雙曲線性質(zhì)92條及其證明

11212121a122220'''雙曲線11212121a122220'''PFPF2a2.準(zhǔn)方程3.a21．點(diǎn)處切線平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)在的內(nèi)角1．平eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)F在處內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線上射影點(diǎn)軌跡是實(shí)軸為直徑的圓，除去實(shí)軸的兩個(gè)端1．以焦點(diǎn)弦為徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.．以焦點(diǎn)半徑PF為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外.1．設(shè)為曲線上一點(diǎn)，則eq\o\ac(△,PF)eq\o\ac(△,)的切圓必切于與P在側(cè)的頂點(diǎn).1雙曲線＞＞0兩個(gè)頂點(diǎn)為(Aa與y平行的直線交雙曲線于時(shí)A與Aa2交點(diǎn)的軌跡方程是ab2．若P(,)在曲線（＞＞0），則過的雙曲線的切線程是00220

xy0a2

11．若

(x,y0

在雙曲線

ab2

（＞0外，過Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為P，切點(diǎn)弦PP的直122線方程是

xxy00a2

．AB是雙曲線

ab2

（＞＞）的不平行于對(duì)稱軸且過原點(diǎn)的弦M為的點(diǎn)，則

kOM

22

．若

(,y)00

在雙曲線

a2

（＞＞），則被Po所分的中點(diǎn)弦的方程是

xyy2002b2a2

．若

(,y)00

在雙曲線

a2

（＞＞），則過Po的中點(diǎn)的軌跡方程是

x22xxy022ab

．若PQ是曲線

ab2

（ba＞0上對(duì)中心張直角的弦，則

111(rOPrOQ|)r2ra212

．若雙曲線

a2

（a＞中張直角的弦L所在直線方程為

By(AB

11Aab2

2

2

;(2)

24A2A2

雙曲線C1

xb（＞＞b2

2x22

2222

)

2

則i)對(duì)C上任意給定的點(diǎn)1

(xy)00

它的任一直角弦必須經(jīng)過

2

上一定點(diǎn)M

(

22

222xy)20a

(ii)對(duì)上任一點(diǎn)2

(0

,y0

)在C上在唯一的點(diǎn)使的一直角弦都經(jīng)過P點(diǎn).1．設(shè)

(xy0

為雙曲線

a2

（＞0,b＞）上一點(diǎn)P為線C的動(dòng)弦且斜存在，記為k,,則1212直線P通過定點(diǎn)1

M(,)(m1)0

的充要條件是

k12

ba

22

過曲線

（＞0,b＞o上任一點(diǎn)ab2

(xy)0

任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,C兩點(diǎn)則直線BC有定向且

kBC

00

（常數(shù)）.．雙曲線

ab2

（＞＞o）的左右焦點(diǎn)分別為F，為曲線上任意一點(diǎn)1

1

，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為

S

PF

2

，

(

a2c22cot)c2

1122xybx220min1122xybx220min若為曲線

＞0,b＞0或支上除頂點(diǎn)外的任一,F,是焦點(diǎn),ab2

PFF12

PF21

，則

cccot（tancotc22c2

）.．雙曲線

ab2

（＞0,b）的焦半徑公式：

(,0)1

(c2當(dāng)當(dāng)

(xy0(xy0

在右支上時(shí)，在左支上時(shí)，

|MF|,MF|ex102||,||120

．若雙曲線

ab2

（＞＞）的左、右焦點(diǎn)分別為F，準(zhǔn)線為L則當(dāng)＜≤1

2

時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P，得PF是到應(yīng)準(zhǔn)線距離與PF的例中112為雙曲線＞0,b＞任一點(diǎn),F為焦點(diǎn)為曲線左支內(nèi)一定點(diǎn)a2

|AFPA|PF2

當(dāng)且僅當(dāng)

A,,P2

三點(diǎn)共線且

P

在左支時(shí)，等號(hào)成立.．曲

ab2

（a＞＞0）上存在兩于線l：

y(x)0

對(duì)稱的充要條件是x0

2

(a)2a2k

k且k

ab

．過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂．過雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂．是曲線

xsecytan

（＞，＞）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是

2

11tan

2

．設(shè)為曲線

a2b

（＞＞，

k

）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線

相于,Q則a2

．在雙曲線

a2

中，定長為2m

）的弦中點(diǎn)軌跡方程為2ay1tt,cotht,x時(shí)t弦兩端點(diǎn)在兩支上a2上為曲線

＞＞0通徑長線段L的端點(diǎn)在曲線右支上移動(dòng)|AB|=ab2

l

x,y)00是AB中點(diǎn)，則當(dāng)

l時(shí)有()0

2lc

c2

cae當(dāng)l時(shí)，有(x)a

4b

2

2

．雙曲線

ab2

（＞0,b）與直線

By0

有公共點(diǎn)的充要條件是

22b2

．雙曲線

()2(y)2002b

（＞0,b＞0）與直線

By

有公共點(diǎn)的充要條件是

2

2

2

2

00

2

．設(shè)雙曲線

a2

（＞＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、F（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意點(diǎn)，F(xiàn)中記12PFFFP12212

