,其中恰有k件次品的概率為CkC3-kP(X=k)=595,k=0,1,2,3。C3100所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123C0C3C1C2C2C1C3C0P5 955 955 955 95C3C3C3C3100100100100(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率

P(XN1)=P(X