，則有

ca

．經(jīng)過雙曲線

ab2

（＞0,b＞）實(shí)軸的兩端A和A的線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P和，則1PA||112

2

22222222雙曲線

＞標(biāo)原點(diǎn)雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)a2

1）OP|22b2

;（2|OP|+|OQ|

4a22b2的最小值為;（3）的小值是.b22b22是過雙曲線

ab2

（＞0,b）焦點(diǎn)的任一交于兩，若是過雙曲線中心且行于的弦，則

||2a|MN

．MN是過曲線

ab2

（＞＞）點(diǎn)的任一弦(于同支，過雙曲線中心O的弦MN，則111|MN||2

．設(shè)雙曲線

ab2

（＞＞）,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M引一條直與雙曲線相交于P、Q兩，則直線AP、AQ(AA為頂點(diǎn))的交點(diǎn)N在線l：x12,2

a2

上．設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)直線與雙曲線相交、Q點(diǎn)，A為曲線長軸上一個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)AP和AQ分交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的曲線準(zhǔn)線于、N兩，則MFNF.．過雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q,A、為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)AP和AQ交點(diǎn)M，AP和112AQ交于點(diǎn)N，MFNF.1b．設(shè)雙曲線方程,斜率為k(k的行弦的中點(diǎn)必在直線lykx的軛直線y上而且kka22．設(shè)ABC、D為雙曲線

a2

（＞＞o）上四、所直線的傾斜角分別為

，直線AB與CD相交于且不雙曲線,

|PA|PBb2sin|PCPDcos222

．已知雙曲線

a2

（＞0,b＞）點(diǎn)P為上一點(diǎn)F,為曲線的焦點(diǎn)1

12

的內(nèi)（外）角平分線為l，F(xiàn)F分垂直12

l

于，跑整個(gè)雙曲線時(shí)，、形的軌跡方程是

xya(

22

2

).．設(shè)ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線

上，且為

的直徑，

l

為的共軛直徑所在的直線，l

分別交直線AC于和F，又D為

l

上一點(diǎn)，則與雙曲線

相切的充要條件是為的中點(diǎn).．過雙曲線

a2

（＞＞0）的右焦點(diǎn)作線交該雙曲線的右支于M,N兩，弦的直平分線交x軸e，MN2．設(shè)A（x,y）雙曲線1

ab2

（＞0,b0上任一點(diǎn)，過A作條斜率為

x12y1

的直線L又設(shè)是原點(diǎn)到直線L的離

rr12

分別是A雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則

rr12

．已知雙曲線

x2（＞＞）和a2ab

（

條直線順次與它們相交于AB、四，則AB│=|CD│.．已知雙曲線

ab2

（＞0,b＞）,A、B是曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的直分線與x軸交于點(diǎn)

(,0)0

則0

a

2

a

2

或

x0

2

2

50．設(shè)P點(diǎn)是曲線

ab2

（a＞＞0）上于實(shí)端一,F、為其焦點(diǎn)記1

PF1

，則

218abc2218abc2

||12

2

2

．設(shè)過雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)B（）作直線與曲線相交于、Q兩，為曲實(shí)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)AP和分別交相應(yīng)于過B的直線MN：于MN兩,

a2ab2(n)2

是過雙曲線

＞0,b0點(diǎn)且實(shí)軸垂直的直線是曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)是心率點(diǎn)P，a2若

，則

是銳角且

1或arcsinee

（當(dāng)且僅當(dāng)

|PF|

時(shí)取等號(hào)）.是過雙曲線

0,b軸點(diǎn)A且x軸直的直線雙曲線的準(zhǔn)線與x軸,點(diǎn)L，a2e是心率EPF

H是L與X軸交是半焦距

是銳角且

1ab或（且僅當(dāng)|ee時(shí)取等號(hào)）.．L是曲線

ab2

（＞）點(diǎn)且軸垂直的直線、是曲線準(zhǔn)線與x軸點(diǎn)H是L與x軸1交點(diǎn)點(diǎn)L，EPFbPF22時(shí)取等號(hào)）.c

離心率，半焦為c，為銳且sin

1或arcsine2e2

（當(dāng)且僅．已知雙曲線

a2

（＞線L過其右焦點(diǎn)且雙曲線右支交于AB兩，AB與曲線左2焦點(diǎn)F連起來，則1

F1

(22)2

（當(dāng)且僅當(dāng)⊥時(shí)取等號(hào).A是曲線

＞0,b＞長兩端點(diǎn)雙曲線上的一點(diǎn)PABa2

PBA

BPA

，c、分是曲線的半焦距離心率，則(

||

2|22

tan

tan

2

PAB

2b2

cot

．設(shè)AB是曲線

a2

（＞0,b＞）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的區(qū)域的兩點(diǎn)，且x、x的橫坐標(biāo)

xAB

2

）若過A點(diǎn)直線與雙曲線這一支相交于P、兩，則

）過B引線與雙曲線這一支相交于、Q兩點(diǎn)，則

．設(shè)A、B是曲線

ab2

（＞0,b＞）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支（含焦點(diǎn)的區(qū)域的兩點(diǎn)）過A點(diǎn)直線與雙曲線這一支相交于P兩P交曲線這一支于兩點(diǎn)不關(guān)于對(duì)稱

PBA

，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)

x

、

x

滿足

xAB

2

）過B點(diǎn)直線與雙曲線這一支相交于

、Q兩點(diǎn)，且

則點(diǎn)AB橫坐標(biāo)滿足

xAB

2

．設(shè)A,A是雙曲線

a2

的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是與垂的弦，則直線與AQ的交點(diǎn)的跡是雙曲線

a2

．過雙曲線

a2

（＞＞0）的右焦點(diǎn)

F

作互相垂直的兩條弦AB、CD,

|CD|a

；|CDa．到雙曲線

a2

（＞0,b0）兩焦的距離之比等于

cb

（c為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)

M的跡是姊妹圓()

2

y

2

2

112''212122112''212122．到雙曲線

ab2

c（a＞0,b）實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于（為焦距）的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是姊妹圓b()

2

y

2

2

．到雙曲線

a

22

b2

c（＞＞0）的兩準(zhǔn)線和x的交點(diǎn)的距離之比為（c為焦）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓b(x)

2

y

2

b)e

2

（為心率.．已知是曲線

ab2

（＞＞）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

'

是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)且

'P

，則點(diǎn)的軌跡方程是

2aa

．雙曲線的一條直(中心的的長，為通過一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長和實(shí)軸之的比例中.2x設(shè)曲線a＞＞0軸的端點(diǎn)為A,P,)是曲線上的點(diǎn)過P作率1的線ab2y1分別作垂直于實(shí)軸的直線交l于,M則（1AMAM.（2四邊形AMA面趨近于.

l

A'．已知雙曲線

a

22

b2

（＞0,b＞）的右準(zhǔn)線

l

與x軸交于點(diǎn)

，過雙曲線右焦點(diǎn)

F

的直線與雙曲線相交于AB兩點(diǎn),點(diǎn)

在右準(zhǔn)線

l

上，且

軸，則直線AC經(jīng)線段EF的中．OAOB是曲線

(xa2

（＞＞且

）的兩條互相垂直的弦O為標(biāo)原點(diǎn)，則）直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

(

2

以A為徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的跡方程是

222)除原點(diǎn)．

(mn)

是雙曲線

(x2y2ab2

（＞＞0上一個(gè)定點(diǎn)是互相垂直的弦，則1）直線AB必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

(

2(2)a22,b

)

（2以A、為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)的跡方程是22ma()y)2b22b

2

[b

4(a2b2)

2

)]

(除P點(diǎn))．如果一個(gè)雙曲線虛半軸長為b焦點(diǎn)F、到直線L的距離分別為、，么）121

12

2

，且F在L異側(cè)12直L雙曲線相,或是雙曲線的漸近2d在L異直和雙曲線相離d12或F、在L同線L和雙曲線相1．AB是曲線（＞0,b＞0）的實(shí)軸，N是曲上動(dòng)點(diǎn)，過N的線與過AB的線交于C、Dab2

，兩點(diǎn)，則梯形ABDC的角線的交點(diǎn)M的軌跡方程是

242a22

．設(shè)點(diǎn)

(xy)0

為雙曲線

a2

（＞0,b0的內(nèi)(（含焦點(diǎn)的區(qū)域)定點(diǎn)是曲線過定點(diǎn)

(xy)00

的任一弦(1)如

a

則當(dāng)弦垂于雙曲線實(shí)軸所直線時(shí)

(||

min

(2x22y2)22002

(2)如,當(dāng)弦行（或重合）于雙曲線實(shí)軸所在直線

(||

min

(

2

x0

2

2

y2

0

2

)

2

2

．雙曲線焦三角形以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實(shí)軸為直徑的圓相外.．雙曲線焦三角形的內(nèi)切圓必切長軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的實(shí)軸端.．雙曲線兩焦點(diǎn)到雙曲線焦三角形內(nèi)切圓的切線長為定值a+c與c-a.．雙曲線焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其旁切圓的切線長為定值．雙曲線焦三角形,外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端的焦半徑之比為常數(shù)e(心率)注:雙曲線焦三角形,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外.．雙曲線焦三角形其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.．雙曲線焦三角形半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中

12．雙曲線焦三角形雙曲線中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距成比12．雙曲線焦三角形半焦距、外點(diǎn)與雙曲線中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線成比．曲線焦三角形中,過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平線引垂線則雙曲線中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.．雙曲線焦三角形過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)內(nèi)角平分線引垂則雙曲線中心與垂足的距為雙曲線實(shí)半軸的曲焦三角形過任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線引垂垂足就是垂足同側(cè)焦半徑直徑的圓和雙曲線實(shí)軸為直徑的圓的切點(diǎn).．雙曲線焦三角形非焦頂點(diǎn)的內(nèi)角平分線與焦半徑、實(shí)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值．雙曲線焦三角形非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的外角平分．雙曲線焦三角形非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的內(nèi)角平分．雙曲線焦三角形過非焦頂點(diǎn)的切線與雙曲線實(shí)軸兩端點(diǎn)處的切線相則以兩交點(diǎn)為直徑的必過兩焦.89.已知雙曲線

x2abb2

上有一點(diǎn)

分別引其漸近線的平行線交

軸于

M

y

軸于

,

，

為原點(diǎn)，則：（1）

|OM

2

；（2）

2

b90.過面上的P點(diǎn)直線l:x及l(fā):ya

的平線，別交x軸M,，交y軸,.（）|OM|ON

，則

的軌跡方程是

x22ab0)22

若

OQ|

2

，則

的軌跡方程是x

22

yab0)2

91.點(diǎn)P為雙曲線

x2abb2

在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過P引x軸y軸平行線，交軸、軸M,

，交直線

y

ba

x

于

,

，記

與

ONR

的面積為

S,1

，則：

1

ab2

92.點(diǎn)

為第一象限內(nèi)一點(diǎn)過

引

軸、

軸的平行線交

軸、

軸于

M

交線

y

ba

x

于

記

與

的面積為

S1

2

，已知

1

ab2

，則

的軌跡方程是

x222ab0)或b0)22ba2雙曲線性質(zhì)92條明雙曲線一定義。2.定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

雙線第二定義。設(shè)

(xy)00

在第一象限，切線（l）斜率為k，PF所直線l斜率為k，PF所在直線l斜率為k，PF與PT11222的夾角為α，

PF2

與PT的夾角β。由兩直線夾角公式

tan

k21k1

得：

k1kk

y2xxabxca2b22cx0byxcy2xcxy2cy1000ayx

bcy

cxcx

bc

k1

b2xy0a2yxb2xy22xca2b220000b2xyxy2xyy2cy1000000ax

b2cy

bc

同理可證其它情況。故切線平點(diǎn)P處的內(nèi)角。不妨設(shè)在一象限作關(guān)切線的稱點(diǎn)M由知在PF上則2

MPF112

垂H為FM2

12200001220000的中點(diǎn)，則

FM12

，同理可證其它情況。射影H軌跡是以實(shí)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。設(shè)P，Q兩到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為

,1

2

，以PQ點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，以為徑的圓的半徑為，則

d

dPFFQr122e

，故以為徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交。如，兩圓圓心距為

PF2aPF22

，故兩圓外切。7

8如，由切線長定理：

FSFTPFPFFac，F(xiàn)T112211而

FTA112

，

T

與

2

重合，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在他位置情況。設(shè)

1

btan

2

tan

，則

:y1

ba

:y2

btana

則

xa

y

∴點(diǎn)軌跡方程為

ab210.

(x,y00

在雙曲線

22x2上，ab222a2

求導(dǎo)得：

x2b

y'

2x02y0切方程為yy0

0y0

x0

即

xyy20b2b2

11.

y1122

，由10得

xyy010122a2b22

，因?yàn)辄c(diǎn)

,P12

在直線

12

上，且同時(shí)滿足方程xyxyy00，以PP:0a2b22

12.

設(shè)Ay120

則有

x22y22y212作得：12b2a222

x1

x1

yy12

y1

2

k

b2

b2b20a2ya2k0OM

kOM

ba

13.由12可：

y0

020

x0

2

yy0

2

y0

2

xx0

2

x20

xyy222xx2y22y0002bab2

000014..12可：

yb2022yy2x2xxa20x22xyy0

x2xy02a2215.設(shè)

tan

，則

k

tan

tanasec

221rr2asectan1

2

2sec

2

1

2

a

2

cossina2

2

2

a2a44

222b22

2

a

2

2

2

2

2

2a2

2sin

2

2

2

22a4b

22a2b

2ab22

1a2b216.將線AB入雙曲線方程中得：

22

b2a2

ab2b222

b22設(shè)

Ayy1

2

則

x1

Aa2bAa

2

，

xx1

b222

OAOBxyb122222222

2

2b

2

2A

b22a

22

1A22a2222a2

24222b2

2

24222b2

417.

設(shè)雙曲線內(nèi)直角弦AB的程為：

即

ykx

。當(dāng)斜率k存時(shí)，代入雙曲線方中得：

2

2k

設(shè)

Ayy1

2

得

x1

2akb222

，

xx2

22則

PA0

0

0

2

120

x1

20

0

2200a222200b020a220b2222222222ak2200a222200b020a220b222222222200a

k

2ky

k

222y2yk20

k

kx

k

x

y2

k

x

y

y2

px

p

p

2

a

kpq

kqx

kpq

q

2y222b20220pya22b2q00即直線AB定點(diǎn)

2222x,y

，此點(diǎn)在上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線也過上的定點(diǎn)。22

1

和C上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即證。218.必要性：設(shè)：1

0

在時(shí)，代入雙曲線方程得：22kx000

0

2設(shè)

y11

得

x1

2

2

kx0b22k2

，

xx1

2

m

2

ykx02

2

2k2yy102200xx210212ba200

k不存在時(shí)，P：x=mx則12

y

ba

m

2

x0

2

，1

0

mxx22x22200

22

必要性得證。充分性：設(shè)PP過點(diǎn)12

，則P：12

ykx

。代入雙曲線方程得：

2

2k22設(shè)

y11

得

x1

2akb22

，

xx12

2

2k2

2

2則

k

xxxxx20100

x000b22b222b2kbkPF212PPx000b22b222b2kbkPF212PPc

k

22a2k

kx2k0

k

b2kpaaqkp00

b

1mxmyqqmy000驗(yàn)證k不在的情況，也得到此結(jié)論。故l過定點(diǎn)

,0

，充分性得證。19.設(shè)AB：

00

即

y00kxkx02222

2k00B

2a2b2k2

2a

2xb22

2ky2k22xa2kx,0同理

ky22xa2200

BC

b2kx2x0kyy20.由弦理：

PF1

222

PFPF121

c2PF12

2c2

PF1

bPFPF1cos

b2sin

2S

sinPF

sin22sin

P2ya2cot2222c2

ab22,cot21.由正弦定理得

PFPFFF122sin

在右支時(shí)，

cc

2

e

sinsin

2sincossinsincos1tan2222sincossinsincoscos1tan222222etancotcot22e同理當(dāng)在支時(shí)，

sinsin

cottancot

ectancot2c

c2100m2ccc2100m2cc22.由二義得M右支時(shí)，

a22MFx,MFxM左支時(shí)，

MF,MF

。23.易在支上，

PFPF12d1

0

1xe0

1e2

ee12

e1,12

24.易知當(dāng)P在支時(shí)

PF1

有最小值，此時(shí)：

PFaAFa12

。當(dāng)且僅當(dāng)

,F,P2

三點(diǎn)共線且在左支時(shí)，等號(hào)成。25.易知當(dāng)時(shí)只有x軸符合要求，但此時(shí)

x0

不存在。故

k0

。當(dāng)

k

時(shí)，設(shè)AB兩關(guān)于直線y=kx+m對(duì)，直線AB的程為

y

1k

x

，易知

1ba即kka

。聯(lián)立AB與曲線方程得：

kpxp2k2得4a2bk2k

即

k22k

①

中點(diǎn)

b2pM,b22b2

在y=kx+m上得

c2k2

②②代入①得

c

，解②得

m2c22

③

當(dāng)時(shí)①②，

k

22

。當(dāng)時(shí)得

或

c，代入③得km

22

或

m

a

42k

0

ab

；c2當(dāng)時(shí)得p或，代入③得k或mm

a

42k

0

ab

。由此可見兩種情況的結(jié)論相同。

當(dāng)

k

2

22

時(shí)，

2

2

，m

2

a

2

k2k

2

。故對(duì)任意m結(jié)論可統(tǒng)一表示為

a

2

k

2

且

ab

當(dāng)

l:()0

，即當(dāng)

m時(shí)0

2

(a2a222a22

且k

ab

26.由5即得證。27.設(shè)

btan

:

tanx，,a

2AAA222APBAP20a2yy2AAA222APBAP20a2yy27圖FP

bbc

absecabsec22FPFA28.

設(shè)

tan

有:b

2

tan

2

2

2

sec

2

2

2

2

2

2

2

e

2

2

2

2

2e

11

2

29.設(shè)

C:1

x2x2C:k,l:a22

。聯(lián)立

l

得：2Cx2

0

，由韋達(dá)定理：

x

2b2a同理

x

Aa2bAa

2

。則AP

11B而

x,xAP

的符號(hào)一定相反，故

xxPQ

=

xAP=BQPQ30.①當(dāng)A，B同時(shí)，設(shè)

sinh

，

M

y0

為中。則AB2sinh

a

sinh

222

cosh

22

4m

2

sinh

2

sinh22

2而

x0

acosh

coshsinhsinhcoshcoshsinhcosh2222設(shè)

sinh

2

2

,B

2

22，則0A1,1AB,m2A12b2解得

2y20B2

20y202b

，代入m得m

xy20a2b

b2x2b0aa22令

cotht

bxay

cotht

m2a2sinhtcosh2t2b

所以定長為2m）弦中點(diǎn)軌跡方程為

2asinh2t2cosh2t2b2

00222yxbx22222000222yxbx222220其中

t

bxay

，y時(shí)t。②當(dāng)AB異時(shí)設(shè)

sinh

cosh

sinh

00

為AB中。則AB2

cosh

cosh22

cosh

sinh2

cosh22

22

sinh222

m

2而

x0

acosh

coshbsinhsinhasinhycosh222設(shè)

sinh

2

2

,B

2

2，則0AB,0222

Bm

2

2

2

解得

22x2B020a2

，代入得

m

1

x2y2a2b

ay2a2bb22y0bx2b0令

cotht

aybx

cotht

ym2122

2t2sinh2t

所以定長為2m）弦中點(diǎn)軌跡方程為

y12

t2sinh2t

其中

coth

aybx

，x0時(shí)t綜上所述，定長為2m

m

）的弦中點(diǎn)軌跡方程為：m

2

2coshtt,cothtxt弦兩端點(diǎn)在兩支上a2b2bx31.設(shè)

Asinh

00

為AB中。則：0

acosh

acoshcosh22

0acosh2

2

2

2

sinh

2

22sinh22

2

sinh2cosh

c22

2

a2cosh22cosh222

cosh

2

l2cosh24

20

2

2

2

l2

22222000min0minaa240minl，ABx軸b22202222222000min0minaa240minl，ABx軸b222022二次函數(shù)x與

y

l

在

a,

l內(nèi)的交點(diǎn)即為x的。易知y=ex-mx+a與的右交點(diǎn)為的。當(dāng)增大時(shí)，x增。使x最小，則要使m最小。00

x2022

cosh2

2

0

，此時(shí)等號(hào)成立時(shí)

cosh

2

0min2c當(dāng)此式成立時(shí)

y

2xmx2

l2l2lla2lex22ec2當(dāng)

x

lalb時(shí)l=通徑2ee

當(dāng)

x0min

時(shí)：

l

ba

2

=l

22al時(shí)x，x，coshac2

2

02c

。當(dāng)

x0min

時(shí)當(dāng)

2

，即垂于x軸時(shí)最。0

2x20min

0min

22

l24

x20min

l2b2b2

2

2x

lb,l02cab232.由，當(dāng)

xy00

時(shí)，

222b2233.

0

2AaA22b22002xy2ABx000000

34.由正弦定理得

FFPFPF121

，所以

FccPFPFaa1

。35.設(shè)

tan

，則P點(diǎn)的切線為

xya

，由此可得：

y

tan

ytan

22

b

2

36.（1同）15,36（3

1|

2

2

2ab

a

222

OP|

2

22

2

b2

22221212112aa22221212112aa（3設(shè)

btan

b

，OP2sec

sin

sin

22S

OP

sec

tantan

sin

Sb2

sin

2cos2

2sin

sin

22sinsin=sin2sin22

a2

4

42

2

22aS22

b

cos37.設(shè)AB:,:ysin

，分別代入雙曲線方程得：t

2

2cos

22sin2

，

ct

由參數(shù)t的何義可知：MNt1

2

ab

2

ABt

2

2cos

2

bsin

2

MN38.由雙曲線極坐標(biāo)方程：

MN

pp2pab11cos222cos

，xsin設(shè)OP：ysin

代入雙曲線方程得：

OP

2

2

bsin

2

a2b22

2

，∴

21aaMNOP

2a2

b

sin

a2b2

11ba39.設(shè)

lPy11

2

，將l的程代入雙曲線得：

22mty2

由韋達(dá)定理得：

yy12

2bmt,y2t2t2

，直線A的方程為1

y

y1x1

，直線AQ的方程為2y

y2x222tm

yx，聯(lián)立AP和AQ得點(diǎn)N的橫坐a代入化簡：ay22b2mt2a2mtm2所以交點(diǎn)一定在直線

a2

上。引理（張角定理A,C,B點(diǎn)按順序排列在一條直線上。直線外一點(diǎn)P對(duì)AC的角α，CB的角β。

0000則：

sin

sinPA40圖41圖40.如圖，A左頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)

PFx

，則

AFP2b2b2pb2AFFHFMpcecosa

。對(duì)F-AMP由角定理：

sin

sinFP

sin

即FM平分

，同理平

AFQ

。MFN90

即⊥NF當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，由39可左頂點(diǎn)AM；QN分共線，于是回到上一情況。41.如圖，設(shè)

MFP

，則

FPFQ12對(duì)F-QAM和F-AMP由角定理：2

sinFAFAFP2

兩式相加并化簡得：

sinFAFAFQFP21

0

即FM平分

PFA1

，同理平分

QFA1

。MFN90

即⊥NF42.由即可證得。43.設(shè)

00

cos，AB：，CD，AB的程代入雙曲線得：ysinsin002cos2220由參數(shù)t的何意義可知：

PAt1

2xy22b0cos2sin2

2

，同理

x220cos2

2

2x2AC2x2AC易知P與A，C，的置關(guān)系一定相同44.對(duì)內(nèi)平分線的情況由即可證得，下僅證

l

ABbco22cos為外角平分線的情況。

22

isi設(shè)P

tan

l:0

secxya則

l:atan

2

tan

，l1

tan

sec

lsec2

tan

。分別聯(lián)立

l

、

l1

和

l

、

l

2

得：sec2tan2sectan,H2sec2a22a則

H

，

H

2asec

對(duì)H點(diǎn)1

b

a

ay2y22

,

a

b2

，代回

x

H

式得：b2ac

a2y2a222

a2y

2

ba2y2cya2

a22a2y22

cy

2

ya2y2

2同理對(duì)點(diǎn)得c22

2

22

2

。故H點(diǎn)H點(diǎn)軌跡方程為1

2

22y

245.由伸縮變換'

將雙曲線變?yōu)榈容S雙曲線x

2

2

2

k，再由旋轉(zhuǎn)變換變?yōu)樽鴺?biāo)軸為漸近線的雙曲線原來的共軛直徑變?yōu)閮蓷l關(guān)于y軸稱的直線。只需證明此情況即可證明原命題。設(shè)

,

km

kk,B,Ctt

則

kkkk:yEF:x，k則直線ACx2m2mtt

F22EF1MP0P22121N2F22EF1MP0P22121N2同理BC：

y

kkkxC處的切線ymttt2

分聯(lián)立EF與ACEFABEF與點(diǎn)處的切線得：mt2txx,xmt

2

。

mmmxm2m2

D由ED，三共線可知D為EF的點(diǎn)。46.設(shè)

MFx

，由雙曲線極坐標(biāo)方程：

MN

2pcos

2

1coscos2cos2

ep，PF

PFe47.由可知l為線

l:

2xx2yy221

d

b

a2x2

b2

y2

由

rrx1

2rrex211

b

a224x21

41

b

a2b2x24x2221

2

a

2

be2x1241

2

ab48.同。49.

設(shè)A為M00

AB

2x0ky0

2y0:0

202x0

x0

a2a2令得xxaaaa50.同。51.設(shè)

lPy11

2

，代入雙曲線方程得：

2由韋達(dá)定理得：

yy12

2bmt,y2t2t2

由A、、三點(diǎn)共線得

yM

y1，理2xtyty11BMN

ty12

112

b

2

t

2

2

2

b2

2

2

t

2

2

b2t

2

b2

2

t

2

2

b2a2

aa2a2()為一類最佳觀畫位置問題公有定點(diǎn)A

在直線x=mm>k則當(dāng)

2

時(shí)，∠大，其正弦值為

km

?！唳?/p>

1e

當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時(shí)等號(hào)。

53.k=

a2

1ab,m=a∴α,當(dāng)且僅當(dāng)PA=時(shí)等號(hào)。ec

1222B2BB2BBAB1222B2BB2BBAB54.k=

a2

1,m=∴sinα,當(dāng)且僅當(dāng)PF=e2

a

2

2

時(shí)取等號(hào)。55.設(shè)AFx=，F(xiàn)A2a

cos

cos

a2

2cos

aapp2

當(dāng)且僅當(dāng)°時(shí)等號(hào)成立。56.（）設(shè)

AP:

cossin

，代入雙曲線方程得：

t

≠0∴AP=t

cos

cos22cos2（2設(shè)

y00

則

tan

22a

（3SPA

22

a

22

2由（2

22c

2

2

2

222c

a2

57.由可證。58.（1易知PQ斜率為斜率不存在時(shí)，對(duì)任意x軸的點(diǎn)A都立。設(shè)

x

，A（m0代入雙曲線方程得：22

，則2

2t

,22

若PBA則k

BP

yy12tymtyxxBt22ymy2t22t2

B

B

t

t

2tmtx

（2作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)

P

'

，由（）即證。59.同。60.設(shè)

l:

cossin

2

，代入雙曲線方程得：222

2

2cos

4

t

b

bcos

2ab

，同理對(duì)l傾角。CDt

acos

sin

cos

2absin

ab

b

1

sin

a

cos

1

sin

b

1

a

1sin

cccc2b2當(dāng)時(shí)cccc2b2

c

2

，

AB

b2c4aa

，此時(shí)

或

。當(dāng)

時(shí)

b

2

12sin

2

2

1

2

關(guān)于

sin

在

b,

上增至正無窮

bmax,上單調(diào)減，在

a和之間先減后增，此時(shí)兩者異號(hào)。cc當(dāng)

sin

時(shí)，當(dāng)

sin

為或1時(shí)

f

有最小值

1cbab

。ab當(dāng)sin介和之時(shí)：c

f

2sincsin

22sin2等號(hào)成立時(shí)

b2sin2

即

4

。而

c4cb

故當(dāng)時(shí)

f

min

2

2

ab2，的小值為。22為一類問題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)到兩定點(diǎn)A

的距離之比

k

，則P點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)為

，圓的半徑為。k2下三個(gè)題的比值均

cb

，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為

b，圓的半徑為a，圓心坐標(biāo)為

，圓的半徑為be。跡方程是姊妹圓

2

。，圓心坐標(biāo)為

，圓的半徑為

。軌跡方程是姊妹圓

。a2，心坐標(biāo)為

b，圓的半徑為。跡方程是姊圓e

2

2

。64.設(shè)P

，由得

a

b

消去參數(shù)

得點(diǎn)軌跡方程：

xbya65.同。66.（1同。（2由基本不等式

AMA'b

（漸近線時(shí)取等號(hào)梯

''

面積趨近于一個(gè)最小值

12

ab

。67.設(shè)AC于M，⊥l于D。由雙曲線第二定義：∴的點(diǎn)。

AMAFeEMCMBFe68.（1由可知當(dāng)雙曲線方程為

a2

時(shí)，過點(diǎn)

22a

。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)?/p>

(xa2

a22a220000000000abbayba222222QQa22a220000000000abbayba222222QQ,abmbn222Qb22時(shí)，雙曲線向右平移了

a

個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了

a

個(gè)單位，故此時(shí)AB過定

a22a即b22

2ab2b22（2由69（）為點(diǎn)，即的跡方程是

222)2

（除原點(diǎn)（1）可當(dāng)雙曲線方程為

a2

時(shí)，AB過點(diǎn)

aa

ab

n

。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)?x2y2a2

時(shí)，雙曲線向右平移了

a

個(gè)單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了

a

個(gè)單位，故此時(shí)AB過定

aa

22

22

ab

2

2

2n

即

(

ab

2

()a,222

22

)

)

。（）證雙曲線中心在原點(diǎn)的情況。雙曲線方程為：

ab2

，

y0

，AB的率為

ktan

。由（